第四章 一次函数
4.1 函数
学习目标
1．经历从具体实例中抽象出函数概念的过程，进一步 感悟抽象的数学思想，积累抽象概括的活动经验。 2．初步理解函数的概念，能判断两个变量间的关系是 不是函数关系，初步形成利用函数的观点认识现实世界 的意识。
一、情景导入，引起兴趣
你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝水，但是嘴够不着 瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦 喝到了水.但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度了，乌鸦只好再去衔些石子放 入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了.如果设衔入瓶中石子的体积为x，
探究新知
议一议：在上面三个问题中的共同点是什么？相异点又是什 么呢？ 相同点是：这三个问题中都研究了两个变量．
不同点是：在第一个问题中，是以图象的形式表示两个变量 之间的关系；第二个问题中是以表格的形式表示两个变量间 的关系；第三个问题是以代数表达式来表示两个变量间的关 系的．
探究新知
函数的概念 一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定 一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y 是x的函数， 其中x是自变量，y是因变量．
解： （4）S=l(60－l)错误．因为60 m是矩形的周长，所以 相邻两边的和为30 cm，其中一边长为l (m)，则另一边长为(30 －l)m，所以S=l(30－l)．
课堂练习
4.图象是弹簧挂上重物后，弹簧的长度y（厘米）与所挂物 体的质量x（千克） 之间的变化关系图． 根据图象，回答问题：
课堂练习
（7）圆的面积和它的周长．
是
（8）底是定长的等腰三角形的周长与底边上的高． 是
课堂练习
3.下列变化过程得出的函数关系式是否正确，如果错误，请 指出正确的结果；如果正确，指出式子中的自变量和因变量．
（1）设一长方体盒子高为10 cm，底面是正方形，这个长方 体的体积V(cm3)与底面边长a(cm)的关系式为V=10a2；
解：（2）y=1.6(x－2)+7(x≥2)正确，其中x是自变量，y 是因变量．
课堂练习
（3）计划花500元购买篮球，所能购买的总数n(个)与单价 a(元)的关系为 n 500 ；
a
解：（3）n 500 正确．其中a是自变量，n是因变量．
a
课堂练习
（4）用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(m2) 与一边长l(m)之间的关系式为S=l(60－l)．
探究新知
(1)当t分别为-43℃，-27℃，0℃，18℃时，相应的热力学 温度T是多少？
当t=-43℃时，T=-43+273=220 K 当t=-27℃时，T=-27+273=246 K 当t=0℃时，T=0+273=273 K 当t=18℃时，T=18+273=291 K
(2)给定一个大于-273℃的t值，你能求出相应的T值吗？
解： （1）因为长方体的体积为长乘宽乘高，而长、宽、 高分别为10、a、a．所以V=10a2正确．自变量是a，因变 量是V．
课堂练习
（2）某市出租车起步价是7元(路程小于或等于2千米)，超 过2千米每增加1千米加收1.6元，出租车车费y(元)与行程x(千 米)之间的函数关系式为y=1.6(x－2)+7(x≥2)；
课堂练习
2．下列各题中，哪些是函数关系，哪些不是函数关系
（1）在一定的时间内，匀速运动所走的路程和速度． 是
（2）在平静的湖面上，投入一粒石子，泛起的波纹的周长
与半径．
是
（3）x+3与x．
是
（4）三角形的面积一定，它的一边和这边上的高． 是
课堂练习
（5）正方形的面积和梯形的面积． 不是
（6）水管中水流的速度和水管的长度． 不是
（1）不挂重物时，弹簧长多少厘米？ （2）当所挂物体的质量分别为5千克，10千克，15千克，20 千克时弹簧的长度分别是多少厘米？ （3）当物体的质量x取0千克至20千克之间任一确定的值时， 相应的弹簧的长度y能确定吗？反过来，弹簧的长度y是 15~25之间一个确定的值，你能确定所挂重物的质量是多少 吗？ （4）弹簧长度y可以看成是物体质量x的函数吗？
课堂练习
5.求下列函数的自变量x的取值围．
(1) y x 1
x≥1
(2) y=x－1；
全体实数
(3) y ( x 1)2
x≥1
(4) y (x 1)2
全体实数
课堂练习
6．如图，这是某地区一天的气温随时间变化的图象， 根据图象回答：在这一天中：
课堂练习
（1）__1_6___时气温最高， ___4___时气温最低， 最高气温是__1_0_℃__， 最低气温是__-_4_℃__；
探究新知
通过前面的三个例子，可知函数的表示方法有如 下三种：
图象法； 列表法； 关系式法．
探究新知
想一想：上述问题中，自变量能取哪些值？
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函 数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等 于a时的函数值。
典例精讲
已知长方形ABCD的长AB为4，宽CD为x在变化，则长 方形的面积为______y_=_4_x ___．
层数n 1
2
3
4
5
圆圈
1
3
6
10 15
总数
… 在这个问题中 的变量有几个？
… 分别是什么？
探究新知
2．一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273℃，则气体的压强为零。因此，物理学中把-273℃ 作为热力学温度的零度。热力学温度T（K)与摄氏温度t （℃）之间有如下数量关系：T=t+273，T≥0.
本题中有几个变量，能把其中某个变量看成另一个变量的 函数吗？
有两个变量，即CD的长x，长方形的面积y，y是x的函数．
课堂练习
1.下列各题中分别有几个变量？你能将其中某个变量看成另
一个变量的函数吗？
①
②
通话时间t/分
③ 话费y/元
0＜t≤3
0.4
3＜t≤4
0.8
4＜t≤5
1.2
5＜t≤6 6＜t≤7 … 1.6 2.0 …
瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是( B )
情境导入
生活中充满着许许多多变化的量，你了解这些变量之间 的关系吗？如弹簧的长度与所挂物体的质量，输液时间与相 应时间内的水滴数目……了解这些关系，可以帮助我们更好 地认识世界，下面我们就去研究一些有关变量的问题．
探究新知
1．按如图所示画圆圈，并填写下表