一、立体图形的体积计算常用公式：
立体图形
示例
表面积公式 体积公式
相关要素 长方体
S = 2(ab+bc+ac)
V abh =
V sh =
三要素：a 、b 、h 二要素：s 、h
正方体
S = 6a
2
3V a =
V sh =
一要素：a 二要素：s 、h
二、立体几何相关数学方法：
接法：与平面几何中的方法类似，将不规则的图形体积化作规则图形的体积进行加减计算.
视图法：主要适用于求正方体积木塔建图形的表面积计算.以及染色问题或计数问题，从上、前、左（下、
后、右）这几个基本视角，分析图形的表面.
片法：适用于求具有穿孔结构或内部结构的立体图形的体积计算,将立体图形沿某个方向切成多片，化
立体为平面.
重点：长方体与正方体的表面积和体积的计算公式的理解性记忆与运用． 难点：三视图法、内孔结构
重难点
知识框架
长方体和正方体的表面积和体积
例题精讲
【例 1】一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为5厘米、2厘米、1厘米．那么，这个立体图形的表面积是________平方厘米．
【巩固】如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．
【例 2】两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5厘米、4厘米、3厘米，把它们拼在一起可组成一个新长方体，在这些长方体中，表面积最小的是________平方厘米。

【巩固】一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？
【例 3】有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下
层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是________．
【巩固】有n个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米，那么n为多少？
【例 4】边长为1厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？
【巩固】按照上题的堆法一直堆到N层(3
N )，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则N的最小值是多少？
【例 5】从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)
图1 图2 图3 图4 【巩固】如图所示，一个555
⨯⨯的
⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115
⨯⨯的孔，在另一个方向上开有215孔，剩余部分的表面积为多少？
【例 6】有一个棱长为5cm的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔(右上图)，求这个立体图形的内、外表面的总面积．
【巩固】如图所示，一个555
⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115
⨯⨯
⨯⨯的孔，在另一个方向上开有215的孔，在第三个方向上开有315
⨯⨯的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？
【例 7】一个555
⨯⨯的立方体，在三个方向上分别开有如图所示打通的孔，剩余部分的表面积为多少？
【巩固】一个555
⨯⨯的立方体，在三个方向上分别开有如图所示打通的孔，剩余部分的表面积为多少？
【例 8】如图，底面积为100平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米。

若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米。

【巩固】如图，长30厘米，宽30厘米，高40厘米的长方体容器中装有水，水面上漂浮着一个篮球，篮球在水面下的体积360立方厘米，是若将篮球从容器中取出，水面将下降________厘米。

【例 9】如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱），且穿透．另有一长方体容器，从内部量，长、宽、高分别为15厘米、12厘米、9厘米，内部有水，水深3厘米．若将正方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水下部分的体积为立方厘米．
【巩固】上题中若原有水深2厘米，其他条件不变，水面应上升_______厘米。

【例 10】如图，原正方体的棱长为12厘米，沿图中的线将正方体切掉正面的部分，求剩下不规则立体图形的体积．
【巩固】如图，正方体的棱长为6cm，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个正三角形．正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有个面，它的体积是3
cm．
第9题
1． 边长分别是3、5、8的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？
2. 用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，求该图形的表面积。

3. 如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的孔，在第三个方向上开有315⨯⨯的孔，剩余部分的表面积为多少？
4. 如图，是一个正方体，将正方体的A 、C 、B '、D '四个顶点两两连接就构成一个正四面体，已知正方体的边长为3，求正四面体的体积.
课堂检测
D′C′
B′
A′
D
C B
A
1． 一个长方体的长、宽、高恰好是3个连续的自然数，并且它的体积的数值等于它的所有棱长之和的数值的2倍，那么这个长方体的表面积是（ ） A . 74
B . 148
C . 150
D . 154
2. 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？
25块积木
3. 现有一个棱长为1厘米的正方体，一个长宽为1厘米高为2厘米的长方体，三个长宽为1厘米高为3厘米的长方体．下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形．试利用下面三个图形把合并成的立体图形(如例)的样子画出来，并求出其表面积． 例：
侧
前
上
侧面所看到的图形
前面所看到的图形上面所看到的图形
4. 如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的孔，在另一个方向上开有315⨯⨯的孔，在第三个方向上开有225⨯⨯的孔，剩余部分的表面积为多少？
家庭作业
5.边长40厘米立方体容器中装有水，水面上漂浮着一个体积为7200立方厘米的篮球，篮球在水面下的体积1200立方厘米，是若将篮球按至刚好一半在水面下，水面将上升________厘米。

6.连接正方体各面的中心构成一个正八面体（如图所示）。

已知正方体之边长为12cm，请问正八面体之体积为多少立方厘米？
第4题
教学反馈
学生对本次课的评价。