高等数学模拟卷 1一 求下列极限 1 1limsin n n n→∞ 1sin ≤n 01lim=∞→n n ∴ 0sin 1lim =∞→n nn 2 求0limx xx →1lim 0-=-→xx x1lim 0=+→xx x ∴0limx xx→不存在 3 求10lim xx e →,lim 10+∞=+→xx e0lim 10=-→x x e ∴10lim xx e →不存在sin 4limsin 5x x x x x →++原式=15sin 1sin 1lim0=++→xx x xx 二a 取什么值，0()0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩连续 解：)i 0x <，0x >时，()f x 均连续)ii 0x =时，(0)f a = (00)1f -= (00)f a +=所以1a =时(0)(0)1f f ±==，()f x 在0x =处连续综上所述，a=1时()f x 连续三 计算下列各题1 已知2sin ln y x x =⋅ 求,y解：xx x x y 1sin 2ln cos 2⋅+=' 2 (),()xf x y f e ey =⋅已知，求解：()()()()()()()()()()x f e f e f e e e x f e f e e f e y xx x x f x f x x f x x '+'='+'=' 23x xe dx⎰求解： ⎰⎰+==c e dx e dx xe x x x 22221212 四、若202tan()sec x y x x y tdt ---=⎰，求dy dx解：两边对x 求导，其中y 是x 的函数2'2'2sec ()(1)sec ()(1)x y y x y y --⋅-=-⋅- 2'2sec ()(1)2x y y -⋅-='21(1)sec ()y x y -=- 所以'221cos ()sin ()y x y x y =--=- 五 求y x =，2y x =和2y x =所围平面图形的面积 解：12201223(2)(2)121101231814123376A x x dx x x dxx x x =-+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭=+--+=⎰⎰高等数学模拟卷 2一 求下列极限1 1lim cos n n n→∞,1cos ≤n 01lim=∞→n n ∴ 0cos 1lim =∞→n nn 2 求22lim2x x x→--,122lim 22lim 22-=--=--++→→x x xx x x 122lim 2=---→x x x ∴22lim 2x x x→--不存在3 求1lim 2xx →,22lim 1lim10+∞==+→+→x xx x 022lim 1lim100==-→-→x xx x ∴ 10lim 2xx →不存在2sin 4lim3sin x x x x x →++求原式=43sin 31sin 21lim0=++→xx x xx sin 0()00x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩二讨论在 x=0 处的连续性解： ()1sin lim 0==+→x x x f x ()1sin lim 0==-→xxx f x∴ ()x f 在0=x 处不连续，0点为可去间断点。

三 计算下列各题1 ,ln[ln(ln )]y x y =求解：()xx x y 1ln 1ln ln 1⋅⋅='2 ,,yxx y y =求解： 两边取对数：y x x y ln ln =两边分别求导：y yxy x y x y '⋅+=⋅+'ln 1ln 整理得：()()x y x x y y x y y ln ln --='2222010022010490480cos limsin cos lim22cos lim 101cos lim 50x x x x x x x t dtx x t dtx x x x x x x →→→→--=-⋅=-=⎰⎰四求解原式34704sin 1lim 4010x x x x →== 五 求225y x =-和4y x =-所围平面图形的面积 解：)82(4)A x dx =+--⎰⎰28331242222126323218x x ⎫=⨯++⎪⎭=+-+=六 22(1)24dyx xy x dx ++= 解：此方程为一阶非齐次线性微分方程22()1xP x x =+ 224()1x Q x x =+2222231122414()()113xxdxdx x x x y ee dx c c x x x -++⎰⎰=+=+++⎰ 所以原方程通解为3214()13y c x x =++ 高等数学模拟卷3一 求下列极限 1 1lim n tgn n→∞不存在 2 求limx ax a x a→--,1lim lim =--=--++→→ax a x a x ax a x a x ,1lim lim -=--=----→→ax xa ax a x ax ax ∴limx ax a x a→--不存在3 求120lim xx e→,lim 210+∞=+→xx e0lim 210=-→xx e ∴ 120lim xx e→不存在0sin 4limsin x mx nx →原式=nmnx mx nx nx nx mx mx mx x x ==⋅⋅⋅→→00lim sin sin lim20()0x x f x xx >⎧=⎨≤⎩二已知，讨论f （x ）在0x =处的导数解： (),10='+f (),00='-f ∴ ()x f 在0=x 处不可导。

三 计算下列各题1、3,tan (ln )y x y =已知求解：()()xx x y 1ln sec ln tan 322⋅⋅=' 2、2,()y f x y =已知，求 解：()22x f x y '='四 23201()()2aa x f x dx xf x dx =⎰⎰证明，(0)a >，其中()f x 在讨论的区间连续。

证明：对于320()a x f x dx ⎰令2x t =，则2xdxd dt =且x a =时2t a =，0x =时0t =2232000()1()21()2aa a x f x dxtf t dt xf x dx ===⎰⎰⎰左边= 右边 证毕。

五 计算反常积分2d ;1x x +∞-∞+⎰[]2d arctan ;221+x x x πππ+∞+∞-∞-∞⎛⎫===--= ⎪⎝⎭⎰解原式六 求2(1)(arctan )y dx y x dy +=-的通解 解：方程化为2211arctan 11dx x y dy y y +=++ 此方程为倒线性微分方程22111121(arctan )1dydy y y x eye dy c y -++⎰⎰=++⎰ arctan arctan 21(arctan )1y y e ye dy c y-=++⎰arctan arctan (arctan )y y e yde c -=+⎰arctan arctan arctan (arctan )y y y e ye e c -=-+所以方程通解为arctan arctan 1yx ce y -=+-高等数学四 一 求下列极限1 1lim sin x x x→∞=0 2 求11lim1x x x →--解： 111lim 11lim 11-=--=----→→x x x x x x111lim 11lim 11=--=--++→→x x x x x x∴ 111lim x x e-→不存在3 求111lim x x e-→解： -∞=--→11lim 1x x +∞=-+→11lim 1x x∴ 111lim x x e-→不存在201cos limx x x →-4求解： 212sin lim cos 1lim020==-→→x x xx x x2221lim 12n n n n n →∞⎡⎤++++++二求解：n 项n 项n n n nn n n n n n n n n 11112111111222222+++++++++++++++又 nn n ++∞→21lim=1 11lim =∞→n故 1111lim 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n nn nn n三 计算下列各题1 ln(y x y =，已知求解'y =+=解2 y ='y解：1ln [ln(1)ln(2)ln(3)]3y x x x =+++-+'11111()3123y y x x x =+-+++ '111()123y x x x =+-+++22313ln ln ln 1ln 3xdxx xd x x c ==+⎰⎰求解原式四 证明220(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰证：对于20(sin )f x dx π⎰令2x t π=-，dx dt =-且0x =时2t π=，2x π=时0t =所以02202(sin )(cos )(cos )f x dx f t dt f x dx πππ=-=⎰⎰⎰五 计算1-⎰解在[)0,1上连续，1是它的一个瑕点.[]1100arcsin .2x π--==⎰。