角平分线和垂直平分线
[知识目标]
1、角平分线
（1）性质：角平分线上的点到角两边距离相等。

（2）判定：到角两边距离相等的点在角平分线上。

角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合
2、垂直平分线：
（1）性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。

（2）判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合。

3、轴对称的特征：
（1）全等：形状大小完全相同
（2）对称点的连线被对称轴垂直平分。

[典型例题]
角平分线和垂直平分线的尺规作图：
1、如图，a,b表示两条公路，A，B表示两个城镇，要建一座电视信号发射塔，使发射塔至两条公路的距离相等，到两个城镇的距离也相等，发射塔应建在何处？在图上找到它的位置。

b
2、如图，请你找出一个点P，使P点到A、B两点的距离相
等，并且使P在∠ACB的平分线上。

C
3、如图所示，M、N为三角形ABC边AB与AC上两点，在BC上求作一点P，使三角
形PMN的周长最小。

4、如图，已知E、F分别是△ABC的边AB和AC上的两个定点，问在BC上能否找到
一点M，使得△EFM的周长最小？
● 角平分线的性质与判定
1、如图所示，已知AB=AC ，PB=PC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别是D 、E ，求证：PE=PD
2、如图所示,△ABC 中,∠C=900,AC=BC,DA 平分∠CAB 交BC 于D 点,部能否在AB 上确定一点E,使△BDE 的周长等于AB 的长,请说明理由.
4、如图, ∠C=∠B=900,M 为BC 的中点,AM 平分∠DAB,(1)求证:DM 平分∠ADC(2)求∠DMA 的度数
5、如图,已知,P 为∠AOB 内一点,过点P 的两条直线PD ⊥OB,PC ⊥OA,垂足分别是D 、C ，交OA 、OB 于M 、N 。

（1） 若点P 在∠AOB 的平分线上，求证：MD=NC （2） 若MD=NC ，求证：点P 在∠AOB 的平分线上
● 角平分线的对称性
3、如图,在△ABC 中, ∠C=2∠B, ∠1=∠2,求证:AB=AC+CD
A
A B
E C
A B M
N
B
C
D
垂直平分线
1、如图，E是∠AOB平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
垂足分别是C、D，求证：OE是CD的垂直平分线。

2、如图，在三角形△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=10，三角形△ABD的周长是
60，求△ABC的周长。

B
3、如图：AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。

求证：BF=CF。

4、如图，在△ABC中，AB＞AC，AB=8，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于E和在，△AEC的周长为13，求AC的长。

5、如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的
直线GF交AC的反向延长线于点F，交AC的平
行线BG于G ，DE⊥GF交AB于点E，连结EF。

（1）求证：BG=CF。

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的
结论。

B
O
F D
C
B
A
B
B
6、 △ABC 中，∠B=22。

50，AB 的中垂线交BC 于D ，且DF ⊥AC ，与BC 边上的高AE 交于G ，求证：
EG=EC 。

[创新拓展]
1、如图：在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABD=1
2
∠ABC ，BC ⊥DF ，垂足为F ，AF 交BD 于E 。

求证：AE=EF 。

2、如图：在△ABC 中，∠A=60°，∠B ，∠C 的平分线BE ，CF 相交于点O 。

求证：OE=OF 。

3、 如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，D 是AC 上一点，AE
⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=12
BD ，DF ⊥AB 于F 。

求证：CD=DF
B
4、 如图，BD=DC ，ED ⊥BC 交∠BAC 的平分线于E ，EM
⊥AB ，EN ⊥AC ，求证：BM=CN
B
C
E F
E
D
C B A
F
O
E C
B
A B
[反馈练习]
1、已知，如图BP、CP分别是三角形ABC的外角∠CBD，∠BCE的平分线，求证：AP
平分∠BAC。

2、如图，点D、B分别在∠A的两边上，点C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD
于E，CF⊥AB于F，求证：CE=DF。

A
3、如图，在△ABC中，∠ABC=，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CE相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。

（1）求证：BF=AC。

（2）求证：CE=1
2
BF
（3）判断CE与BG的大小关系，并说明你的理由。

B。