X P(X=xk)
x1 p1
x2 p2

xk pk

x1
x2
xk
x
F(x)=P(X≤x)
若-<x<x1 F(x)=P() =0
X P(X=xk)
x1 p1
x2 p2

xk pk

x1
x2
xk
x
F(x)=P(X≤x)
若x1x<x2 F(x)=P(X=x1)=p1
x的取值 -<x<x1 x1≤x<x2 x2≤x<x3
x 1, 1 x 1, 1 x 2, x 2.
P ( X x i ) F ( x i ) F ( x i 0)
X
1
1 6
1
1 1 1 2 6 3
2
1 1 1 2 2
p
间断点为 1, 1, 3 P ( X x i ) F ( x i ) F ( x i 0)
P(X=-1)= P(X=1)= P(X=3)= X －1
F (1) F (1 0) F (1) F (1 0) F ( 3) F (3 0)
1 3
0.4 0 0.8 0.4 1 0.8
p
0.4
0.4
0.2
例3.
设离散型随机变量X 的分布函数为
x 1; 1 x 1; 1 x 2; x2
0, a , F ( x) 2 3 a, a b,
1 且P{X 2} 2
试 确 定 常 数 , b; a 并 求X的 分 布 列
x的取值 -<x ＜ 0 0x＜1 1x＜
F(x)=P(X≤x)
=P()=0 =P(X=0)=p =P(X=0)+ P(X=1) = p+(1-p)=1
x0 0 x1 1 x
F (x)
0 F ( x) p 1
1·
q
○
○

0
1
x
离散型随机变量的分布律
0 p1 p1 p2
x x1 x1 x x 2 x2 x x3 x n 1 x x1
离散随机变量分布函数的图形
1 F (x)
...
○
p1+ p2
p1
阶梯型 跳跃线段
○
○ ·
x1
· x2
解

a b 1.
1
解得 1 5 a ,b . 6 6
1 已知 P{ X 2} 2 P{X 2} F (2) F (2 0),
1 2 (a b) ( a ) 2 3
2
X 的分布函数为
X 的分布律为
0, 1 , 6 F ( x) 1 , 2 1,
F (a ) F (a 0)
例1 已知分布列求分布函数
设随机变量X的分布律为 X p 0 0.3 1 0.5 2 0.2
求X的分布函数F(x)及概率P{0 X 1.5}。
F(x)= P{Xx}=
当 x<0 时
当 0 x<1 时
0
P{X=0}=0.3 P{X=0}+ P{X=1}=0.3+0.5=0.8 P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1
¹ 1
¹ 2
x
=0.8－0.3+0.3.
2.2.2 分布函数的主要性质
1 单调不减性
当 x1 ＜ x2 ，则 F (x1 ) ≤ F (x2 )
2
非负有界
0 ≤ F (x) ≤ 1 F ( – ∞) = 0 F ( + ∞) = 1
3
右连续性
x , 有 F ( x 0 0) F ( x 0 )
当1 x<2 时
当x 2
X的分布函数F(x)为
F ( x) 0 0.3 0.8 1 x0 0 x1 1 x 2 2 x
p
1﹣ 0.5﹣
·
0
(2) P{0 X 1.5} = P{0<X 1.5}+P{X=0} =F(1.5)-F(0)+P{x=0}
x
P {X < x}=
P( X x 0 )
F (x 0 )
例题
解.
计算并画出参数 p 的两点分布的分布函数
两点分布的分布律是： X 0 1
F(x)=P(X≤x)
X
p
p
1-p
0
1
x
当 -<x ＜ 0 时， F(x)=P() =0 X x 0 1 当 0 x ＜ 1时， F(x)=P(X=0) =p
例1.
1 是不是某一随机变量的分布函数？ F ( x) 2 1 x
不是 例2.
因为F(+∞)=0 ≠1
设随机变量 的分布函数为： X x 1 0 0.4 1 x 1 F ( x) 0.8 1 x 3 1 x3 试求X的概率分布列。
x 1 0 0 .4 1 x 1 F ( x) 0.8 1 x 3 1 x3
· x3
x
用分布函数表示事件的概率
F(x)=P(X≤x)
1. 2. P(X ≤ b)
F (b)
1 F (b)
P(X > b) =1－P(X ≤ b) 3. P(a<X ≤ b) = P(X ≤ b) －P(X ≤ a) 4. P(X =a) = P(X ≤ a) － P(X ≤ a－0)
F (b) F (a )
F(x)=P(X≤x)
P ( X ) 0
P( X x1 ) p1
P( X x1 ) P( X x 2 ) p1 p2
P ( X x k ) pk
k 1 k 1 n 1 n 1
xn-1≤x<xn xn≤x<+
1
F ( x)
Distribution Function
2.2.1 分布函数的定义
定义2.2.1 设X为一随机变量,则对任意实数x， {X ≤ x}是一个随机事件，称
F(x) = P {X ≤ x}
为随机变量X 的分布函数
定义域 值域
x∈（－∞，＋∞）
F(x) ∈［０，１］
F(x) = P {X ≤ x}
X