/jojoke/archive/2007/12/17/1003594.html模运算2009-7-16很多地方用到模运算，这里说明模运算的一些规律，并加以证明。

后续会对这些理论实际的应用加以记录和说明。

1. 模运算是取余运算(记做% 或者mod)，具有周期性的特点。

m%n的意思是n除m后的余数，当m递增时m%n呈现周期性特点，并且n越大，周期越长，周期等于n。

例如0 % 20 = 0，1 % 20 = 1，2 % 20 = 2，3 % 20 = 3，...，19 % 20 = 1920 % 20 = 0，21 % 20 = 1，22 % 20 = 2，23 % 20 = 3，...，39 % 20 = 192. 如果 m % n = r，那么可以推出如下等式m = k * n + r (k为大于等于0的整数，r <= m）3. 同余式，表示正整数a，b对n取模，它们的余数相同，记做a ≡ b mod n或者a = b (mod n)。

根据2的等式可以推出a = kn + b 或者a - b = kn证明：∵ a = k1 * n + r1b = k2 * n + r2∴a - b = (k1 - k2) * n + (r1 - r2)a = k * n + (r1 - r2) + b∵a, b对n取模同余，r1 = r2∴a = k * n + b (k = k1 - k2)4. 模运算规则，模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。

其规则如下(a + b) % n = (a % n + b % n) % n （1）(a - b) % n = (a % n - b % n) % n （2）(a * b) % n = (a % n) * (b % n) % n （3）a b % n = ((a % n)b) % n （4）（《ACM》P237规则有错，已改之）（1）式证明∵a = k1*n + r1b = k2*n + r2a % n = r1b % n = r2∴(a+b) % n = ((k1+k2)*n + (r1+r2)) % n = (r1+r2) % n = (a % n + b % n)% n得证（2）式证明同上（3）式证明a = k1*n + r1b = k2*n + r2(a*b) % n = (k1k2n2 + (k1r2+k2r1)n + r1r2) % n = r1r2 % n = (a %n)*（b %n ) % n{此处已作改正，原为：(a %n * b %n ) % n ，但，(a %n)*（b %n ) % n不等于(a %n * b %n ) % n 。

另需注意：“*、/、div 、mod”为同等级运算}(4)式证明设a % n = ra b %n= (a * a * a * a…*a) %n = (a %n * a %n * a %n * … * a %n) %n = r b % n = ((a % n) b) % n模运算看起来不是很直观，但是可以用来推导出一些有用的东西。

例如（4）式可以用来降幂运算，例如计算6265 % 133,直接计算的话需要算出6265 利用（4）式可以进行降幂运算。

6265 % 133= 62 * 6264 % 133= 62 * (622)32 % 133= 62 * 384432 % 133= 62 * (3844 % 133)32 % 133= 62 * 12032 % 133= 62 * 3616 % 133= 62 * 998 % 133= 62 * 924 % 133= 62 * 852 % 133= 62 * 43 % 133= 2666 % 133= 6/juliet2366/blog/item/722fd133d4807147ad4b5fc5.html关于负号取余：『错：这是异号求余的规则：A%B=C，则C的值为：|A|%|B|的结果，让这个结果与A同号，然后在和B相加。

比如：|-15|%|4|=3,然后-3+4=1如果是15%（-4），则结果为 3+（-4）=-1注意一定是两数异号时才是这种规则，同号时跟一般的算法相同』正确的见：IB_12 《Pascal语言小学版（北京理工大学）》/chackerempire/39419.html模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。

虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。

本文以c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。

一基本理论：基本概念：给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 n = kp + r ；其中k、r是整数，且 0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。

对于正整数p和整数a,b，定义如下运算：取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。

模p加法：(a + b) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则(a + b) % p = r。

模p减法：(a-b) % p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。

模p乘法：(a * b) % p，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。

说明：1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。

例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。

<!--[if !supportLineBreakNewLine]--><!--[endif]-->基本性质：（1）若p|(a-b)，则a≡b (% p)。

例如11 ≡ 4 (% 7)，18 ≡ 4(% 7)（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)（3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)（4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)运算规则：模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。

其规则如下：(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）a b % p = ((a % p)b) % p （4）结合率： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）交换率： (a + b) % p = (b+a) % p （7）(a * b) % p = (b * a) % p （8）分配率： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）重要定理：若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则(a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)；（12）若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有a c≡ b c (%p)；（13）二基本应用：1.判别奇偶数奇偶数的判别是模运算最基本的应用，也非常简单。

易知一个整数n对2取模，如果余数为0，则表示n为偶数，否则n为奇数。

C++实现功能函数：/*函数功能：判别整数n的奇偶性。

能被2整除为偶数，否则为奇数输入值：int n，整数n返回值：bool，若整数n是偶数，返回true，否则返回false*/bool IsEven(int n){return (n % 2 == 0);}2.判别素数一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。

例如 2，3，5，7 是质数，而 4，6，8，9 则不是，后者称为合成数或合数。

判断某个自然数是否是素数最常用的方法就是试除法：用比该自然数的平方根小的正整数去除这个自然数，若该自然数能被整除，则说明其非素数。

C++实现功能函数：/*函数功能：判别自然数n是否为素数。

输入值：int n，自然数n返回值：bool，若自然数n是素数，返回true，否则返回false */bool IsPrime(unsigned int n){unsigned maxFactor = sqrt(n); //n的最大因子for (unsigned int i=2; i<=maxFactor; i++){if (n % i == 0) //n能被i整除，则说明n非素数 {return false;}}return true;}3. 最大公约数求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法（又称辗转相除法），其计算原理依赖于定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r因此d是(b,a mod b)的公约数假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb +r因此d也是(a,b)的公约数因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

C++实现功能函数：/*函数功能：利用欧几里德算法，采用递归方式，求两个自然数的最大公约数函数名：Gcd输入值：unsigned int a，自然数aunsigned int b，自然数b返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数*/unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b){if (b == 0)return a;return Gcd(b, a % b);}/*函数功能：利用欧几里德算法，采用迭代方式，求两个自然数的最大公约数函数名：Gcd 输入值：unsigned int a，自然数aunsigned int b，自然数b返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数*/unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b){unsigned int temp;while (b != 0){temp = a % b;a = b;b = temp;}return a;}4．模幂运算利用模运算的运算规则，我们可以使某些计算得到简化。