秘密★启用前 试卷类型：A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学2018．4本试卷共5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．作答填空题和解答题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,0,1,2M =-，{0N x x =<或}1x >，则M N 中的元素个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 2．若a 为实数，且(1i)(i)=2a a +-，则=a A ．1- B ．0 C ．1D ．23．执行如图的程序框图，若输出32y =，则输入A ．2log 31-B ．21log 3-C ．21log 3- D4．若双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>程为2y x =，则C 的离心率为 ABC D5．根据下图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是A ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大C ．2008年我国实际利用外资同比增速最大D ．2010年我国实际利用外资同比增速最大6．已知命题:p x ∀∈R ,210x x +->；命题:q x ∃∈R ，23xx>，则下列命题中为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝7．设,x y 满足约束条件11,13,x x y -⎧⎨+⎩≤≤≤≤则3z x y =-的取值范围是A ．[]1,3-B ．[]1,3C ．[]7,1-D ．[]7,3-8．若函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间是A ．,63k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．5,36k k ππ⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) C ．2,263k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．52,236k k ππ⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) 9．设{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若22223478a a a a +=+，721S =-， 则10a = 12π 7π12实际利用外资规模 实际利用外资同比增速10．某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A ．18+π B ．182+π C ．16+π D ．162+π11．已知直线l 与曲线31y x x =-+有三个不同交点()11,A x y ，()()2233,,,B x y C x y ，且AB AC =，则()31iii x y =+=∑A ．0B ．1C ．2D ．312．体积为3的三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2=PA ，120ABC ︒∠=，则球O 的体积的最小值为A ．773π B ．2873π C ．19193π D ．76193π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量a 与b 的夹角为4π，2,2==a b ，则-=a b . 14．已知函数()f x =e 2xx -的图象在点()()1,1f 处的切线过点()0,a ，则a = . 15．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①361521=+；②491831=+；③642836=+；④813645=+中符合这一规律的等式是 ．（填写所有正确结论的编号）……16．设点P 是抛物线24=x y 上的动点，点P 到x 轴的距离为d ，点1P 是圆()()22211x y -++=上的动点，当1d PP +最小时，点P 的坐标为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin b A a B =. （1）求A ；（2）若2=a ，△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长.18．（本小题满分12分）A 药店计划从甲，乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A 药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中随机各抽取10件，以抽取的10件中药材的质量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．已知A 药店根据中药材的质量（单位：克）的稳定性选择药厂．（1）根据样本数据，A 药店应选择哪家药厂购买中药材？(不必说明理由)（2）若将抽取的样本分布近似看作总体分布，药 店与所选药厂商定中药材的购买价格如下表：（ⅰ）估计A 药店所购买的100件中药材的总质量；（ⅱ）若A 药店所购买的100件中药材的总费用不超过7000元，求a 的最大值．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111-ABC A B C 中，,M N 分别是1AB 和BC 的中点． （1）证明：MN ∥平面11AAC C ；（2）若12,1AA AB AC ===，90BAC ︒∠=，求棱锥1C AMN -的高．每件中药材的质量n （单位：克） 购买价格（单位：元/件）15n <501520n ≤≤a20n >10020．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，右焦点为()2,0F ，短轴长为4. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y =k x+C 相交于不同的两点,M N ，点P 为线段MN 的中点，OP FM ∥，求直线l 的方程.21．（本小题满分12分）已知函数()f x =()1ln a x x --.（1）若函数()f x 的极小值不大于k 对任意0a >恒成立，求k 的取值范围； （2）证明：∀n ∈N *，2231231111e 2222n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅+⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（其中e 为自然对数的底数）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为11,2(,x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()()2212sin 0a a ρθ+=>．（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 相交于A ，B 两点，且AB =5，求a 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()2121f x x x =++-，不等式()2f x ≤的解集为M . （1）求M ；（2）证明：当,a b M ∈时，1a b a b ++-≤．2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学参考答案一．选择题二．填空题13. 2 14. 1 15.①③④ 16. )223,222(--3,0,21cos 0sin sin sin sin cos sin sin 2:sin cos sin 2,sin sin )1(17.ππ=<<=≠===A A A A B B A A A B B a A A b B a A b 所以因为则由于由正弦定理得得解6,4162)(8)2)(1()2......(4,33sin 213sin 21,3)1.......(4,2cos 2)2(2222222222周长为所以得则得由得即则得面积为又则又解：由余弦定理得ABC c b bc c b c b c b bc bc A bc ABC bc c b a A bc c b a ∆=+=++=+=+===∆-+==-+=π75,757000)103100512150(100100A 10320,5110220152110515ii 150015100100A 15)222121181712121197(101(2)i 中药药药店应选择乙药厂购买A ）解：1（18.最大值为所以解得件中药材总费用为药店所购买的则的概率为的概率为的概率为中药材质量：乙药厂所提供的每件克件中药材质量估计值为药店所购买的故中药材质量的平均值为从乙药厂所抽取的每件a a a n n n x ≤≤⨯+⨯+⨯⨯<=≤≤=<=⨯=+++++++++=3422243432222321,22221223,,222121,90,1)2(//,//BC ,,)1(19.11111111122111111111111111122111111111111=⨯===⨯⨯==⨯⨯==+=∆⊥⊂⊥⊂=⋂⊥-=+===∠⊥==⊄⊂--∆∆h h V V h N AB AMN C S S BN BB N B BN B Rt NB ANC C BB N B CC BB AN ABC AN BC C C BB ABC C C BB ABC C B A ABC AC AB BC AN BAC BC AN BC N AC AB N B CC AA MN C C AA MN C C AA C A C A MN N B A M C A B A N c B A N AB c N AB N C B ，得到得由的距离相等设为的距离与它到平面到平面依题意，点则中，在所以平面又平面平面平面又平面平面中，可得平面在直三棱柱则又的中点，则是点，由于连接平面所以平面平面又中点，所以是因为的中点是依题意可得点证明：连接232,2322016)21(284)212()5(28)21223(2)21262()21223,21262(2122321262)2(2123)2(21:21,//,21)21(14,)21(26)21(28,)21(212)5......(028212)21(14823),(),,(),,()2(148:2,4242),0,2()0(1:)1(20.222222222220020202212212222002211222222+-=+=±=>=+⨯-=∆==++++-+++-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+-=⎪⎩⎪⎨⎧--=+=--=-==-==+=+-=+=+-=+=+++⎪⎩⎪⎨⎧=++==+===>>=+x y x y l k k k k kk k k kkk k M k ky k kx x k y kx y x ky FM k k k FM OP k x y k k y k x MN P k x x k x x kx x k y y x kx y y x P y x N y x M y x b b c F C b a by a x C OP FM OP 或方程为：所以直线则式判别式此时，解得带入椭圆方程得则点解得由得方程为所以直线所以因为中点，则是点得消去由设点椭圆方程为得，则又由于椭圆短轴长为则的右焦点为由于椭圆的方程为圆解：依题意可得，设椭),0[k 00)(0)1()()1()1,0()(0)(1,0)(101)(),0(ln 1)(ln 1)1()(1),1()1,0()(0)(),1(,0)()1,0(10)(01)(,ln )1()(),0()()1(21.max +∞≥>==∞+<'<>'<<--='>+-=+-==+∞>'+∞∈<'∈=='>-='--=+∞取值范围为所以，恒成立，则对于任意的极小值不大于由于函数上单调递减，上单调递增，在在故时，当时，当则令取得极小值，其值为时，函数当单调递增单调递减，在在故函数时，时，则，得时，令当得由得定义域为解：函数k a k x f g a g a g a g a a g a aa a g a a a a g aa af x f a x aa x f x f ax x f a x ax x f a x a x f x x a x f x f22213213222e )21ln()221ln()211ln(2)21ln()221ln()211ln(2,2222212121212122221212c 22221)21ln()221ln()211ln(2)21ln(,2,)1ln(,0)0()(0),0()(,0)(01)(,)1ln()()2(<+•••+++<+•••+++<+-=-+•••++=+•••+=+•••=+•••+<+•••+++<+=∈∀<+=<>+∞<'>+-='-+=++*n n n n n n n n n n n n n n n n n n n S n S n S n S n S n n n n n x N n xx h x h x x h x h x xxx h x x x h 所以所以整理化简得：上式减下式得令所以得令即时，故当上单调递减在则时，当令56012)5622(544)(56,53259102591024)(522,52,).....(022********)2(3,)sin 21()1(3,23211)1.(2221221212121212222222的值为所以式的判别式解得所以得亮点对应得参数分别是，设得带入把得由得消去解：由a a a a t t t t t t AB a t t t t t t B A a t t a y x t y t x ay x a x y t t y t x >=⨯-⨯⨯-=∆*==--=-+=-=-==+*=-+-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+=+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=θρ。