从总体中抽取容量为n的样本, 就是对
数理统计
代表总体的随机变量随机地、独立地进行n次试验(观测),
每次试验的结果可以看作是一个随机变量, n次试验的结果就是n个随机变量 X1, X2,…, Xn. 这些随机变量相互独立, 并且与总体服从相同的分布. 设得到的样本观测值分别是 x1, x2, …, xn, 则可以认为抽样的结果是发生了n个相互独立的事件: {X1=x1, X2=x2, …, Xn=xn}.
n i 1
数理统计
f总 ( x1 , x2 ,, xn ) f ( xi ) p i 1 (1 p)
xi
n
n
xi
i 1
n
若抽样是无放回的,则前次抽取结果会影响后面抽取结果,例如:
P ( X 2 1 X 1 1) M 1 N 1
p 1
1 N 1 N
i 1

t
i 1
n

i
ti
e !



ti
i 1
n
t1 ! t 2 ! t n !
e
n
例5: 设某批产品共有N个,其中的次品数为M, 其次品率为: p=M/N, 若 p是未知的,则可用抽样方法来估计它. 从这批产品中任取一个产品,用随机变量 X 来描述它是否是次品:
1, X 0, 所取的产品是次品 所取的产品不是次品
设总体X的分布为F(x)，则简单随机样本的联合分布为:
F ( x1 , x2 ,, xn ) P ( X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn )
P ( X 1 x 1 ) P ( X 2 x2 ) P ( X n xn )
F ( x1 )F ( x2 ) F ( xn ) F ( xi )
简单随机样本是应用中最常见的情形， 今后，若不特别说明，就指简单随机样本.
2. 简单随机样本的联合分布函数
数理统计
简单随机样本 X1, X2,…, Xn可以看成是 n 个独立同分布(iid ) (independent, identically 的随机变量, 其共同分布即为总体分布. distributed)
P( X
i 1
n
xi )
(2) 当总体X是连续型时, n X ~ f (x), 则样本的联合概率密度为:
f ( x1 , x2 , , xn ) f ( xi )
i 1
数理统计
例3: 设 X ~ N ( , 2 ), (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本， 求 (X1,X2,…,Xn)的密度。 解: (X1,X2,…,Xn) 为X的一个样本，故:
例2: 检验一批灯泡的寿命,从中选择100只,则: 总体: 这批灯泡(有限总体)
个体: 这批灯泡中的每一只 样本: 抽取的100只灯泡 样本容量: 100 样本值: x1, x2,…, x100
数理统计
二、简单随机抽样
数理统计
1. 若从总体 X 中抽取样本 X1, X2,…, Xn，满足: 1) 随机性:总体中每一个个体都有同等机会被选入, 即样本 Xi 与总体 X 有相同的分布; 2) 独立性:样本中每一样品的取值不影响其它样品的取值, 即 X1, X2,…, Xn 相互独立; 这种随机的、独立的抽样方法称为简单随机抽样。 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本。
i 1 n
(1) 当总体X是离散型时, 其分布律为: 样本的联合分布律为:
P ( X 1 x1 , X 2 x2 , , X n xn )
P ( X xi ) pi ( i 1, 2,)
P ( X 1 x1 ) P ( X 2 x2 ) P ( X n xn )
总体中所包含的个体的个数称为总体的容量. 有限总体 总体 无限总体

例1: 研究某批灯泡的寿命时, 关心的数量指标就是寿命, 那么, 此总体就可以用随机变量 X 表示, 或用其分布函数 F(x)表示.
数理统计
寿命 X 可用概率(指数)分布来刻划
总体
某批 灯泡的寿命
寿命总体是指数分布总体
常用随机变量或用其分布函数表示总体, 比如说总体 X 或总体F(x) .
p( N )
P ( X 2 1 X 1 0)
M N 1

p 1
1 N
p( N )
所以, 当样本容量 n 与总体中个体数目 N 相比很小时, 可将无放回抽样近似地看作放回抽样.
3. 总体、样本、样本值的关系
总体（理论分布） ？
数理统计
样本
样本值
统计是从手中已有的资料---样本值, 去推断总体的情况---总体分布F (x)的性质.
类似地, 在研究某地区中学生的营养状况时, 若关心的数量指标是身高和体重, 我们用 X 和 Y 分别表示身高和体重, 那么此总体就可用二维随机变量 (X, Y) 或其联合分布函数 F (x, y)来表示. 统计中, 总体这个概念的要旨是: 总体就是一个概率分布.
数理统计
3. 样本——从总体中抽取的部分个体. 样本中所包含的个体数目称为样本容量.
2
数理统计
例4: 某商场每天客流量 X 服从参数为 λ 的泊松分布， 求其样本 (X1, X2, …, Xn) 的联合分布律。
解: P ( X x )

x
e

, x 0,1, 2,
n
x!
P ( X 1 t1 , X 2 t 2 , , X n tn ) P ( X ti )
样本是联系二者的桥梁
总体分布决定了样本取值的概率规律, 也就是样本取到样本值的规律, 因而可以由样本值去推断总体.
数理统计
作业
习题6-1 1； 4
数理统计
X 服从参数为 p 的 0-1分布,可用如下表示方法:
f ( x, p) p (1 p)
x
1 x
, x 0,1
设有放回地抽取一个容量为n的样本: (X1, X2, …, Xn) 其样本值为: ( x1, x2, …, xn)
样本空间为: {( x1 , x2 ,, xn ) xi 0,1, i 1, 2,, n} (X1, X2, …, Xn) 的联合分布为:
数理统计
第六章 样本及抽样分布
第一节 总体与样本 第二节 样本分布函数 直方图 第三节 样本函数与统计量 第四节 抽样分布
数理统计
数 理 统 计 的 分 类
描述统计学
对随机现象进行观测、试验，以取得有代表性 的观测值,并对已取得的数据进行归纳整理、画 出统计图表，来反映研究对象的数据分布特征.
推断统计学
对已取得的观测值进行整理、分析,作出推断、 决策,从而找出所研究的对象的规律性.
数理统计
数理统计学是一门应用性很强的学科. 它是研究怎样以有效的方式收集、 整理和分析带有 随机性的数据, 以便对所考察的问题作出推断和预测. 客观上, 只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验, 我们只能获得局部观察资料. 在数理统计中, 不是对所研究的对象全体 (称为总体)进 行观察, 而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察获得数据 (抽样), 并通过这些数据对总体进行推断.
某批 灯泡的寿命
国产轿车每公里 的耗油量
该批灯泡寿命的全 体就是总体
国产轿车每公里耗油量 的全体就是总体
一、总体和样本
数理统计
1. 总体——研究对象全体元素组成的集合. 所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体, 它是一个随机变量(或多维随机变量), 记为 X. 总体有三层含义: 研究对象的全体;全部数据; 分布. 2. 个体——组成总体的每一个元素. 即某个数量指标的全体中的一个, 可看作随机变量 X 的某个取值, 用 Xi 表示.
数理统计方法具有“部分推断整体”的特征 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
数理统计
第一节 总体与样本
总体和样本
简单随机抽样
数理统计
人们往往研究有关对象的某一项(或几项)数量指标; 为此, 对这一指标进行随机试验, 观察试验结果全部观察值, 从而考察该数量指标的分布情况. 每个具有的数量指标的全体就是总体(population). 每个数量指标就是个体.
X i ~ N ( , ) i 1, 2, , n
2
f ( x1 , x2 , , xn ) f ( xi )
i 1
n

i 1
1
n
1 2
n
e

( xi ) 2
2
2

e 2 1
n
( xi ) 2 2
i 1