上节课知识检测一、基本内容1．利用描点法作函数图像其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：2、会画基本函数图像（一次(两点想x 取0，，y 取0（或X 取1）)、反比例（三点（x 取1/2、1,2）对称轴、对称中心）、二次(对称轴\顶点\开口)、幂(四点x 取0,1/2,1,2对称)、指数(三点x 取-1,0,1)、对数(三点Y-1,0,1)、对勾(两部分相等时X 值点)、三角(x 取五点；对称轴、对称中心)）3.掌握画图像的基本方法：（1）描点法（2）图像变换法．平移、伸缩、翻折 （3）讨论分段法(1)平移变换：y ＝f (x ) ――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位 y ＝f (x －a )； y ＝f (x ) ―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位 y ＝f (x )＋b . (2)伸缩变换：y ＝f (x )10111ωωωω<<>−−−−−−−−→，伸原的倍，短原的长为来缩为来 y ＝f (ωx )；y ＝f (x ) ――――――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0<A <1，缩为原来的A 倍 y ＝Af (x )． (3)对称变换：y ＝f (x )―――――――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )； y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )―――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图像翻折到左边去y ＝f (|x |)；y ＝f (x )―――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|.二、易错点1．在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图像对应的解析式，这样才能避免出错．2．明确一个函数的图像关于y 轴对称与两个函数的图像关于y 轴对称的不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．三、基本考点及例题 考点一 作图像画函数图像的一般方法1、直接法．（1）描点法 （2）经验法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；2、图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3、分段函数：分别作出每段区间的图像，注意：分段函数是一种特殊的函数，自变量在不同范围内取值时，对应的解析式不同，但无论分段函数共有几段，它始终是一个函数，而不是多个函数。

典例1-1】分别画出下列函数的图像： (1)y ＝2x ； （2）1()2xy = ； 训练1-1-1】分别画出下列函数的图像： 1)y ＝x 2－2x －1. ； (2)y ＝lg x 典例1-2】、分别画出下列函数的图像： (1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝x 2－2|x |－1. (3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，2x －1，x ≥0解：(1)将y ＝2x 的图像向左平移2个单位．图像如图（2）．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0.图像如图（3）．作出函数的图象训练1-2-1】 分别画出下列函数的图像 （1）1()2xy =-3 (2)y ＝|lg x | 解：(12法1:变换---先作)f(x)＝lg x法2：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.图像如图1.考点二图像变换的语言理解典例2-1】．为了得到函数y ＝2x －3－1的图像，只需把函数y ＝2x 的图像上所有的点( ) A ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度训练2-1-1】．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝________．解析 与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x ，依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象可由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1. 答案 e －x －1考点三识图辨图常用的方法1、识图(1)定量计算法：通过图像上确定的点（能确定坐标的点），坐标适合函数式，代入列等式（方程），定量的计算来分析解决问题；(2)定性分析法：图像的上升(或下降)的趋势，对称关系等，通过对问题进行定性（单调性、奇偶性等）的分析，从而得出利用这一特征分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．2、辨图(1)作出函数图像，对照选择(2)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；或利用函数特殊点的正负、大小验证典例3-1】.如图，函数f (x )的图像是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f (3)的值等于________．解析：∵由图像知f (3)＝1， ∴1f (3)＝1.∴f ⎝⎛⎭⎫1f (3)＝f (1)＝2.答案：2训练3-1-1】、已知指数函数)10()(≠>=a a a x f x且的图象经过点（3，π），求)1(),0(f f ，)3(-f 的值。

训练3-1-2】、若函数1()3x f x a-=+恒过定点P ，试求点P 的坐标。

解：将指数函数)10(≠>=a a a y x且的图象沿x 轴右移一个单位，再沿y 轴上移3个单位即可得到1()3x f x a-=+的图象，因为x y a =的图象恒过（0，1），故相应的1()3x f x a -=+恒过定点（1，4）。

训练3-1-2】．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像； (2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值． 10．解：(1)函数f (x )的图像如图所示． (2)由图像可知，函数f (x )的单调递增区间为 [－1,0]，[2,5]． (3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1， 当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.训练3-1-3】． (2014·福建卷)若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )典例3-1-4】．(2014·山东卷)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1，0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1，0＜c ＜1解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a ＜1.又当x ＝0时，y ＞0，即log a c ＞0，所以0＜c ＜1. 答案 D训练3-2-1】 (2014·佛山一模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则y ＝f (x ＋1)的图像大致是( )解析：选B 作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，log 13x ，x >1的图像，如图．再把f (x )的图像向左平移一个单位， 可得到y ＝f (x ＋1)的图像．故选B.训练3-2-2】(2012·湖北高考)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝－f (2－x )的图像为( )(2)法一：由y ＝f (x )的图像知f (x )＝⎩⎨⎧x (0≤x ≤1)，1(1<x ≤2).当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(0≤x ≤1)，2－x (1<x ≤2)，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1(0≤x ≤1)，x －2(1<x ≤2).法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－ 1.观察各选项，可知应选B.[训练3-2-3] (2013·福建高考)函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )[解析] (1)f (x )＝ln(x 2＋1)，x ∈R ， 当x ＝0时，f (0)＝ln 1＝0， 即f (x )过点(0,0)，排除B ，D.∵f (－x )＝ln [(－x )2＋1]＝ln(x 2＋1)＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，其图像关于y 轴对称，故选A. 考点四函数图像的应用函数图像是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来图像的应用常见的命题角度有：(1)确定方程根的个数； (2)求参数的取值范围； (3)求不等式的解集.应用 一 确定方程根的个数典例4-1】．(2014·日照一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．解析：方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图像，由图像知零点的个数为5.答案：5训练4-1-1】（2013年高考湖南（文））函数f(x)=㏑x 的图像与函数g(x)=x 2-4x+4的图像的交点个数为______（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3画图像【答案】C训练4-1-2】（2011高考）函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为A.3B.2C.1D.0 画图，二次最低点在对数之下【答案】B应用二 求参数的取值范围思路：1、先给参数一定值（如0））画出图像，再根据参数移动，确定参数（或相关式子）的范围2、含参数方程问题可转化两函数交点（公共点问题）典例4-2-1】、 若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于________．讨论,画图,答案：1训练4-2-1-1】.若log a 23<1, 则a 的取值范围是 分析：a >1, 画图log a 23<0,满足;0< a <1,画图y=1,y= log a x,x=23时a =23；分析a 变化时满足的条件0<a<23故0<a<23或a >1训练4-2-1-2】.(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意f (x )的图象如图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2.答案 (1，2]典例4-2-2】．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？解：令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|， G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示．由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点， 原方程有两个解．训练4-2-2-1】 (2015·洛阳模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x ＞0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.解析 当x ＞0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时， 函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x ， 因为0＜2x ≤20＝1，所以0＜a ≤1， 所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1. 答案 (0，1]训练4-2-2-2】.(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B.[0，1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D.[1，＋∞)解析 当a ＝2时，f (a )＝f (2)＝22＝4＞1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝2满足题意，排除A ，B 选项；当a ＝23时，f (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×23－1＝1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝23满足题意，排除D 选项，故答案为C. 答案 C典例4-2-3】（2010全国卷1理数）(15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 . 解：交点---方程根---分参---画图，训练4-2-3-1】．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象与直线y ＝x 恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，2)C ．[－1，2]D ．[2，＋∞)解析 法一 特值法，令m ＝2，排除C ，D ，令m ＝0，排除A ，故选B. 法二 令x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－1或x ＝－2，所以三个解必须为－1，－2和2，所以有－1≤m <2.故选B.答案 B 训练4-2-3-2】．【2012高考真题天津理14】已知函数112--=x x y 的图象与函数2-=kx y 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.讨论去绝对值并画图,直线过定点(0,-2),注:动直线要么过定点,要么平行【答案】10<<k 或41<<k训练4-2-3-3】．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1]解析：选B ∵a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a －b ≤1，b ，a －b >1， ∴函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2，x －1，x <－1或x >2.结合图像可知，当c ∈(－2，－1]∪(1,2]时，函数f (x )与y ＝c 的图像有两个公共点， ∴c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．应用三 求不等式的解集典例4-3】、求不等式)10(1472≠>>--a a a a x x 且中x 的取值范围。