iZt i
i0
Y k 1 t k1
·暂假定 1。既然{Yt}是平稳的，那么对于所有的 t ， EYt2 常量 。特别地，命 Yt 2 EYt2，则我们有：当 k时，
2 k
Yt
jZt j
j0
Y 2k 2
2
t k1
0
因此依 L2 ，Yt
。 Zj
j0
tj
对于这个新定义的过程Yt
j 0 jZt j ，我们有如下性质：
例 3.1 考虑 MA(1) 模型Yt
Zt
1Zt
。它的相关函数满足
1
1,
k 0,
Y (k)
1 (1
2 1
),
0,
k 1, 其它.
考虑另一个 MA(1) 模型
1
Xt Zt
Zt 1
1
那么有 X (k) Y (k) 。
{ X t } 和 {Yt } 二者具有相同的协方差函数。那么 { X t } 和 {Yt } 二者谁
第三章 自回归滑动平均模型
3.1 简介
本章引入了时间序列分析常用的几个概率模型。假定所要研究的序列已 经用前两章介绍的方法剔除了趋势。粗略地说，存在三种模型：滑动平均模 型(MA)；自回归模型(AR)和自回归滑动平均模型(ARMA)。它们用来描述平稳 时间序列。此外，因一些类型的非平稳性可以用差分的手段来处理，所以 我们也研究自回归融合滑动平均模型(ARIMAs)这种类型。
(i) {Yt}是平稳的； (ii) 对所有的 t ，{Yt}满足 (B)Yt Zt 。
3.3.1 因果和平稳二象性
在不同的著作中，关于 AR(一般地，ARMA)模型的平稳性和因果性的 概念似乎存在着混淆。本节我们来澄清这种模棱两可的情况。
主要问题：AR(p)总是存在的吗？
为了回答这个问题，考虑简单的 AR(1)情形：
Yt Yt 1 Zt , Zt WN(0, 2 )
迭代这个方程，有Yt Zt Zt 1
。 Y k 1 t k1
(3.4)
问题 1. 我们可以找到满足方程(3.4)的平稳过程吗？
首先，假如这样的过程 {Yt } 的确存在，它会是怎样的呢？
·既然 {Yt } 满足方程(3.4)，它必须有如下形式：
k
Yt
(B)Zt ，那么
3.3 自回归模型
另一类常用的模型是自回归(AR)模型。AR 模型之所以有吸引力是因为它
很类似于传统的回归模型。当我们用时间序列的过去(滞后)值代替经典回归
模型中的预测子后，我们就得到了一个 AR 模型。因此我们有理由料想为经典
回归导出的大部分统计结果可以不做什么修改就推广到 AR 情形。情况确实
(i) 对于所有的t ，Yt 满足(3.4)；
(ii) EYt 0 ， varYt 2 (1 2) ；
(iii)
cov(Yt ,Yt k ) cov
jZt j ,
Zl tkl
j0
l0
2
2j k
j0
2 k (1 2) 。
因此，这个新定义的{Yt}是平稳的并且问题 1 的答案是存在
平稳 AR(1)过程{Yt}满足(3.4)。
(B) 1 1B
qBq 而 BZt Zt 1。{Yt}可逆的条件由如下定理给出。
定理 3.1 如果方程 (B) 0 的根全部位于单位圆之外，那么 MA(q) 模
型 {Yt } 是可逆的。 证明： MA(1) 情形说明了证明思路。
注释：假如一个常数均值 加入到方程中，使的Yt EYt ，但是，自协方差函数保持不变。
更可取呢？
为了回答这个问题，倒过头来将{Zt } 用数据来表示。对于数据集{Yt } ，残差 {Z t } 可以写为
Zt Yt 1Zt 1 Yt 1(Yt 1 1Zt 2 )
Yt
1Yt 1
Y2
1 t2
(3.2)
对于数据集 { X t } ，残差{Z t } 可以写为
1
Zt Xt
Zt 1
1
1
1
Xt
Xt 1
2
i i k,
i0
k q, k q.
证明： cov(Yt ,Yt k ) E(YtYt k )
E(Zt
q Zt q )(Zt k
qZt k q )
观察公式
qk
2
i i k,
i0
其中, 0 1.
qk
q
ii k
2 i
,
k q, k 0,
(k) i 0
i0
1,
k 0,
0,
其它.
知，对于 MA(q) 模型，其 ACF 在 q 次滞后以后变为零。它显然是一个平稳模型。
问题 2. 对于假设 1，情况又怎样呢？
这个假设是无关紧要的，因为一当我们建立了{Yt } 的正确形式，它就不
需要了。虽然当 1时，过程{Yt}不再收敛，我们仍可以重写(3.4)如下。
既然Yt 1
Yt
Zt
，方程两边同时除以
1
，我们有
如此并且正因为这个原因，AR 模型已经成为最常用的线性时间序列模型之一.
形式上，AR(p)模型{Yt}可以写为 (B)Yt Zt ，这里 (B) (1 1B
pBp) ，
BYt Yt 1 。于是，Yt 1Yt 1
pYt p Zt 。正式地，我们有如下定义。
定义 3.1 称{Yt}为 AR(p)过程，如果
3.2 滑动平均模型
设{Zt}是具有均值为零方差为 2 的独立同分布的随机变量序列并用 Zt i.i.d.(0, 2 ) 表示之。假如我们只要求{Zt}是不相关的而不必是独立的， 则{Zt}有时被称为白噪音序列并用 Zt WN(0, 2) 表示之。从直观上说，这 意味着序列{Zt}是随机而且没有系统结构的。 在本书的通篇，我们都用 {Zt}表示宽意义上的白噪音序列，这就是说， Zt WN(0, 2 ) 或者意味着 Zt i.i.d.(0, 2 ) 或者意味着{Zt}是具有均值为零方差为 2 的不相关的随机变 量序列。用 {Z t } 做成一个加权平均，我们就完成了如下的滑动平均(MA)时 间序列模型：
2 Xt 2
1
1
(3.3)
如果 1
1，方程(3.2)收敛而方程(3.3)发散。当我们想去解释残差{Z t } 时
，处理一个收敛的表达式当然是更合意的。因此方程(3.2)更可取。在这种
情形下， MA(1) 模型{Yt}被称为是可逆的。
一般地，设{Yt}是一个 MA(q) 模型，由Yt (B)Zt 给出，这里
Yt Zt 1Zt 1
qZt q , Zt WN(0, 2 )
此模型称为 q 阶滑动平均模型并记为 MA(q) 。
(3.1)
命题 3.1 设{Yt}是(3.1)式给出的 MA(q) 模型。那么
(i)
EYt
0 ； (ii) varYt
(1
2 1
2 q
)
2；
(iii)
cov(Yt ,Yt k )
0,
qk