竞赛讲座一 函数的性质第一讲 函数的单调性一．学习目标会判断较复杂的函数的单调区间，能利用函数的单调性解决最值问题及解不等式、解方程。

二．知识要点单调性的定义，复合函数的单调性，抽象函数的单调性三．例题讲解例1.已知⎩⎨⎧>≤+-=1)(xlog )1( 4)13()(x x a x a x f a 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （A ）(0,1)（B ）1(0,)3 （C ）11[,)73（D ）1[,1)7 【答案】C【解析】由题意知)1(log )(>=x x x f a 在),1(+∞上为减函数，所以10<<a ①，)1(4)13()(<+-=x a x a x f 在)1,(-∞上为减函数，所以013<-a ②，且当1=x 时，1log 41)13(a a a ≥-⨯- ③，由①②③得答案为C.例2 已知函数x x x f -+=1)(，判断该函数在区间[),0∞+上的单调性，并说明理由．【讲解】用定义判断。

设0≤1x ＜2x ,)()(21x f x f -=11+x −1x −12+x +2x=112121+++-x x x x +1212x x x x +- =(1x −2x )(11121+++x x −121x x +) ∵1121+++x x ＞12x x +＞0,∴11121+++x x ＜121x x + 又∵1x ＜2x ∴(1x −2x )(11121+++x x −121x x +)＞0 ∴)()(21x f x f > ∴该函数在区间[),0∞+上的单调递增。

例3. 已知f ( x )=－x 2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间．【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数t =－x 2+2 ① y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ②对于②f ( t ) =2)1(--t +9,可知当)1,(-∞∈t 时是增函数，当),1(+∞∈t 时是减函数。

对于①由t =－x 2+2＞1得11<<-x ，当)0,1(-∈x 时是增函数，当)1,0(∈x 时是减函数。

由t =－x 2+2＜1得1>x 或1-<x ，当)1,(--∞∈x 时是增函数，当),1(+∞∈x 时是减函数。

由复合函数的单调性可知，f ( x )的单调递增区间是)1,(--∞和(0,1)。

例 4. 已知函数a y x x =+有如下性质：如果常数0a >，那么该函数在(上是减函数，在)+∞上是增函数。

（1）如果函数2(0)by x x x=+>在(]0,4上是减函数，在[)4,+∞上是增函数，求b 的值。

（2）设常数[]1,4c ∈，求函数()(12)c f x x x x=+≤≤的最大值和最小值； （3）当n 是正整数时，研究函数()(0)n nc g x x c x =+>的单调性，并说明理由。

【讲解】： (1) 由已知得b 2=4, ∴b=4. (2) ∵c ∈[1,4], ∴c ∈[1,2],于是,当x=c 时, 函数f(x)=x+x c 取得最小值2c . f(1)－f(2)=22-c , 当1≤c ≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+2c ； 当2≤c ≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.(3)设0<x 1<x 2,g(x 2)－g(x 1)=)1)((21121122n n n n n n n n x x c x x x c x x c x --=--+. 当n c 2<x 1<x 2时, g(x 2)>g(x 1), 函数g(x)在[n c 2,+∞)上是增函数； 当0<x 1<x 2<n c 2时, g(x 2)>g(x 1), 函数g(x)在(0,n c 2]上是减函数.当n 是奇数时,g(x)是奇函数, 函数g(x) 在(－∞,－n a 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数.当n 是偶数时, g(x)是偶函数,函数g(x)在(－∞,－n a 2)上是减函数, 在[－n a 2,0]上是增函数.例5 设x , y ∈R ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-1)1(1997)1(1)1(1997)1(33y y x x ，求x +y . 【讲解】 设f (t )=t 3+1997t ，先证f (t )在（-∞，+∞）上递增。

事实上，若a <b ，则f (b )-f (a )=b 3-a 3+1997(b -a )=(b -a )(b 2+ba +a 2+1997)>0，所以f (t )递增。

由题设f (x -1)=-1=f (1-y )，所以x -1=1-y ，所以x +y =2.例6． 已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意12,x x ∈R 都有1212()()()f x x f x f x +=+，当0x >时，()0f x <，(1)f a =，试判断在区间[－3,3]上()f x 是否有最大值或最小值，若有，求出其最大值或最小值，若没有，说明理由.【讲解】： 设12,x x ∈R 且12x x <，则210x x ->，所以21()0f x x -<.∴212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+-＝2111()()()f x x f x f x -+-＝21()0f x x -<. ∴21()()f x f x <所以()f x 在R 上为减函数，在[－3,3]上，max min (3),(3)y f y f =-=.因为(3)(21)(2)(1)3(1)3f f f f f a =+=+==，令120,x x ==则(0)0f =，令12,x x x x ==-，则(0)()()f f x f x =+-，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，所以在区间[－3,3]上，max min (3)(3)3,(3)3y f f a y f a =-=-=-==.例7 已知函数()f x 的定义域为[0,1]，且同时满足：（1）(1)3f =（2）()0f x ≥恒成立（3）若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则有1212()()()f x x f x f x +≥+.求函数()f x 的最大值和最小值 .【讲解】：设1201x x ≤<≤，∴2101x x <-≤，由（2）知21()0f x x -≥.则212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+-2111()()()f x x f x f x ≥-+-＝21()0f x x -≥，即21()()f x f x ≥，所以()f x 在[0,1]为增函数.故函数()f x 在[0,1]的最大值和最小值分别为(1)f 和(0)f .在(3)中令120x x ==，得(0)2(0)f f ≥，∴(0)0f ≤，根据（2）知(0)0f ≥∴(0)0f =，所以函数()f x 的最大值和最小值分别为3和0.四．课后练习1.填空：（1）函数142--=x x y 的递增区间是___ __ _．（2）函数)34(log 2-+-=x x y a 递减区间是__ _．2.奇函数f (x )在定义域（-1，1）内是减函数，又f (1-a )+f (1-a 2)<0，求a 的取值范围。

3.解方程：ln(12+x ＋x )＋ln(142+x ＋2x )＋3x ＝04. 设()f x 是定义在R 上的函数并满足下列两个条件：①对任意12,x x ∈[0,1]都有1212()()()f x x f x f x +=；②(1)0f a =>且1a ≠.（1）求1()2f ；（2）求证：当1a >时，()f x 在 [0,1]上是增函数.5. 已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，当,[1,1],0m n m n ∈-+≠ 时，有()()0f m f n m n+>+. （1）证明()f x 在[1,1]-是增函数；（2）解不等式11()()21f x f x +<- 第二讲 函数的奇偶性与对称性一．学习目标利用函数的奇偶性及图像的对称性等性质解决与函数有关的问题时，巧妙利用数形结合，使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的.二．知识要点1.奇偶性的定义。

2.奇、偶函数的定义域必是关于数轴原点对称的区域。

3.奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。

4.对称性的几个结论：若函数)(x f y =对定义域内的一切x 有：⑴)(x f -=)(x f ，则函数图像关于y 轴对称。

⑵)(x f -=−)(x f ，则函数图像关于原点对称。

⑶)(a x f +=)(x a f -或)(x f =)2(x a f -（a 为常数），函数图像关于a x =对称。

⑷)(x f y =与y =)(x f -关于y 轴对称；)(x f y =与y =−)(x f 关于x 轴对称；)(x f y =与y =−)(x f -关于原点对称；)(x f y =与x =)(y f 关于x y =对称。

三．例题讲解例1．函数1()f x x x =-的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称【答案】C 【解析】1()f x x x=-是奇函数，所以图象关于原点对称。

考查函数奇偶性的性质。

例2.函数3()sin 1()f x x x x R =++∈,若()2f a =，则()f a -的值为 （ ）A.3B.0C.-1D.-2 【答案】B【解析】3()1sin f x x x -=+为奇函数，又()2f a =∴()11f a -=故()11f a --=-即()0f a -=例3. f ( x )是奇函数，x ＞0时，f ( x ) = x · (4－3x )，那么x ＜0时f ( x ) = _______．【答案】x · (4+3x )【解析】设x ＜0，则− x ＞0，∴f ( −x ) = −x · (4+3x )，又∵f ( x )是奇函数∴)(x f -=−)(x f∴−)(x f = −x · (4+3x )，∴)(x f = x · (4+3x )例 4.设()f x 是连续的偶函数,且当0x >时()f x 是单调函数,则满足3()()4x f x f x +=+的所有x 之和为 ( )A.3-B.3C.8-D.8【答案】C【解析】：本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用。