2020-2021学年上海市杨浦区兰生复旦中学九年级（上）期中数学仿真试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.已知线段a、b、c，求作第四比例线段x，则以下正确的作图是()A. B.C. D.2.如图，在梯形ABCD中，AB//CD，过O的直线MN//CD，则1AB +1CD=()A. 1MN B. 2MNC. 3MND. 4MN3.如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE//BC，EF//CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是()A. AFDF =DEBCB. AFBD=ADABC. DFDB=AFDFD. EFCD=DEBC4.已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是()A. 若△AEF与△ABC相似，则EF//BCB. 若AE×BE=AF×FC，则△AEF与△ABC相似C. 若AEAB =EFBC，则△AEF与△ABC相似D. 若AF⋅BE=AE⋅FC，则△AEF与△ABC相似5.下列正确的是()A. |k a⃗|=k|a⃗|B. a0⃗⃗⃗⃗ 为单位向量，则b⃗ =|b⃗ |⋅a0⃗⃗⃗⃗C. 平面内向量a⃗、c⃗，总存在实数m使得向量c⃗=m a⃗D. 若a⃗=m⃗⃗⃗ +n⃗，m⃗⃗⃗ //a1⃗⃗⃗⃗ ，n⃗//a2⃗⃗⃗⃗ ，则m⃗⃗⃗ 、n⃗就是a⃗在a1⃗⃗⃗⃗ 、a2⃗⃗⃗⃗ 方向上的分向量6.如图，在直角梯形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则BFEF的值是()A. √2−1B. 2+√2C. √2+1D. √2二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.若ba =23，那么aa+b的值为______．8.计算：tan15°⋅tan45°⋅tan75°=______．9.若a0⃗⃗⃗⃗ 是与非零向量a⃗反向的单位向量，那么a⃗=______a0⃗⃗⃗⃗ ．10.如图，在△ABC中，BC=6，G是△ABC的重心，过G作边BC的平行线交AC于点H，则GH的长为______．11.二次函数y=ax2−3x+a2−a的图象经过原点，则a=______．12.若过⊙O内一点M的最长弦为10，最短弦为6，则OM的长为______．13.已知⊙O的半径为13，弦AB=24，CD=10，且AB//CD，则弦AB与CD之间的距离为______．14.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是______ m(π取3.14)．15.小亮的身高为1.8米，他在路灯下的影子长为2米；小亮距路灯杆底部为3米，则路灯灯泡距离地面的高度为______ 米．16.如图，△ABC中，BC=5，AC=3，△ABC绕着C点旋转到△A′B′C的位置，那么△BB′C与△AA′C的面积之比为______．17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，O为AC边中点，ACAB=2，连接BO交AD于F，作OE⊥OB交BC边于点E，则OF的值=______．OE18.将一个无盖正方体纸盒展开(如图①)，沿虚线剪开，用得到的5张纸片(其中4张是全等的直角三角形纸片)拼成一个正方形(如图②).则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是______．三、解答题（本大题共7小题，共73.0分）19.计算：3tan30°+cos60°−√3+2sin245°20.已知在直角坐标系中，点A的坐标是(−3,1)，将线段OA绕着点O顺时针旋转90°得到OB．(1)求点B的坐标；(2)求过A、B、O三点的抛物线的解析式；(3)设点B关于抛物线的对称轴L的对称点为C，求△ABC的面积．21.如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．(1)求证：△ABF∽△EAD；(2)若AD=3，∠BAE=30°，求BF的长．(计算结果保留根号)22.已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC．求证：(1)DB2=DE⋅DA；(2)∠DCE=∠DAC．23.如图，△ABC中，D为BC边上的一点，E在AD上，过点E作直线l分别和AB、AC两边交于点P和点Q，且EP=EQ．(1)当点P和点B重合的时候，求证：BCCD =2AEAD；(2)当P、Q不与A、B、C三点重合时，求证：APAB +AQAC=2AEAD．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴和负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过的A、B，且12a+5c=0．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P由点A开始边以2cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动．当一点到达终点时，另一点也停止运动．①当移动开始后第t秒时，设S=PQ2(cm)，试写出s与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．②当t取何值时，S取得最小值？此时在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由．25.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∠A=60°，CD是边AB上的中线，直线BM//AC，E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将△EDC沿CD翻折得△E′DC，射线DE′交直线BM于点G．(1)如图1，当CD⊥EF时，求BF的值；(2)如图2，当点G在点F的右侧时；①求证：△BDF∽△BGD；②设AE=x，△DFG的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(3)如果△DFG的面积为6√3，求AE的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵线段x为线段a、b、c的第四比例线段，∴ab =cx，∴正确的作图是B；故选：B．根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解．本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．2.【答案】B【解析】解：∵AB//CD，MN//CD，∴MN//AB，∵ON//AB，OM//AB，∴ONAB =DNDA，OMAB=CMCB，∵DNDA =CMCB，∴ONAB =OMAB，∴ON=OM，∵ON//CD，∴△AON∽△ACD，∴ONCD =AOAC①，∵OM//AB，∴△COM∽△CAB，∴OMAB =OCCA②，①+②得ONCD +OMAB=1，即12MN CD +12MN AB=1，∴1AB+1CD=2MN．故选：B ．先得到MN//AB ，利用平行线分线段成比例定理得到ONAB =DNDA ，OMAB =CMCB，DN DA =CM CB，则可判断ON =OM ，再证明△AON∽△ACD 得到ONCD =AO AC ①，证明△COM∽△CAB 得到OMAB =OCCA ②，把两式相加后利用等式的性质可得到1AB +1CD =2MN．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．3.【答案】D【解析】解：A 、∵EF//CD ，DE//BC ， ∴AFDF =AEEC ，AEAC =DEBC ， ∵CE ≠AC ， ∴AF DF ≠DE BC.故本答案错误；B 、∵DE//BC ，EF//CD ， ∴AE AC =ADAB ，AE AC=AFAD ， ∴AF AD=AD AB，∵AD ≠DF ，∴AFBD ≠ADAB ，故本答案错误； C 、∵EF//CD ，DE//BC ， ∴AFDF =AEEC ，AEEC =ADBD ， ∴AF DF =AD BD．∵AD ≠DF ，∴DFDB ≠AFDF ，故本答案错误； D 、∵DE//BC ，EF//CD ， ∴DEBC =AEAC ，EFCD =AEAC ，∴EFCD =DEBC，故本答案正确．故选：D．根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了平行线分线段成比例的运用及平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的新三角形与原三角形相似的定理的运用，在解答时寻找找对应线段是关健．4.【答案】D【解析】解：选项A错误，∵△AEF与△ABC相似，可能是∠AEF=∠C，推不出EF//BC．选项B错误，由AE×BE=AF×FC，推不出△AEF与△ABC相似．选项C错误，由AEAB =EFBC，推不出△AEF与△ABC相似．选项D正确．理由：∵AF⋅BE=AE⋅FC，∴AEBE =AFFC，∴EF//BC，∴△AEF∽△ABC．故选：D．根据三角形相似的判定定理一一判断即可．本题考查相似三角形的判定，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，属于中考常考题型．5.【答案】A【解析】解：A、|k a⃗|=k⋅a⃗|，正确．B、a0⃗⃗⃗⃗ 为单位向量，则b⃗ =|b⃗ |⋅a0⃗⃗⃗⃗ ，错误，应该是b⃗ =±|b⃗ |⋅a0⃗⃗⃗⃗ ．C、平面内向量a⃗、c⃗，总存在实数m使得向量c⃗=m a⃗，错误，因为a⃗与c⃗不一定是平行向量．D、若a⃗=m⃗⃗⃗ +n⃗，m⃗⃗⃗ //a1⃗⃗⃗⃗ ，n⃗//a2⃗⃗⃗⃗ ，则m⃗⃗⃗ 、n⃗就是a⃗在a1⃗⃗⃗⃗ 、a2⃗⃗⃗⃗ 方向上的分向量，错误，也可能是a⃗在a1⃗⃗⃗⃗ 、a2⃗⃗⃗⃗ 反方向上的分向量．故选：A．根据平面向量的性质一一判断即可．本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.【答案】C【解析】【分析】作FG⊥AB于点G，由AE//FG，得出BFEF =BGGA，求出Rt△BGF≌Rt△BCF，再由AB=√2BC求解．本题主要考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识，解题的关键是找出线段之间的关系，CB=GB，AB=√2BC再利用比例式求解．【解答】解：作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴AE//FG，∴BFEF =BGGA，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，在Rt△BGF和Rt△BCF中，{BF=BFCF=GF ∴Rt△BGF≌Rt△BCF(HL)，∴CB=GB，∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=√2BC，∴BFEF =BGGA=BC√2BC−BC=1√2−1=√2+1．故选：C．7.【答案】35【解析】解：∵ba =23，∴b=23a，∴aa+b =aa+23a=35；故答案为：35．根据已知得出b=23a，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．8.【答案】1【解析】解：原式=tan15°⋅tan75°⋅tan45°=1×1=1．故答案为：1．直接利用锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数值代入得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆公式变形是解题关键．9.【答案】−|a⃗|【解析】解：若a0⃗⃗⃗⃗ 是与非零向量a⃗反向的单位向量，那么a⃗=−|a|⃗⃗⃗ ⋅a0⃗⃗⃗⃗ ，故答案为−|a⃗|.根据向量的几何意义填空即可．本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10.【答案】2【解析】解：如图，连接AG，并延长AG交BC于D；∵G是△ABC的重心，∴AG：GD=2：3，且D是BC的中点；∵GH//BC，∴GHCD =AGAD=23；∵CD=12BC=3，∴GH=2．连接AG，并延长AG交BC于D；根据重心的性质知：D是BC中点，且AG：AD=2：3；可根据平行线分线段成比例定理得出的线段比例关系式及CD的长求出GH的值．此题考查了平行线分线段成比例定理以及重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．11.【答案】1【解析】解：将(0,0)代入y=ax2−3x+a2−a，∴0=a2−a，∴a=0(舍去)或a=1，故答案为：1．将(0,0)代入二次函数的解析式即可求出a的值．本题考查二次函数，解题的关键是正确理解待定系数法，本题属于基础题型．12.【答案】4【解析】解：由已知可知，最长的弦是过M的直径AB，最短的是垂直平分直径的弦CD，已知AB=10，CD=6，则OD=5，MD=3，由勾股定理得OM=4．故答案为：4．根据垂径定理及勾股定理即可求出．此题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．13.【答案】7或17【解析】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，∵AB=24，CD=10，∴AE=12，CF=5，∵OA=OC=13，∴EO=5，OF=12，∴EF=12−5=7；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，∵AB=24，CD=10，∴AE=12，CF=5，∵OA=OC=13，∴EO =5，OF =12，∴EF =OF +OE =17．∴AB 与CD 之间的距离为7或17．故答案为7或17．分两种情况进行讨论：①弦AB 和CD 在圆心同侧；②弦AB 和CD 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．14.【答案】15【解析】解：设抛物线的方程为y =ax 2+bx +c已知抛物线经过(0,16)，(−20,0)，(20,0)，故可得{16=c0=400a −20b +c 0=400a +20b +c，可得a =−125，b =0，c =16，故解析式为y =−125x 2+16，当x =5时，y =15m ．根据题意假设解析式为y =ax 2+bx +c ，用待定系数法求出解析式．然后把自变量的值代入求解对应函数值即可．本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 15.【答案】4.5【解析】【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，属于基础题．根据已知得出图形，进而利用相似三角形的性质求出即可．【解答】解：结合题意画出图形：易得△ADC∽△AEB，∴ACAB =CDBE，∴ACCD =ABBE，∵小亮的身高为1.8米，他在路灯下的影子长为2米；小亮距路灯杆底部为3米，∴AC=2，BC=3，CD=1.8，∴21.8=5BE，解得：BE=4.5，故答案为4.5．16.【答案】259【解析】解：∵△ABC绕着C点旋转到△A′B′C的位置，∴AC=CA′，BC=CB′，∠BCB′=∠ACA′，∴BCAC =B′CA′C，∴△ACA′∽△BCB′，∴S△BB′CS△AA′C =(BCAC)2=259，故答案为：259．由旋转的性质可得AC=CA′，BC=CB′，∠BCB′=∠ACA′，可证△ACA′∽△BCB′，由相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，证明△ACA′∽△BCB′是本题的关键．17.【答案】2【解析】解：∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°．∵∠BAC=90°，∴∠BAF=∠C．∵OE⊥OB，∴∠BOA+∠COE=90°，∵∠BOA+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠COE．过O作AC的垂线交BC于H，则OH//AB，∵∠ABF=∠COE，∠BAF=∠C．∴∠AFB=∠OEC，∴∠AFO=∠HEO，而∠BAF=∠C，∴∠FAO=∠EHO，∴△OEH∽△OFA，∴OFOE =OAOH，又∵O为AC的中点，OH//AB．∴OH为△ABC的中位线，∴OH=12AB，OA=OC=12AC，而ACAB=2，∴OAOH=2，即OFOE=2，故答案为：2．先证明∠BAF=∠C，∠ABF=∠COE，作OH⊥AC，交BC于H，易证：△OEH和△OFA相似，可得OFOE =OAOH，由三角形中位线定理可得OH=12AB，OA=OC=12AC，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．18.【答案】1：2【解析】解：由图可得，所剪得的直角三角形较短的边是原正方体棱长的一半，而较长的直角边正好是原正方体的棱长，所以所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是1：2．本题考查了拼摆的问题，仔细观察图形的特点作答．本题必须以不变应万变，透过现象把握本质，才能将问题转化为熟悉的知识去解决．19.【答案】解：原式=3×√33+12−√3+2×(√22)2 =√3+12−√3+1 =32．【解析】直接利用特殊角的三角函数值和二次根式的性质分别化简得出答案． 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 20.【答案】解：(1)过点A 作AH ⊥x 轴，过点B 作BM ⊥y轴，由题意得OA =OB ，∠AOH =∠BOM ，∴△AOH≌△BOM∵A 的坐标是(−3,1)，∴AH =BM =1，OH =OM =3∴B 点坐标为(1,3)(2)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c则{a +b +c =39a −3b +c =1c =0．得{a =56b =136c =0∴抛物线的解析式为y =56x 2+136x(3)对称轴为x =−1310∴C 的坐标为(−185,3) ∴S △ABC =12BC ⋅ℎBC =12×(1+185)×2=235．【解析】(1)本题可通过构建全等三角形来求解．过点A 作AH ⊥x 轴，过点B 作BM ⊥y 轴，根据旋转的性质可知：OA =OB ，而∠MOB 与∠AOH 都是∠AOM 的余角，因此两角相等，因此这两个直角三角形就全等，那么OH=OM，AH=BM，由此可得出B点坐标．(2)根据求出的B点坐标以及已知的A、O的坐标即可用待定系数法求抛物线的解析式．(3)先根据抛物线的解析式求出抛物线的对称轴及C点坐标，即可得出BC的长，求三角形ABC的面积时，可以BC为底，以A、B纵坐标差的绝对值为高来求解．本题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、图形面积的求法等知识．21.【答案】(1)证明：在平行四边形ABCD中，∵∠D+∠C=180°，AB//CD，∴∠BAF=∠AED．∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，∴∠AFB=∠D，∴△ABF∽△EAD；(2)解：∵BE⊥CD，AB//CD，∴BE⊥AB．∴∠ABE=90°．在Rt△ABE中，∠BAE=30°，∴tan∠BAE=ABEA =√32，∵由(1)知，△ABF∽△EAD，∴ABEA =BFAD，∵AD=3，∴BF=3√32．【解析】(1)可通过证明∠BAF=∠AED，∠AFB=∠D，证得△ABF∽△EAD；(2)根据平行线的性质得到BE⊥AB，根据三角函数的定义得到tan∠BAE=ABEA =√32，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题主要考查了相似三角形的判定和性质，同时也用到了平行四边形的性质和等角的补角相等等知识点．22.【答案】证明：(1)在△BDE和△DAB中∵∠DEB=∠ABC，∠BDE=∠ADB，(1分)∴△BDE∽△ADB，(1分)∴BD2=AD⋅DE.(1分)(2)∵AD是中线，∴CD=BD，∴CD2=AD⋅DE，∴CDDE =ADCD，(1分)又∠ADC=∠CDE，(1分)∴△DEC∽△DCA，(1分)∴∠DCE=∠DAC.(1分)【解析】(1)根据已知可证△BDE∽△DAB，得到DEBD =BDAD，即证BD2=AD⋅DE．(2)在(1)的基础上，因为CD=BD，可证CDDE =ADCD，即可证△DEC∽△DCA，得到∠DCE=∠DAC．本题考查相似三角形的判定和性质．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等．23.【答案】证明：(1)如图，过点Q作QF//BC交AD于F，∴△FQE∽△DPE，∴QFBD =QEEP=EFDE，又∵QE=EP，∴BD=FQ，EF=DE，∵QF//CD，∴△AFQ∽△ADC，∴FQCD =AFAD，∴BCCD =2AEAD；(2)如图，过点Q作QF//BC交AD于F，过点P作PH//BC交AD于H，∴QF//PH，∴△FQE∽△HPE，∴FQPH =EFEH=EQPE，又∵QE=EP，∴PH=FQ，EF=HE，∵FQ//BC，∴△AQF∽△ACD，∴AQAC =AFAD，∵PH//BC，∴△APH∽△ABD，∴APAB =AHAD，∴APAB +AQAC=AFAD+AHAD=AF+AF+2EFAD=2AEAD．【解析】(1)过点Q作QF//BC交AD于F，由相似三角形的性质可得QFBD =QEEP=EFDE，可得BD=FQ，EF=DE，通过证明△AFQ∽△ADC，可得FQCD =AFAD，即可得结论；(2)过点Q作QF//BC交AD于F，过点P作PH//BC交AD于H，由相似三角形的性质可得FQPH =EFEH=EQPE，可得PH=FQ，EF=HE，由相似三角形的性质可得AQAC=AFAD，APAB=AHAD，即可得结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，利用平行线分线段成比例解决问题是本题的关键．24.【答案】解：(1)据题意知：A(0,−2)，B(2,−2)，∵A点在抛物线上，∴c =−2，∵12a +5c =0，∴a =56，由AB =2知抛物线的对称轴为：x =1，即：−b 2a =1，∴b =−53， ∴抛物线的解析式为：y =56x 2−53x −2；(2)①由图象知：PB =2−2t ，BQ =t ，∴S =PQ 2=PB 2+BQ 2=(2−2t)2+t 2，即S =5t 2−8t +4(0≤t ≤1)；②假设存在点R ，可构成以P 、B 、R 、Q 为顶点的平行四边形，∵S =5t 2−8t +4(0≤t ≤1)，∴S =5(t −45)2+45(0≤t ≤1)，∴当t =45时，S 取得最小值45；这时PB =2−85=0.4，BQ =0.8，P(1.6,−2)，Q(2,−1.2)，分情况讨论：若PB 与PQ 为边，这时QR =PB =0.4，QR//PB ，则：R 的坐标为(2.4,−1.2)， 代入y =56x 2−53x −2，左右两边相等，∴这时存在R(2.4,−1.2)满足题意；若PB 与QB 为边，这时PR =QB ，PR =QB =0.8，则：R 的坐标为(1.6,−1.2)， 代入y =56x 2−53x −2，左右两边不相等，R 不在抛物线上；若PQ 与QB 为边，这时PR =QB ，PR//QB ，则：R 的坐标为(1.6,−2.8)， 代入y =56x 2−53x −2，左右不相等，R 不在抛物线上．综上所述，存在一点R(2.4,−1.2)满足题意．【解析】(1)根据已知条件，结合正方形的性质求出A 、B 点的坐标，利用待定系数法可求解；(2)①用t 表示出PB 、BQ 的长，利用勾股定理建立起它们之间的关系；②利用①中关系式，根据二次函数的性质求出S 取最小值时的t 的取值，计算出PB 、BQ的长，然后分三种情况讨论利用平行四边形的性质可求解．本题是二次函数综合题，考查二次函数的有关知识，平行四边形的性质，是一个典型的动点问题，运用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，AD=BD，∴CD=AD=BD，∵∠BAC=60°，∴∠ADC=∠ACD=60°，∠ABC=30°，AD=BD=AC，∵AC=4，∴AD=BD=AC=4，∵BM//AC，∴∠MBC=∠ACB=90°，又∵CD⊥EF，∴∠CDF=90°，∴∠BDF=30°，∴∠BFD=30°，∴∠BDF=∠BFD，∴BF=BD=4；(2)①证明：由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60°，∴∠ADC=∠E′CD，∴CE′//AB，∴∠CE′D=∠BDG，∵BM//AC，∴∠CED=∠BFD，又∵∠CE′D=∠CED，∴∠BDG=∠BFD，∵∠DBF=∠GBD，∴△BDF∽△BGD；②由△BDF∽△BGD，得BFBD =BDBG，∵D为AB的中点，∴BD=AD，又∵BM//AC，∴∠DBF=∠DAE，∠BFD=∠DEA，在△BFD和△AED中，∵{∠DBF=∠DAE ∠BFD=∠DEA BD=AD，∴△BFD≌△AED(AAS)，∴BF=AE=x，∴x4=4BG，∴BG=16x，在Rt△ABC中，AB=8，AC=4，根据勾股定理得：BC=√AB2−AC2=4√3，∵点D到直线BM的距离d=12BC=2√3，∴S△DFG=12FG⋅d=12(BG−BF)⋅d，即y=12×(16x−x)×2√3=16√3x−√3x(0<x<4)；(3)(i)当点G在点F的右侧时，由题意，得6√3=16√3x−√3x，整理，得x2+6x−16=0，解得x1=2，x2=−8(不合题意，舍去)；(ii)当点G在点F的左侧时，如图3所示：同理得到S△DFG=12FG⋅d=12(BF−BG)⋅d，即y=√3x−16√3x(x>4)，由题意，得6√3=√3x−16√3x，整理，得x2−6x−16=0，解得x3=8，x4=−2(不合题意，舍去)，综上所述，AE的值为2或8．【解析】(1)由∠ACB=90°，AD=BD，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到CD= AD=BD，再由∠BAC=60°，得到三角形ADC为等边三角形，由AC的长求出AD与BD的长，同时求出∠ABC=30°，由BM与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到∠MBC=∠ACB=90°，再由CD垂直于EF，得到∠CDE和∠CDF都为直角，在直角三角形EDC中，求出∠DEC为30°，利用两直线平行内错角相等可得出∠BFD也为30°，而由∠CDE−∠CDA求出∠EDA为30°，利用对顶角相等得到∠BDF为30°，即∠BFD=∠BDF，利用等角对等边可得出BD=BF，由BD的长即可求出BF的长；(2)当点G在点F的右侧时，如图2所示，①由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60°，得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到CE′//AB，再由两直线平行得到一对内错角相等，利用等量代换得到∠BDG=∠BFD，再由一对公共角，利用两对应角相等的两三角形相似可得出△BDF∽△BGD；②由△BDF∽△BGD得比例，将各自的值代入即可列出y与x的函数关系式，求出x的范围即可；(3)分两种情况考虑：(i)当点G在点F的右侧时，在y与x的关系式中，令y=6√3列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AE的长；(ii)当点G在点F的左侧时，如图3所示，列出此时y与x的关系式，令y=6√3列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AE的长，综上，得到所有满足题意的AE的长．此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，折叠的性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．。