一、本章知识框架初三数学圆教案二、本章重点1.圆的定义：(1)线段 OA 绕着它的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2.判定一个点 P 是否在⊙O 上．设⊙O 的半径为 R ，OP ＝d ，则有d>r 点 P 在⊙O 外；d ＝r 点 P 在⊙O 上；d<r 点 P 在⊙O 内．3.与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．4.圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．5.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用 O 表示． (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍，通常用 G 表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6.切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离 d 等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．7.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．8.直线和圆的位置关系：设⊙O半径为 R，点 O 到直线 l 的距离为 d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l 和⊙O相切d＝R．(3)直线l 和⊙O有两个公共点直线l 和⊙O相交d<R．9.圆和圆的位置关系：设的半径为R、r(R>r)，圆心距．(1) 没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离d>R＋r．(2) 没有公共点，且的每一个点都在外部内含d<R－r(3)有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d＝R＋r．(4)有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切d＝R－r．(5)有两个公共点相交R－r<d<R＋r．10.两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．11.圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R 的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l 的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l 的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为 R，母线长为 l，高为 h 的圆锥的侧面积为πRl，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．【经典例题精讲】例 1 如图23-2，已知AB 为⊙O直径，C 为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线 CP 交⊙O于 P，试判断 P 点位置是否随 C 点位置改变而改变？分析：要确定P 点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察 P 点位置的变化，然后从中观察规律．解：连结 OP，P 点为中点．小结：此题运用垂径定理进行推断．例 2下列命题正确的是()A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦．解：A.在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以 A 不正确．B.等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此 B 正确．C．三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆．D．平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦．故选 B．例3 四边形ABCD 内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等．解：设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x．x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°．∴∠D＝90°．小结：此题可变形为：四边形 ABCD 外切于⊙O，周长为 20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD 的长．例 4为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30°的三角板和一个刻度尺，用如图23-4 所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径是cm．分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过 P 点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为 A、一边为 AP、大小为 60°的角，这个角的另一边与 OP 的交点即为圆心 O，再用三角函数知识求解．解：．小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型．例 5已知相交于A、B 两点，的半径是10，的半径是17，公共弦 AB＝16，求两圆的圆心距．解：分两种情况讨论：(1)若位于AB 的两侧(如图23-8)，设与AB 交于C，连结，则垂直平分AB，∴．又∵AB＝16∴AC＝8．在中，．在中，．故．(2)若位于AB 的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB 交于C，连结．∵垂直平分AB，∴．又∵AB＝16，∴AC＝8．在中，．在中，．故．注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题．三、相关定理：1.相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）说明：几何语言：若弦AB、CD 交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）例1．已知P 为⊙O内一点，，⊙O半径为，过P 任作一弦AB，设，，则关于的函数关系式为。

解：由相交弦定理得，即，其中2.切割线定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项说明：几何语言：若 AB 是直径，CD 垂直 AB 于点 P，则 PC^2=PA·PB例 2．已知 PT 切⊙O于T，PBA 为割线，交 OC 于D，CT 为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB 长。

解：设TD= ，BP= ，由相交弦定理得：即，（舍）由切割线定理，由勾股定理，∴∴∴四、辅助线总结1.圆中常见的辅助线1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．5).作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角．6).遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角．7).遇到切线，作过切点的半径，构造直角．8).欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．10).遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点．11).遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线．12).遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．13).求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．2、圆中较特殊的辅助线1).过圆外一点或圆上一点作圆的切线．2).将割线、相交弦补充完整．3).作辅助圆．例 1 如图23-10，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE 的长为()A．2B．3C．4D．5分析：连结 OC，由 AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB知CD＝DE．设AE＝x，则在Rt△CEO中，，即，则，(舍去)．答案：A．例 2 如图23-11，CA 为⊙O的切线，切点为A，点B 在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于()A．35°B．90°C．110°D．120°分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．例 3 如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于()A．B．C．D．分析：圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即．答案：B．例 4 如图 23-12，在半径为 4 的⊙O中，AB、CD 是两条直径，M 为OB 的中点，延长 CM 交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，．求：EM 的长．简析：(1)由DC 是⊙O的直径，知DE⊥EC，于是．设EM＝x，则AM·MB＝x(7－x)，即．所以．而EM>MC，即 EM＝4．例 5 如图 23-13，AB 是⊙O的直径，PB 切⊙O于点B，PA 交⊙O于点C，PF 分别交 AB、BC 于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD 恰好是关于 x 的方程(其中 m 为实数)的两根．(1)求证：BE＝BD；(2)若，求∠A的度数．简析：(1)由 BE、BD 是关于 x 的方程的两根，得，则m＝－2．所以，原方程为．得．故BE＝BD．(2)由相交弦定理，得，即．而PB 切⊙O于点B，AB 为⊙O的直径，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易证∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，则，，所以，所以．在Rt△ACB中，，故∠A＝60°．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。