类型
定解问题中的 边界条件
分离变量后的 边界条件
本征函数系
(1)
(2) (3) (4)
利克莱条件：(1) 连续或只有有限个第一类间断点；(2) 只 有有限个极值点，则 f (x) 在 [–l, l ] 上可展开为傅里叶级数
利用三角函数的正交关系，可得
量子力学中的正交完备矢量组： 设 F 为厄米算符，则 F 对应于不同本征值的本征矢
相互正交，这些本征矢构成正交完备矢量组。记正交完 备矢量组为 { | i > (i =1, 2, …)}，有
数集的正交性只是这里的特殊例子。
等本征函
4. 完备性定理 若函数 f (x) 在区间 [a,b] 有连续的一阶导数和分段连
续的二阶导数，且满足本征值问题的边界条件，则可利用 本征函数系{yn(x)} 将它展开为绝对且一致收敛的广义傅 里叶级数，即
其中展开式的系数为
备忘：傅里叶级数 一个以 2l 为周期的函数 f (x)，若在区间 [–l, l ] 满足狄
二阶线性常微分方程的普遍形式为 (6-4-1)
其中：A(x), B(x), C(x)——已知函数
—— 分离变量过程中引入的常数
方程 (6-4-1) 化为以下施图姆—刘维尔方程 (施—刘型方程)
(6-4-2)
其中：
核函数
已知函数
权函数
参数 勒让德方程、连带勒让德方程、贝塞尔方程均可化 为施—刘型方程：
(1) 存在无穷多个实的、分立的本征值 = n (n = 1,2,…)，
且对应着无穷多个本征函数 yn (x) (n = 1,2,…)； (2) 当同一本征值对应的本征函数不止一个时，称为简并。
证明：本征值 是实的。 若 为复数，施—刘型方程及其复共轭为
用 y 乘 (6-4-4) 减去 y* 乘 (6-4-3)，有
对上式右边第一项分部积分，得到
在 (a,b) 内，因 k(x) > 0, (x) > 0, Q(x) ≥ 0，所以上式中右
边后两个积分不小于零，而且可以证明等式右边第一与第 二项之和大于或等于零，因此，有
而以上不等式左边的积分大于零，故
3. 正交性定理 对应于不同本征值的本征函数在区间[a,b]上带权重
二、施—刘型本征值问题
在一定的边界条件下，求施图姆—刘维尔方程的本 征值和相应的非零解 (本征函数)。
施—刘型方程与三类边界条件构成本征值问题。
1. 齐次边界条件 (1) 第一类边界条件 (2) 第二类边界条件 (3) 第三类边界条件 它们可归结为：
y(a) = 0, y(b) = 0 y'(a) = 0, y'(b) =0 y' (a)–hy(a) = 0, y'(b) + hy(b) = 0
6.4 常微分方程的本征值问题
分离变量法的一个重要步骤：求解本征值问题 本征值、本征函数
实质：在一定的边界条件下，求一个含参数 (分离变量过程 中引入) 的齐次常微分方程的非零解。
例子：
(
参 见 第 八 章
…… 以上例子都可归结为施图姆—刘维尔本征值问题。
)
一、斯图姆—刘维尔本征值方程
二阶线性齐次偏微分方程 二阶线性齐次常微分方程
(x) 正交，即
证明：将本征值、本征函数 m , ym(x) 和 n , yn(x) 分别代
入斯—刘型方程得 (6-4-8)
(6-4-9)
y*n×(6-4-8) 式 – ym×(6-4-9) 式的复共轭，然后对 x 由 a 到 b 积分，有
仿照前面的办法，可得右端为 0 。所以
而 m ≠ n ，故有
(3) 一些本征值具备分立的或者是量子化的特征。这为量 子力学打下基础。
(4) 特殊函数：勒让德多项式、连带勒让德函数、球函数、 贝塞尔函数、诺埃曼函数、汉克尔函数…。
常见形式
施–刘形式
核函数
0
1
(1–x2)
0
1
(1–x2)
1
x
x
一维波动问题与一维输运问题中的本征函数系
代入 (6-4-5) 式右边得到：
从而 (6-4-5) 右边为 0 。 (iii) 自然边界条件：a,b 为 k(x) 的一阶零点，即k(a)=k(b)=0
导致 (6-4-5) 右边为零。 此外，若 a 点为自然边界条件：k(a) = 0，而 b 点为齐 次边界条件，则有
同样使得 (6-4-5) 右边为 0。
(正交性)
希尔伯特空间中的任意矢量 | > 可用正交完备矢量
组展开： (完备性)
本征函数系{yn(x)}与欧氏空间基底{en}的比较
三维欧氏空间
复函数空间
基底
正交性
完备性
展开系数
说明： (1) 完备性：三维欧氏空间中 e1, e2, e3 构成一个完备系， 是指不存在任何矢量与 e1, e2, e3 都正交，于是三维空间中 的任意矢量 A 可用 {en} (n=1,2,3) 展开，即有
三、施—刘型本征值问题的基本性质
常见的工程和物理问题中，施—刘型方程的 k(x), (x), Q(x) 在[a,b]为实函数，在(a,b)内有 k(x)>0, (x)>0, Q(x)≥0， 且在 (a,b) 内 k(x), k' (x), (x), Q(x) 连续。在这些条件下，
讨论其性质。
1. 存在定理 (关于本征值、本征函数)
在复函数空间中，本征函数系{yn(x)}的完备性就是指 满足一定条件的任意函数 f (x) 可用 {yn(x)} 来展开。 (2) 施—刘型本征值问题的基本定理是分离变量法的理论
基础。(为什么？)
用分离变量法求解问题时要由满足边界条件的特解 叠加而得到一般解，就是要求它的解能用特解展开成级 数。由本征函数的完备性知道，这实际上是按本征函数 系展开。
其中 1 , 2 , 1 , 2 为实数，且不能同时为零，即要求
2. 周期性边界条件
例：对于
，有
3. 自然边界条件 (有界性条件) 当边界点是核函数 k(x) 的一阶零点时，则该边界点上
存在自然边界条件，即
在边界点a上有k(a)=0时，a点上有自然边界条件：y(a)有界 在边界点b上有k(b)=0时，b点上有自然边界条件：y(b)有界 例：勒让德方程中核函数 k(x) = 1– x2，边界点 x =1、x = –1 为其一阶零点，有自然边界条件：y(1), y(–1) 有界。
总之，在三类边界条件下，均有
又在[a,b]内， (x) > 0，且 |y|2 不小于零、也不恒为 0，故
从而
即本征值 为实数。
2. 非负定理 (关于本征值)
所有本征值都是非负的，即 n ≥ 0 (n = 1,2,…)。 证明：设 yn(x) 是对应于 n 的本征函数，满足斯—刘型方程
两边乘以 yn* (x) 后对 x 从 a 到 b 积分，有
即 上式对 x 从 a 到 b 积分，得到
(6-4-3) (6-4-4)
(6-4-5)
下面分三种情况讨论：
(i) 齐次边界条件： 其复共轭方程：
因 1, 2 不能同时为零，则边界条件方程系数行列式为零
即有
(6-4-6)
同理，对 b 点，有
(6-4-7)
将 (6-4-6)、(6-4-6) 代入 (5)，则 (6-4-5) 右边为零。 (ii) 周期性条件