专题16 数列的概念一、单选题1．（2018·平遥县综合职业技术学校高二期中）数列353,1,,,442⋯ 的第6项是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42.（2020·湖北省江夏实验高中高一期中）在数列{a n }中，S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，则a 4等于( ) A ．11 B ．15 C ．17D ．203．（2020·馆陶县第一中学高一期中）已知数列1,3,5,,21,n -，则11是这个数列的（ ）A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项4．（2020·河北省隆化存瑞中学高一期中）在数列{n a }中，若11a =，132n n a a +=+，则3a = A ．16B ．17C ．18D ．195．（2020·江苏省高二期中）若数列的前4项分别是12-、13、14-、15，则此数列一个通项公式为（ ）A ．()11nn -+B ．()1nn-C ．()111n n +-+D ．()11n n--6．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知数列{}n a 的通项公式是31n na n =+，那么这个数列是（ ） A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列7．（2020·湖北省高一期中）在数列{}n a 中，114a =-，111(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ） A ．45B ．14-C ．5D ．以上都不对8．（2020·武邑宏达学校高三月考（文））大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．22n n -B ．212n -C ．212n (-)D ．22n9．（2020·陕西省高新一中高一月考）已知数列满足，，则的值为（ ）A ．2B ．-3C ．D ．10．（2018·民勤县第一中学高二期中（文））下列叙述正确的是（ ） A ．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B ．数列0，1，2，3，…可以表示为{}n C ．数列0，1，0，1，…是常数列 D ．数列{}21n +是递增数列11．（2020·金华市曙光学校高一开学考试）数列1-，3，5-，7，9-，，的一个通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．(1)(12)nn a n =-- C ．(1)(21)nn a n =--D ．1(1)(21)n n a n +=--12．（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（文））已知数列{}n a 的前n 项和26n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6二、填空题13．（2020·河北省涿鹿中学高一月考）数列12,23,34,45，56,…的一个通项公式为n a =_______． 14．（2019·贵州省凯里一中高一期末）若数列{}n a 满足12,111,1n n n a n a-=⎧⎪=⎨->⎪⎩，则3a =_____.15．（2019·浙江省高一期中）在数列110,,...,,...42n n -中，第3项是______；37是它的第______项. 16．（2020·贵港市覃塘高级中学高一月考）已知数列{}n a 中,12a =,111n n a a +=-+（n *∈N ）,则2020S =___________三、解答题17．（2019·全国高一课时练习）已知数列{}n a 满足212n n n a a a ++=+，且10123411365a a ==，，求1113a a ，. 18．（2019·贵阳清镇北大培文学校高一月考）已知数列{}n a 满足2(*)n n S n a n N =-∈.（1）计算1,a 2,a 3,a 4,a 5a ；（2）并猜想{}n a 的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）.19．（2019·全国高一课时练习）在数列{}n a 中，2293n a n n =-++.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？ （2）求数列中的最大项.20．数列{a n }满足a 1= 1 ,a n +1 +2a n a n +1- a n =0. （1）写出数列的前5项；（2）由（1）写出数列{a n }的一个通项公式； （3）实数199是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？ 21.（2019·全国高二）已知数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前多少项和最大．22．数列{}n a 的通项()()*10111nn a n n N ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，试问该数列{}n a 有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.专题16 数列的概念一、单选题1．（2018·平遥县综合职业技术学校高二期中）数列353,1,,,442⋯ 的第6项是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】易得该数列为后项与前项的差都为14,故前6项是3537,1,,,,24424.故第6项为2.故选：B2.（2020·湖北省江夏实验高中高一期中）在数列{a n }中，S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，则a 4等于( )A ．11B ．15C ．17D ．20【答案】A 【解析】当1n =时，111a S ==-，当2n ≥时，()()221232131n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-----⎣⎦45n =-，当1n =时，上式也满足，故45n a n =-. 所以444511a =⨯-=. 故选：A3．（2020·馆陶县第一中学高一期中）已知数列,21,n -11 ）A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．第8项【答案】B 【解析】数列,21,n -通项公式为n a ==解得6n =， 故选：B.4．（2020·河北省隆化存瑞中学高一期中）在数列{n a }中，若11a =，132n n a a +=+，则3a = A ．16 B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】因为11a =，132n n a a +=+，所以21325a a =+=，所以323217a a =+=.选B. 5．（2020·江苏省高二期中）若数列的前4项分别是12-、13、14-、15，则此数列一个通项公式为（ ）A ．()11nn -+B ．()1nn-C ．()111n n +-+D ．()11n n--【答案】A 【解析】设所求数列为{}n a ，可得出()11111a-=+，()22121a-=+，()33131a-=+，()44141a-=+，因此，该数列的一个通项公式为()11nna n -=+.故选：A.6．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知数列{}n a 的通项公式是31n na n =+，那么这个数列是（ ） A ．递增数列 B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列【答案】A 【解析】31n na n =+，()()()()()()()131134110343131343134n nn n n n n n a a n n n n n n +++-++∴-=-==>++++++， 1n n a a +∴>，因此，数列{}n a 是递增数列.故选：A.7．（2020·湖北省高一期中）在数列{}n a 中，114a =-，111(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ）A ．45B ．14-C ．5D ．以上都不对【答案】A 【解析】 依题意23411231141115,1,154a a a a a a a =-==-==-=-=，故数列是周期为3的周期数列，故2019345a a ==，故选A. 8．（2020·武邑宏达学校高三月考（文））大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．22n n -B ．212n -C ．212n (-)D ．22n【答案】B 【解析】由题意10a =，排除D ，34a =，排除A ，C ．同时B 也满足512a =，724a =，940a =， 故选：B ．9．（2020·陕西省高新一中高一月考）已知数列满足，，则的值为（ ）A ．2B ．-3C ．D ．【答案】D 【解析】 由题得，所以数列的周期为4， 所以.故选：D10．（2018·民勤县第一中学高二期中（文））下列叙述正确的是（ ） A ．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B ．数列0，1，2，3，…可以表示为{}n C ．数列0，1，0，1，…是常数列 D ．数列{}21n +是递增数列 【答案】D 【解析】对于A ，数列1，3，5，7与7，5，3，1不是相同的数列，故A 错误； 对于B ，数列0，1，2，3，…可以表示为{}1n -，故B 错误； 对于C ，数列0，1，0，1，…是摆动数列，故C 错误； 对于D ，数列{}21n +是递增数列，故D 正确.故选：D.11．（2020·金华市曙光学校高一开学考试）数列1-，3，5-，7，9-，，的一个通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．(1)(12)nn a n =-- C ．(1)(21)nn a n =--D ．1(1)(21)n n a n +=--【答案】C 【解析】∵数列{a n }各项值为1-，3，5-，7，9-，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列， ∴|a n |＝2n ﹣1又∵数列的奇数项为负，偶数项为正， ∴a n ＝（﹣1）n （2n ﹣1）． 故选：C ．12．（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（文））已知数列{}n a 的前n 项和26n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】C 【解析】当1n =时，115a S ==-；当2n ≥时()()22116187n S n n n n -=---=-+，127n n n a S S n -=-=-，1n =也符合.所以{}n a 的通项公式，为27n a n =-， 所以27k a k =-，由5278k <-<解得67.5k <<，由于k 为正整数，所以7k =. 故选：C 二、填空题13．（2020·河北省涿鹿中学高一月考）数列12,23,34,45，56,…的一个通项公式为n a =_______．【答案】1n n + 【解析】 数列12,23,34,4556,…， 观察该数列各项的特征是由分数组成，且分数的分子与项数相同，分子与分母相差1， 由此得出该数列的一个通项公式为1n n a n =+． 故答案为：1n n +． 14．（2019·贵州省凯里一中高一期末）若数列{}n a 满足12,111,1n n n a n a-=⎧⎪=⎨->⎪⎩，则3a =_____.【答案】1- 【解析】123121112,1,112a a a a a ==-==-=-. 故答案为：1-15．（2019·浙江省高一期中）在数列110,,...,,...42n n -中，第3项是______；37是它的第______项. 【答案】137 【解析】令3n =，则13112233n n --==⨯，所以第3项是13；令1327n n -=，解得7n =，所以37是它的第7项. 故答案为：13；7.16．（2020·贵港市覃塘高级中学高一月考）已知数列{}n a 中,12a =,111n n a a +=-+（n *∈N ）,则2020S =___________【答案】6856【解析】已知数列{}n a 中,12a =,111n n a a +=-+（n *∈N ）, 所以211111213a a =-=-=-++, 3211311213a a =-=-=-+-+ 431123112a a =-=-=+-+, 所以数列{}n a 是周期为3的数列,()20201231673S a a a a =++⨯+1326732326856⎛⎫=--⨯+= ⎪⎝⎭.故答案为:6856三、解答题17．（2019·全国高一课时练习）已知数列{}n a 满足212n n n a a a ++=+，且10123411365a a ==，，求1113a a ，. 【答案】1113683,2731a a == 【解析】21,2n n n a a a +++∴=当10n =时，1211102a a a =+，即1113652341a =+⨯，解得11683a =，当11n =时，1312112a a a =+，即1313652683a =+⨯，解得132731a = 综上：1113683,2731a a ==18．（2019·贵阳清镇北大培文学校高一月考）已知数列{}n a 满足2(*)n n S n a n N =-∈. （1）计算1,a 2,a 3,a 4,a 5a ；（2）并猜想{}n a 的通项公式（不需要证明但要求简要写出分析过程）. 【答案】（1）11a =.232a =，374a =，4158a =，53116a =.（2）121,2n n n a --=*n ∈N ，详见解析【解析】（1）当1n ＝时，1112a S a ==-，11a ∴=.当2n =时，122222a a S a +==⨯-，232a ∴=， 当3n =时，1233323a a a S a ++==⨯-，374a ∴=，当4n =时，12344424a a a a S a +++==⨯-，4158a ∴=， 当5n =时，12345525a a a a a a ++++=⨯-，53116a ∴=. （2）11112112a --==，222132122a --==，333172142a --==，4441152182a --==，55513121162a --==，由此猜想121,2n n n a --=*n ∈N .19．（2019·全国高一课时练习）在数列{}n a 中，2293n a n n =-++.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？ （2）求数列中的最大项.【答案】（1）是，10107a =-；（2）213a = 【解析】（1）令22107,293107,291100n a n n n n =--++=---=，解得10n =或112n =-（舍去）.所以10107a =- （2）229105293248n a n n n ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， 由于*n ∈N ，所以最大项为213a =20．数列{a n }满足a 1= 1 ,a n +1 +2a n a n +1- a n =0.（1）写出数列的前5项；（2）由（1）写出数列{a n }的一个通项公式；（3）实数199是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？ 【答案】(1)见解析（2）121n a n =-（3）50 【解析】（1）由已知可得11a =，213a =，315a =，417a =，519a =. （2）由（1）可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为121n a n =-. （3）令119921n =-，解得50n =，故199是这个数列的第50项. 21.（2019·全国高二）已知数列{}n a 的前n 项和2321n S n n =-+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前多少项和最大．【答案】(1) 32,1332,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩ (2) 前16项的和最大 【解析】（1）当1n =时，11321132a S ==-+=；当2n ≥时，()()()22132132111n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=-+----+⎣⎦332n =-； 所以：32,1332,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩； （2）因为()22321321n S n n n n =-+=--+()216257n =--+；所以前16项的和最大．22．数列{}n a 的通项()()*10111n n a n n N ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，试问该数列{}n a 有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由. 【答案】最大项为1091091011a a == 【解析】设n a 是该数列的最大项，则11n n nn a a a a +-≥⎧⎨≥⎩ ∴()()()111010121111101011111n n n n n n n n +-⎧⎛⎫⎛⎫+≥+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得910n ≤≤∵*n N ∈，∴910n n 或==， ∴最大项为1091091011a a == 点睛：求数列最大项或最小项的方法（1）可以利用不等式组11(2)n n n n a a n a a -+≤⎧≥⎨≥⎩找到数列的最大项；利用不等式11(2)n n n n a a n a a -+≥⎧≥⎨≤⎩找到数列的最小项．（2）从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，利用函数的方法研究数列的最大项或最小项．。