如何用初等方法求三角函数的最小正周期
在三角函数中，求最小正周期是一个重要内容，有关求三角函数最小正周期的问题，供大家参考。
一 公式法
函数f(x)＝Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）的最小正周期都是ω
π2；函数f(x)＝Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）的最小正周期都是ω
y=Af(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）一类三角函数的最小正周期（这里“f ”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。
例1 求下列函数的最小正周期：
（1） f(x)＝2sin （53πx ＋1）。
（2） f(x)＝1-31cos(4x 3π-）。
（3） f(x)＝51tan(31x 3
π-). f(x)＝)6
2cot(21π--x 解：用T 表示各函数的最小正周期，则： （1）T=5
32ππ
=310 T=42π=2
π T=3
1
π=3π f(x ）的最小正周期和y 1=1－2cot(2x －6π)的最小正周期相同，为T=2
π 二 定义法
根据周期函数和最小正周期的定义，确定所给函数的最小正周期。
例2 求函数f(x)＝2sin （21x －6
π）的最小正周期。
解：把2
1x －6
π看成是一个新的变量z,那么2sinz 的最小正周期是2π。
由于z ＋2π＝21x-6π=(21x ＋4π)-6π。
所以当自变量x 增加到x ＋4π且必须增加到x ＋4π时，函数值重复出现。
∴函数y=2sin(21x-6
π)的最小正周期是4π。
例3 求函数f(x)＝|sinx|－|cosx|的最小正周期。
解：根据周期函数的定义，易知2π、π都是这个的周期，下面证明π是这个函数的最小正周期。
设0＜T ＜π是这个函数的周期，则|sin(x ＋T )|－|cos(x ＋T )|=|sinx|－|cosx| ①
对于任意x ∈R 都成立，特别的，当x=0时也应成立。
∴ |sinT|－|cosT|＝|sin0|－|cos0|＝－1。
但当0＜T ＜π时，0＜|sinT|≤1，0＜|cosT|＜1，故有－1＜|sinT|－|cosT|≤1，
矛盾，所以满足①且小于π的正数T 不存在。
故函数f(x)＝|sinx|－|cosx|的最小正周期是π。
三、最小公倍数法 求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然后再求期最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。
例4 求下列函数的最小正周期：
（1）f(x)＝sin3x+cos5x
（2）f(x)＝cos 34 x －sin 2
1x. （3）f(x)＝sin 53x ＋tan 7
3x. 解：（1）∵sin3x 的最小正周期为T 1=π32,cos5x 的最小正周期为T 2=π52。
而π32和π5
2的最小公倍数是2π. ∴f(x)的最小正周期为T=2π.
（2) ∵cos 34x 的最小正周期为T 1=π23，-sin 2
1x 的最小正周期为T 2=4π。
而π2
3和4π的最小公倍数是12π。
∴f(x)＝cos 34 x －sin 2
1x 的最小正周期为T=12π. （3）∵sin 53x 的最小正周期为T 1=π310，tan 73x 的最小正周期为T 2=π37。
而π310和π3
7的最小公倍数是70π。
∴f(x)＝sin 53x ＋tan 7
3x 的最小正周期为T=70π. 说明：几个分数的最小公倍数，我们约定为各分数的分子的最小公倍数为分子，各分母的最大公约数为分母的分数。
四 图象法
作出函数的图象，从图象上直观地得出所求的最小正周期。
例5 求下函数的最小正周期。
（1）y=|sin(3x ＋3
π)|
（2）y=|4
1+ sin2x| 解：（1）先作出函数y=|sin(3x ＋3
π)|的图象（见图1） 观察图象，易得所求的周期为T=3
π。
（2）先作出y=|4
1+ sin2x|的图象（见图2） 观察图象，易得所求的周期为T=π。
五、恒等变换法
通过对所给函数式进行恒等变换，使其转化为简单的情形，再运用定义法、公式法或图象法等求出其最小正周期。
例6 求下列函数的最小正周期：
(1) f(x)＝sin(x ＋3π)cos(x －3
π) (2) f(x)＝sin 6x ＋cos 6x
(3) f(x)＝x 2cos 21-
解 (1) f(x)＝sin(x ＋3π)cos(x －3π)＝21|sin2x+sin π32|=21sin2x+4
3 ∴最小正周期为T= π
(2) f(x)＝sin 6x+cos 6x
=(sin 2x+cos 2x)(sin 4x-sin 2xcos 2x+cos 4x)
=(sin 4x-sin 2xcos 2x+cos 4x)
=(sin 2x+cos 2x)2-3sin 2xcos 2x =1-4
3sin 2x =85+8
3cos4x ∴最小正周期为T=2
π (3) f(x)＝x 2cos 21-=2
2cos 121x +-=x 2cos - 它与－cos2x 的周期相同，故得 f(x)的最小正周期为T=π。