3
1
1. 5题为圆锥曲线题，是历年高考的必考点。这道题是 放在课本选修4-4习题1.3第六题，是学习了极坐标系 后的一道习题。
2.本题难度较大，主要考察椭圆普通方程，在极坐标系 下的方程，参数方程的运用，以及直线方程，三角 函数、最值等一系列问题。
3.考察学生代数推导，数形结合，解题优化的思想和能 力。
? 1?
a 2b2
2 (b 4 ? a 4 ) cos 2 ?1 sin 2 ?1 ? a 2 b2 (cos 4 ?1 ? sin 4 ?1 )
? ? ? 1 ?
a 2b2
2
(b 4
?
a 4 ) cos 2
?1
sin 2 ?1
?
a
2b2
(cos 2 ?1
?
sin
2
?
）2
1
-
2 cos 2
?1
sin 2
a 2b 2
a 2b 2
所以， 1 ? 1 为定值。
OA 2 OB 2
6
1
（2）依题意，得到
S? AOB
?
1 2
OA OB
?
1 2
?
1?
2
? 1?
a 2b2
,
2 (b 2 cos 2 ?1 ? a 2 sin 2 ?1 )(b2 sin 2 ?1 ? a 2 cos 2 ?1 )
? 1?
a 2b2
?? ?
x a
2 2
??
?
y2 b2
?
1,
得
? ?? ?
x1 2
y ? kx
? ??
y1
2
? ?
a 2b2 b2 ? a 2k 2
k 2a 2b 2 b2 ? a2k2
y ? ? 1 x. k
? x2
由
?? ?
a
2
?
??? y ?
y2
b2 ?1
k
? x
1 ,
得
? ?? ? ? ??
x2 y2
2 2
? ?
a 2b2 a 2 ? b2k2
a 2b2
当直线OA与OB其中一条直线斜率不存在时，则另一条直线斜率是0，
此时 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? a 2 ? b2
OA 2 OB 2 a 2 b 2
a 2b2
综上所述， 1 ? 1 是定值 a 2 ? b2 .
OA2 OB 2
a 2b2
8
1
(2)由S? AOB
由（1）得 OB 2
?
a2
1 ? b2
1
a 2 b 2 - OA 2
则S 2 ?AOB
?
1 4
OA 2 OB 2
?
1 4
OA 2
a2
1 ? b2
1
? 1?
1
4 a2 ? b2
1
a 2 b2 - OA 2
a 2 b 2 OA 2 - OA 4
随着 OA 的增加，此函数值在增加 .Q OA ? a a 2 ? b2 a 2b2a 2
1 -a4
? 1 a 2b2 4
?
S2 ? AOB
? ab
2
综上所述
S?
有最小值
AOB
a 2b 2 a 2 ? b2
,
S
?
有最大值
AOB
ab .
2
9
1
方法三 ：利用参数方程求解
为y轴建立平面直角坐标系，则椭圆的方程为
x2 ? y2 ? 1 a 2 b2
以O点为极点， x轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为
( ? cos ? ) 2
a2
?
( ? sin ? ) 2
b2
?1
即?2 ?
a 2b2
b 2 cos 2 ? ? a 2 sin 2 ?
由于
?
2 1
OA ? OB , 可设
?1
? 1?
a 2b2
2 (b 4 ? a 4 - 2a 2b 2 ) cos 2 ? 1 sin 2 ? 1 ? a 2b 2
? 1?
a 2b2
2 (a 2 ? b2 ) 2 sin 2 2? 1 ? a 2b 2
4
当且仅当 sin 2 2? 1
?
1，即 ?1
?
?
4
或
5?
4
时，
S?
有最小值
AOB
a 2b2 a 2 ? b2
4
1
?5．已知椭圆的中心为O，长轴短轴的长分
别为2a,2b(a>b>0)，A，B分别在椭圆上的
两点,且OA ? OB ．
（Ⅰ）求证 1 OA
2
?
1 OB
2为定值.
（Ⅱ）求 ? AOB面积的最大值和最小值．y
A 2
B
O
22
x
5
1
方法一 ：利用极坐标求解
解：（ 1）以椭圆中心 O点为坐标原点，长轴所在直线为 x轴，短轴所在直线
2 b 4 cos 2 ? 1 sin 2 ? 1 ? a 2b 2 cos 4 ? 1 ? a 2b 2 sin 4 ? 1 ? a 4 sin 2 ? cos 2 ? 1
? 1?
a 2b2
2 (b 4 ? a 4 ) cos 2 ?1 sin 2 ?1 ? a 2 b2 (cos 4 ?1 ? sin 4 ?1 )
a 2b2k 2 a 2 ? b 2k 2
a 2b2 a2 ? b2k2
? 1?1? 1 ? 1 ?
1
?
1
? a2 ? b2 ;
OA 2
OB 2
x1 2 ? y1 2
x2 2 ? y2 2
a 2b2 b2 ? a 2k2
?
k2 a 2b2 b2 ? a 2k2
a 2b2 k2 a 2 ? b2k2
?
数学说题
1
1
各位评委、老师，您们好：
我今天要说的题目是5号题。
?5．已知椭圆的中心为O，长轴短轴的长分
别为2a,2b(a>b>0)，A，B分别在椭圆上的
两点,且 OA ? OB．
（Ⅰ）求证
1 OA 2
?
1 OB
2 为定值.
（Ⅱ）求 ? AOB 面积的最大值和最小值．
2
1
一.题目 二.解答 三.反思 四.变式迁移
?
1 2
OA OB ，可得 S 2 ? AOB
?
1 4
OA 2
OB 2
由（ 1）可得， 1 ? 1 ? a 2 ? b 2 ? 2
OA 2 OB 2
a 2b 2
1 ?1 ?
2
OA 2 OB 2 OA OB
OA OB ?
2
?
S? AOB
?
1 OA OB 2
?
a 2b2 a2 ? b2
? a 2b 2 a 2 ? b2
；
当sin 2 2? 1
?
0，即 ? 1
?
0或?时， S? AOB有最大值
ab . 2
7
1
方法二 ：利用平面直角坐标系求解
解：（ 1）设椭圆的方程为
x2 ? y2 ? 1 a 2 b2
，
当直线OA斜率存在且不为0时，设方程为 y ? kx ,则直线OB方程为
记
A(
x1
,
y1
),
B(
x2
,
y2
),
则由
A ( ? 1 , ? 1 ) ，令
B ( ? 2 ,? 1 ?
?
2
) ，则
?
b 2 cos
a 2b 2
2 ? 1 ? a 2 sin
2
?1
,
?
2 2
?
b 2 sin
a 2b 2
2 ? 1 ? a 2 cos
2 ?1 ,
于是 1 ? 1 ? 1 ? 1
OA 2 OB 2
? 12
? 22
? b 2 cos 2 ? 1 ? a 2 sin 2 ? 1 ? b 2 sin 2 ? 1 ? a 2 cos 2 ? 1 ? a 2 ? b 2