B
∵ △ ABC∽△ A' B'C'
A C B′
A′ C′
∴ AB = BC = CA (相似三角形对应边成比例) A' B' B'C' C' A'
∴ AB+ BC +CA = AB (等比性质 A' B'+B'C'+C' A' A' B' )
周长的比=相似比
合作解题 A
例2：如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，
4. 相似三角形的性质主要题型： 1. 巧用“相似比”求解与相似三
角形有关的计算题。 2. 利用相似的性质解题。
3.利用相似比解题。
合作解题
A
A'
B B'
C C'
合作解题
解：∵ △ ABC∽△ A' B'C'
∴ AB = BC = 60 A' B' B'C' 72
（相似三角形周长的比等于相似比）
A．1∶2 B．1∶2 C．1∶3 D．2∶3
自主探究
二.填空:
1.(1) △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠AED=
AD DE ∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，从而 ( ) =BC
(2) △ ABC中，AB的中点为E，AC的中点为D，连结ED，
A
则△ AED与△ ABC的相似比为______. 2.如图，DE∥BC, AD:DB=2:3,
自主探究
试一试：
利用直线MN和△ABC作出另一个三角 形与△ABC相似。
能不能再作出其他不同的相似三角形？ A
M
NB
C
自主探究Leabharlann 第一种作法： （1）DE∥BC
（2）∠ADE=∠B
或∠AED=∠C
B
（3）AD：AB=AE：AC
A DE
C
第二种作法： （1） ∠ADE=∠C
或∠AED=∠B （2）AE：AB=AD：AC
相似三角形的性质
知识结构
相似图形
对应角相等 相似多边形 对应边的比相等
周长比等于形似比 应
面积比等于形似比的平方 用
相似三角形 相似三角形的判定
位似图形
一.选择:
自主探究
（1）如图，DE∥FG∥BC，且DE、FG把△ABC的面积三等分，若 BC＝12，则FG的长是（ ）．
（1）
（2）
（2）如图，正方形ABCD的边BC在等腰直角三角形PQR的底边 QR上，其余两个顶点A、D分别在PQ、PR上，则PA∶AQ＝（ ）．
A D
E
B
C
自主探究 第三种作法：
（1）DE∥BC
（2）∠ADE=∠B
或∠AED=∠C
B
（3）AD：AB=AE：AC
第四种作法：
（1） ∠ADE=∠C
或∠AED=∠B
（2）AE：AB=AD：AC
B
ED A
C
E D
A
C
自主探究
第五种作法：
（1）DE∥BC
B
（2）∠ADE=∠ABC
D
或∠AED=∠ACB
∴
SΔADE SΔABC
=
32 52
=
9 25
∵ SΔABC =100cm2
∴ SΔADE = 9 ∴ SΔADE = 36cm2 100 25
∴ S四边形BCDE = SΔABC SΔADE =100 36 = 64cm2
面积的比=相似比的平方
练习2.
A
A′
已知： △ ABC∽ △ A' B'C'
（3）AD：AB=AE：AC
第六种作法： （1） ∠ADE=∠ACB
或∠AED=∠ABC （2）AE：AB=AD：AC
B D
A C E
A C
E
自主探究
第七种作法： （1）∠ACD=∠B （2）∠ADC=∠ACB （3）AD：AC=AC：AB
A D
B
C
合作解题
相似三角形
1. 相似三角形的定义： 对应角相等，对应边成比例的两
AE = AD = 3 已知△ABC的面积为 100cm，2 E
AC AB 5
D
求四边形BCDE的面积。
解：∵ AE = AD = 3 ，∠A=∠A
B
C
AC AB 5
∴ △ ADE∽△
(两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似)
ABC
∴
SΔADE SΔABC
=
AE 2 （相似三角形面积的比等于相似比的平方） AC 2
2.在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平 行线交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．
合作解题
3. 相似三角形的性质：
✓ 对应角相等。 ✓ 对应边成比例。 ✓ 对应高的比等于相似比。 B ✓ 对应中线的比等于相似比。 ✓ 对应角平分线的比等于相似比。
B′
A
C A′
C′
合作解题
∵AB=15cm， B'C'= 24cm
∴ 15 = BC = 60
A' B' 24 72
∴ A' B' =18cm ，BC=20cm
A
A'
∴ AC=60－15－20=25cm
A'C'=72－18－24=30cm B
B'
C C'
合作解题
练习1.
已知： △ ABC∽△ A' B'C'
求证： 证明：
AB+ BC +CA = AB A' B'+B'C'+C' A' A' B'
D
E
则△ AED和△ ABC
B
C
的相似比为＿＿＿.
3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙的最大边为10cm， 则三角形乙的最短边为______cm.
4.等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D, 使 △ABC∽ △BDC, 则DC=______.
自主探究
（3）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O点，若S△AOD∶S△ACD＝ 1∶3，则SAOD∶S BOC＝（ ）．
（3）
（4）
（4）已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF与AD交于
点E，与BC的延长线交于点F，若CF=4，BC=5，则DF=_____．
个三角形互为相似三角形。
合作解题
2. 相似图形三角形的判定方法：
✓ 通过定义 （三边对应成比例，三角相等） ✓ 平行于三角形一边的直线 ✓ 三边对应成比例（SSS） ✓ 两边对应成比例且夹角相等（SAS） ✓ 两角对应相等（AA） ✓ 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例
（HL）
1 . 如图，BD平分∠ABC，AB=12，BC=15，如果 ∠ADB=∠C，则BD的长为_____．
自主探究
1．三角形中的“三线”与相似比 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的 比、都___等__于___相似比． 2．周长与相似比 (1)相似三角形周长的比___等__于___相似比． (2)相似多边形周长的比___等__于___相似比． 3．面积比与相似比 (1)相似三角形面积的比等于相似比的___平__方___． (2)相似多边形面积的比等于相似比的___平__方___．