热身练习
用定积分表示下列图形的面积
1
y
y 1 x2
-1
o 1x
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热身练习
2
y y sin x
x
0
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巩固训练
计算由曲线 y x2 与 y x所围图形的面积
解：作出草图，所求面积为阴影部分的面积
y2 x
解方程组y x2得交点横坐标为
x
0
及
x
跨度为6米, 高为3米，此抛物
3米
线形拱桥的横截面积为多少？
6米
建立平面直角坐标系 确定抛物线方程
求由曲线围成的平面图形面积
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情境回归
如图所示, 一抛物线形拱桥的
跨度为6米, 高为3米，此抛物
线形拱桥的横截面积为多少？ 解：如图建立平面直角坐标系，
可设抛物线方程为
y ax2 (a 0)
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几何意义
y
当 f (x) ≥ 0，定积分
b
a f (x)dx
0
a
表示曲线 y = f (x),直线 x = a，
x = b和 x 轴所围成的曲边梯形
的面积
y f (x)
bx
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几何意义
ya
b
当函数 f (x) 0 ， 定积分 x
x
2dx
A
-2
o
16
3
-4
32
C
3
B
2
x
y 4
D f (x) x2
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y
AS
0a
b X0
曲边形
抽象
S1
长方形
S2
曲边梯形
面积 S=S1-S2
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y
A
0a
bX
曲边形
提升
1
a
b
A2
a
b
曲边梯形
面积 A=A1-A2
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情境回归
如图所示, 一抛物线形拱桥的
1
Ｓ Ｓ －Ｓ y y x2 y x
＝ 曲边梯形ＯＡＢＣ
曲边梯形ＯＡＢＤ
1
B
C
D
-1 O
1A
x
＝ 1 x dx 1 x 2 dx
0
0
-1
＝
2
3
x2
1
1
x3
1＝
2
1
＝1
3
3
0
033
3
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计算
3 1x2dx
3 3
1 9
x3
3 3
1 33 1 (3)3
9
9
6
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解:
S
=-
2 x2dx
2
2 x2dx
2
1 3
x3
2 2
1 23 (2)3 16
3
3
y
o
2
x
f (x) x2
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变式
2、如图所示由 y 4和 f ( x) x2所围图形的
面积是多少？
y
s 解:
S
S - ABCD
曲 边 梯 形ABCD
44 - 16
2
2
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1.通过本堂课的学习,你获得了什么数学知识? 定积分解决平面上曲边形面积的问题
一 般
①根据题意画出图形;
步 ②确定积分上下限和被积函数，
骤 写出相应的积分表达式
③计算定积分，得出所求图形
的面积
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探究性作业
有一条水沟,沟沿是两条长100米平行线段, 沟宽AB为4米,与沟沿垂直的平面与沟的交线是一 段抛物线,抛物线的顶点为O,对称轴与地面垂直, 沟深4米,（1）此水沟的横截面积ABO是多少？ （2）水满时 ，沟中的水有多少立方米?
于是抛物线形拱桥的横截面积
S= S长方形 - S曲边梯形
点 (3,3)代入方程，得
a 1
所以抛物线方程
3 y3 3
=12 - 3 1 x2dx
3 3
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合作愉快
请每组的同学合作出一个 和本节例题不同的用定积分 计算平面上曲边形面积的题 目。要求(1)画出草图,并标 出关键点的坐标；(2)所求 的图形用阴影标出.
6米
y
o
3x
点 (3,3)代入方程，得
a 1
于是抛物线方程
3 y
1
x2
3
(3,3) -3
(3,3)
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情境回归
y
如图所示, 一抛物线形拱桥的 -3 D o
C3x
跨度为6米, 高为3米，此抛物
线形拱桥的横截面积为多少？
解：如图建立平面直角坐标系，
A
-3
B
可设抛物线方程为
y ax2 (a 0)
定积分的简单应用
用定积分计算平面图形的面积
授课人:崔志会
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问题情境(复习引入 )
1、b a
f
(
x
)d的x 几何意义是什么？
2、微积分基本定理是什么？
1
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范例
1、 计算：由曲线 f ( x) x2 ,直线
x 2, x 2和 x 轴所围成的
-2
曲边梯形的面积
b
a f (x)dx
y f (x)
就是位于x轴下方的曲边梯形
面积的相反数. 即
b
a f (x)dx S
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几何意义
对于函数值有正有负的连续函数 f ( x)
定积分
b
f (x)dx
a
y
S1
C
d
S3
b
a
S2
x
b
a f ( x)d x S1 S2 S3
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-3
3米
6米
y
o
3x
点 (3,3)代入方程，得
a 1
于是抛物线方程
3 y
1
x2
3
(3,3) -3
(3,3)
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情境回归
如图所示, 一抛物线形拱桥的
跨度为6米, 高为3米，此抛物
线形拱桥的横截面积为多少？ 解：如图建立平面直角坐标系，
可设抛物线方程为
y ax2 (a 0)
-3
3米