2002-2003 第一学期一．计算及推导（ 5*8）1．已知 x* 3.141, x，试确定x *近似 x的有效数字位数。

***0.100* * * 2．有效数 x 13.105, x 2 0.001, x 31 x 23，试确定xx的相对误差限。

3．已知f ( x)0.5 x 3 0.1x2，试计算差商f0,1,2,34．给出拟合三点A(0,1), B(1,0) 和 C(1,1)的直线方程。

5．推导中矩形求积公式b(b a) f ( a b ) 1 f ''( )(b a)3f (x)dxa2 24b nf (x)dxA i f ( x i )a6．试证明插值型求积公式i 0的代数精确度至少是 n 次。

7．已知非线性方程 x f (x)在区间a, b内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代公式。

8．用三角分解法求解线性方程组1 2 1 x 1 0 223x 2 3 1 3 0x 32二．给出下列函数值表0.40.50.60.70.8x i0.389420.479430.564640.644220.71736f ( x i )要用二次插值多项式计算f (0.63891)的近似值，试选择合适的插值节点进行计 算，并说明所选用节点依据。

（保留 5 位有效数字）（12 分） 三． 已知方程x ln x0 在(0,1)内有一实根（ 1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似x 0(0,1)迭代法都收敛，并证明其收敛性。

（ 2） x 0 0.5试用构造的迭代公式计算 的近似值 xn ，要求 x n xn 1103。

四． 设有方程组a 1 3 x 1b 1 1a2x 2 b 2 3 2 ax 3b 3当参数 a 满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。

写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。

（ 12 分） 五．用欧拉预估校正法求解初值问题y 'y 2x (0 x 0.2)yy(0) 1 取 h=0.1 ，小数点后保留 5 位。

（8 分）y 'f ( x, y) 六．证明求解初值问题y(x 0 ) y 0的如下单步法yn 1y n K 2 K 1hf ( x n , y n )K 2 hf ( x n1h, y n1K 1 )2 2是二阶方法。

（10 分）七．试证明复化梯形求积公式f (x)dxh( f ( x 0 ) 2n 1 hb aba2i 1n对任意多的积分节点数 n+1, 该公式都是数值稳定的。

（6 分）2003-2004 第一学期一．填空（ 3*5 ）1．近似数 x *0.231 关于真值 x0.229有 _____- 位有效数字。

2． n x *的相对误差为 x *的相对误差的 _______倍。

3．设f (x)可微，求xf (x)根的牛顿迭代公式 ______。

bnA i f (x i )f (x)dxa的代数精确度至少是 ______次。

4．插值型求积公式i5．拟合三点 A(1,0), B (1,3) 和 C (2,2) 的常函数是 ________ 。

二．已知f (x)有如下的数据x i123 f ( x i )2412 f ' ( x i )3试写出满足插值条件 P( x i ) f (x i ) 以及 P '(2)f '(2)的插值多项式P(x)，并写出误差的表达形式。

1三．（1）用复化辛浦森公式计算e x dx6 位有效数字，问0为了使所得的近似值有需要被积函数在多少个点上的函数值？72 lg xdx（2）取 7 个等距节点（包括端点）用复化辛浦森公式计算x1，小数点后至少保留 4 位。

四．曲线yx3与y 1 x在点（ 0.7 ，0.3 ）附近有一个交点(x , y )，试用牛顿迭代公式计算 x 的近似值xn，要求xnx n 1 10 3五．用雅可比方法解方程组122x15111x21221x33是否对任意的初始向量 x(0)都收敛，为什么？取 x(0)(0,0,0) T，求出解向量的近max x i( k1)x i(k )10 6似向量，要求满足 1 i 3。

六．用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题y'y2 +1y(0)0的解函数在x 0.6处的近似值，要求写出计算格式。

（步长h0.3, 小数点后保留5位有效数字）y' f (x, y)七．设有求解初值问题y(x) y0的如下格式y n 1ayn 1by n chf ( x n , y n )如假设yn 1y( xn 1), yny( xn)问常数a, b, c为多少时使得该格式为二阶格式？2005-2006 第二学期一．填空（ 3*5 ）1.设近似数x1*1.2250, x2*0.5168都是四舍五入得到的，则相对误差e r (x1* x2* )______。

x1 2.82. 矛盾方程组x13.2的最小二乘解为 _______。

3. 近似数x*0.01999 关于真值 x*0.02000有______位有效数字 .4. 取3 1.732 ，迭代过程yn 1y n0.13 是否稳定？3f ( x) dx 2 f (2)5. 求积公式1有几次的代数精确度？二．取初值x1.6，用牛顿迭代法求3.1的近似值，要求先论证收敛性。

当xn 1x n10 5时停止迭代。

y a1bx2中的常数 a 和 b，使该曲线拟合于下面的四三．用最小二乘法确定x个点（ 1，1.01 ）（2， 7.04 ）（3，17.67 ）（ 4， 31.74 ）（计算结果保留到小数点后 4 位）( k)四．用乘幂法求矩阵 A 的按模最大的特征值1的第 k 次近似值1及相应的特征x1u0 (1,1,1)T(k )( k1)103向量，要求取初值且11512101这里 A=6139x12x2x36x18x2x38五．考察用高斯赛德尔迭代法解方程组x1x28x38收敛性，并取 x(0)(1,0,0) T，求近似解 x(k 1)，使得 x i(k 1)x i( k)10 3（i=1 ，2，3）六．已知单调连续函数y f ( x)的如下数据x i 1.120.00 1.80 2.20 f ( x i ) 1.100.500.90 1.70用插值法求方程 f (x)在区间（ 0.00 ， 1.80）内根的近似值。

（小数点后至少保留 4 位）1dxI4 x取 5 个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些节 七．设有积分 0点上的函数值表（小数点后至少保留 4 位）用复化的 simpson 公式求该积分的近似值，并且由截断误差公式估计误差大小。

y ' xy八．给定初值问题 y(0)1 x 1.4 写出 Euler 预估校正格式 取步长为 0.2 ，计算在 1.4 处的函数的近似值。

九．设矩阵 A 对称正定，考虑迭代格式x (k 1)x (k )x ( k1)x ( k)A2 b0, k0,1,2,3... 对任意的初始向量 x (0) , x( k 1)是否收敛到Axb的解，为什么？2006-2007 第一学期一 . 填空1） 近似数 x *1.253 关于真值 x1.249有____位有效数字；1nnf ( x)dxA k f ( x k )A k1，则 k 1=______；（只算系数）2） 设有插值公式k 1x 1*0.0235x 2* 2.5160e r ( x 1*)3） 设近似数 ， 都是有效数，则相对误差x 2*____；4） 求方程xcos x的根的牛顿迭代格式为 ______；x 1 x 2 1 2x 12x 22x 1 x 2 1x 1 x 215） 矛盾方程组x 1 2x 21 与 x 1 2x 21得最小二乘解是否相同 ______。

二 . 用迭代法（方法不限）求方程 xe x 1在区间（ 0， 1）内根的近似值，要求先论证收敛性，误差小于102 时迭代结束。

三 . 用最小二乘法y ax 2 be x中的常数 a 和 b ，使该函数曲线拟合与下面四个点（ 1， -0.72 ）(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32) （结果保留到小数点后第四位）四．用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组1 02 0 x 1 5 0 1 0 1 x 23 1 24 3 x 3 17 0 1 03 x 47五．设要给出f xcos x的如下函数表x ix 0hx 0x 0hf ( x i )f ( x 0h)f ( x 0 )f ( x 0h)用二次插值多项式求f ( x)得近似值，问步长不超过多少时，误差小于10 3。

六 . 设有微分方程初值问题y －2y 4x,0 x 0.2 y(0) 21 ）写出欧拉预估－校正法的计算格式；2) 取步长 h=0.1 ，用欧拉预估－校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留 4 位小数）。

1dx七 .Ix设有积分 0 1 取 11 个等距节点（包括端点 0 和 1），列出被积函数在这些节点上的函数值 （小数点侯保留 4 位）；用复化 Simpson 公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小（小数点侯保留 4 位）。

八 . 对方程组1 2 －2 x 1 4 1 1 1 x 2 1 22 1x 331. 用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛？为什么？2. 取初始向量x(0,0,0) T ，用雅可比迭代法求近似解x ( k 1) ，使x i ( k 1) x i ( k)10 3(i 1,2,3)九 .设 f(x)在区间 [a ， b] 上有二阶连续导数，且 f(a)=f(b)=0，试证明max f ( x)1 (b a) 2max f ( x)a x b8 a x b参考答案：1: (1)3 (2) 2 (3) 0.0023xk 1x k x k cos x k x k sin x k cos x k, k0,1,2,...（ 4）1sin x k1sin x k(5) 否2.方程的等价形式为 x e x，迭代格式为xk 1e x k。

收敛性证明；当x(0,1) 时，01 e x e01e' ( x) e x e01所以依据全局性收敛定理，可知迭代格式收敛取迭代初值为x0.5，迭代结果如下nx n x n x n 100.510.606530.0106520.54524-0.0612930.579700.0344640.56006-0.0196450.571170.0111160.56486-0.006313.x n1 1.5 2.0 2.5x n21 2.25 4.0 6.25e x n 2.71828 4.481697.3890612.182491 2.718280.722.25 4.48169a0.024.07.38906b0.61矛盾方程组为 6.2512.182490.32对应的正则方程组为61.125118.4989a 3.765118.4989230.4859b 6.538196解得 a 2.0019, b 1.0009所以拟和曲线方程为y 2.0019 x2 1.0009e x4.由矩阵 Doolittle 分解的紧凑记录形式有1020510205010*******1243171221601037010 2 4回代求解得x442x31( 6 1 x4 ) 22,2x23 0x31x41x15 0x2 2 x3 0x41 1，1方程组的解向量为x(1, 1, 2, 2)T.max f ( 3) ( )( x x k1 )( x x k )( x x k 1 ) 103 3!5.令x k 1x x k 1可求得h0.2498 （或h0.2289 ）6.y1( 0) 1.6, y1 1.62, y2(0 ) 1.256, y2 1.27247. 0.6932R( f ) 1.3333 10－5022B J1018. （ 1） Jacobi 迭代法的迭代矩阵为－220谱半径 B J0 1. 此时 Jacobi迭代法对任意初始向量都收敛 . 4822x (1)1,x (2 )6,x(3)0,x (4 )0（ 2）37119.以x0a, x1b为插值节点，做Lagrange 插值：f ( x)L1(x)1f ()( x a)( x b)1f ( )( x a)( x b) 2!2!其中 ( x)[ a,b] 。