四 曲线运动 万有引力与航天(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分，1～5题每小题只有一个选项正确，6～10小题有多个选项符合题目要求，全选对得6分，选对但不全得3分，有选错的得0分)1. 如图所示，细线一端固定在天花板上的O 点，另一端穿过一张CD 光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD 光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v 匀速移动，移动过程中，CD 光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为( )A ．v sin θB ．v cos θC ．v tan θD ．v cot θ解析：选A.将光盘水平向右移动的速度v 分解为沿细线方向的速度和垂直于细线方向的速度，而小球上升的速度大小与速度v 沿细线方向的分速度大小相等，故可得v 球＝v sin θ，A 正确．2. 如图所示，美洲狮是一种凶猛的食肉猛兽，也是噬杀成性的“杂食家”，在跳跃方面有着惊人的“天赋”，它“厉害地一跃”水平距离可达44英尺，高达11英尺，设美洲狮“厉害地一跃”离开地面时的速度方向与水平面的夹角为α，若不计空气阻力，美洲狮可看做质点，则tan α等于( )A.18B.14C.12D ．1解析：选D.从起点A 到最高点B 可看做平抛运动的逆过程，如图所示，美洲狮做平抛运动位移方向与水平方向夹角的正切值为tan α＝2tan β＝2×1122＝1，选项D 正确．3. 在离心浇铸装置中，电动机带动两个支承轮同向转动，管状模型放在这两个轮上靠摩擦转动，如图所示，铁水注入之后，由于离心作用，铁水紧紧靠在模型的内壁上，从而可得到密实的铸件，浇铸时转速不能过低，否则，铁水会脱离模型内壁，产生次品．已知管状模型内壁半径为R ，则管状模型转动的最低角速度ω为( )A.g R B. g 2R C. 2g RD ．2g R 解析：选 A.经过最高点的铁水要紧压模型内壁，临界情况是重力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律，有：mg ＝m v 2R解得：v ＝gR管状模型转动的最小角速度ω＝v R ＝g R故A 正确；B 、C 、D 错误．4．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响)( )A.14B ．4倍C ．16倍D ．64倍 解析：选D.天体表面的重力加速度mg ＝GMm R 2，又知ρ＝3M 4πR 3，所以M ＝9g 316π2ρ2G 3，故M 星M 地＝⎝ ⎛⎭⎪⎫g 星g 地3＝64. 5. 2015年9月川东地区持续强降雨，多地发生了严重的洪涝灾害．如图为某救灾现场示意图，一居民被洪水围困在被淹房屋屋顶的A 点，直线PQ 和MN 之间是滔滔洪水，之外为安全区域．已知A 点到直线PQ 和MN 的距离分别为AB ＝d 1和AC ＝d 2，设洪水流速大小恒为v 1，武警战士驾驶的救生艇在静水中的速度大小为v 2(v 1＜v 2)，要求战士从直线PQ 上某位置出发以最短的时间到达A 点，救人后以最短的距离到达直线MN .则( )A ．战士驾艇的出发点在B 点上游距B 点距离为v 1v 2d 1B ．战士驾艇的出发点在B 点下游距B 点距离为v 1v 2d 1C ．救人后船头应指向上游，与上游方向所成夹角的余弦值为v 2v 1D ．救人后船头应指向下游，与下游方向所成夹角的余弦值为v 1v 2解析：选A.救生艇到达A 点的最短时间为t ＝d 1v 2，战士驾艇的出发点在B 点上游距B 点距离为v 1v 2d 1，选项A 正确，B 错误；若战士以最短位移到达MN ，则救生艇登陆的地点就是C 点，则船头与上游方向所成夹角的余弦值为v 1v 2，故选项C 、D 错误．6. 如图所示，小木块a 、b 和c (可视为质点)放在水平圆盘上，a 、b 两个质量均为m ，c 的质量为m 2.a 与转轴OO ′的距离为l ，b 、c 与转轴OO ′的距离为2l 且均处于水平圆盘的边缘．木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g ，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法正确的是( )A ．b 、c 所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落B ．当a 、b 和c 均未滑落时，a 、c 所受摩擦力的大小相等C ．b 和c 均未滑落时线速度大小相等D ．b 开始滑动时的转速是2kgl解析：选BC.木块随圆盘一起转动，水平方向只受静摩擦力，故由静摩擦力提供向心力，则F ＝mr ω2，当圆盘的角速度增大时，圆盘提供的静摩擦力随之增大，当需要的向心力大于最大静摩擦力时，物体开始滑动，b 、c 同时达到最大静摩擦力，故b 、c 同时从水平圆盘上滑落，但b 、c 质量不等，角速度转动半径相等，由F ＝mr ω2知b 、c 所受摩擦力不等，A 选项错误；当a 、b 和c 均未滑落时，在同一转盘上无相对运动，因此它们的角速度相等，F ＝mr ω2，所以a 、c 所受摩擦力的大小相等，B 选项正确；b 和c 均未滑落时由v ＝r ω知，线速度大小相等，故C 选项正确；b 开始滑动时，最大静摩擦力提供向心力，kmg ＝m ·2l ω2，解得ω＝ kg 2l，故D 选项错误． 7. 如图，AB 为竖直面内半圆的水平直径．从A 点水平抛出两个小球，小球1的抛出速度为v 1、小球2的抛出速度为v 2.小球1落在C 点、小球2落在D 点，C 、D 两点距水平直径分别为圆半径的0.8倍和1倍．小球1的飞行时间为t 1，小球2的飞行时间为t 2.则( )A ．t 1＝t 2B ．t 1＜t 2C ．v 1∶v 2＝4∶ 5D ．v 1∶v 2＝3∶ 5解析：选BC.根据平抛运动的规律h ＝12gt 2知，下落高度越高，时间越长，故t 1＜t 2，B 正确；根据几何关系可求CD 间的水平距离为0.6R ，小球1：h ＝0.8R ＝12gt 21，x 1＝1.6R ＝v 1t 1；小球2：h ′＝R ＝12gt 22，x 2＝R ＝v 2t 2，联立解得：v 1∶v 2＝4∶5，所以C 正确． 8. 如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R 的圆轨道上运行，若三颗星质量均为M ，万有引力常量为G ，则( )A ．甲星所受合外力为5GM 24R 2 B ．乙星所受合外力为GM 2R2 C ．甲星和丙星的线速度相同D ．甲星和丙星的角速度相同解析：选AD.甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力，F 甲＝GM 2R 2＋GM 2R 2＝5GM 24R2，A 正确；由对称性可知，甲、丙对乙星的万有引力等大反向，乙星所受合力为0，B 错误；由于甲、乙位于同一直线上，甲、乙的角速度相同，由v ＝ωR 可知，甲、乙两星的线速度大小相同，但方向相反，故C 错误，D 正确．9. 发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1和2相切于Q 点，轨道2和3相切于P 点，设卫星在1轨道和3轨道正常运行的速度和加速度分别为v 1、v 3和a 1、a 3，在2轨道经过P 点时的速度和加速度为v 2和a 2，且当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时周期分别为T 1、T 2、T 3，以下说法正确的是( )A ．v 1＞v 2＞v 3B ．v 1＞v 3＞v 2C ．a 1＞a 2＞a 3D ．T 1＜T 2＜T 3解析：选BD.卫星在1轨道运行速度大于卫星在3轨道运行速度，在2轨道经过P 点时的速度v 2小于v 3，选项A 错误B 正确；卫星在1轨道和3轨道正常运行加速度a 1>a 3，在2轨道经过P 点时的加速度a 2＝a 3，选项C 错误．根据开普勒定律，卫星在1、2、3轨道上正常运行时周期T 1<T 2<T 3，选项D 正确．10. 如图所示，两根长度不同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O 点．设法让两个小球在同一水平面上做匀速圆周运动．已知L 1跟竖直方向的夹角为60°，L 2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是( )A ．细线L 1和细线L 2所受的拉力大小之比为3∶1B ．小球m 1和m 2的角速度大小之比为3∶1C ．小球m 1和m 2的向心力大小之比为3∶1D ．小球m 1和m 2的线速度大小之比为33∶1解析：选AC.对任一小球研究．设细线与竖直方向的夹角为θ，竖直方向受力平衡，则F T cos θ＝mg ，解得F T ＝mgcos θ.故细线L 1和细线L 2所受的拉力大小之比F T1T T2＝cos 30°cos 60°＝31，故A 正确；小球所受合力的大小为mg tan θ，根据牛顿第二定律得mg tan θ＝mL sin θ·ω2，得ω2＝g L cos θ，两小球的L cos θ相等，所以角速度相等，故B 错误；小球所受合力提供向心力，则向心力为F ＝mg tan θ，小球m 1和m 2的向心力大小之比为F 1F 2＝tan 60°tan 30°＝3，故C 正确；两小球角速度相等，质量相等，由合力提供向心力，有F ＝mg tan θ＝m ωv ，则小球m 1和m 2的线速度大小之比为v 1v 2＝F 1F 2＝3，故D 错误． 二、非选择题(共2小题，40分)11．(20分)如图所示，用内壁光滑的薄壁细管弯成的“S”形轨道固定于竖直平面内，其弯曲部分是由两个半径均为R 的半圆平滑对接而成(圆的半径远大于细管内径)，轨道底端D 点与粗糙的水平地面相切．现一辆质量为m 的玩具小车以恒定的功率从P 点开始行驶，经过一段时间之后，出现了故障，发动机自动关闭，小车在水平地面继续运动并进入“S”形轨道，从轨道的最高点A 飞出后，恰好垂直撞在固定斜面B 上的C 点，C 点与下半圆的圆心等高．已知小车与地面之间的动摩擦因数为μ，PD 之间的距离为x 0，斜面的倾角为30°.求：(1)小车到达C 点时的速度大小为多少？(2)在A 点小车对轨道的压力是多少？方向如何？解析：(1)把C 点处小车的速度v 分解为水平方向的v A 和竖直方向的v y ，有v A v y ＝tan 30°，v y ＝gt,3R ＝12gt 2，v ＝v 2A ＋v 2y 解得v ＝22gR(2)小车在A 点的速度大小v A ＝2gR因为v A ＝2gR ＞gR ，则小车对外轨有压力，即轨道对小车的作用力向下，有mg ＋F N ＝m v 2R解得F N ＝mg根据作用力与反作用力，小车对轨道的压力F N ＝mg ，方向竖直向上．答案：(1)22gR (2)mg 竖直向上12．(20分)某实验小组做了如下实验，装置如图甲所示．竖直平面内的光滑轨道由倾角为θ的斜面轨道AB 和圆弧轨道BCD 组成，将可视为质点的小球，从轨道AB 上高H 处的某点由静止释放，用压力传感器测出小球经过圆弧最高点D 时对轨道的压力F ，改变H 的大小，可测出相应的F 大小，F 随H 的变化关系如图乙所示．已知小球经过圆弧最高点D 时的速度大小v D 与轨道半径R 和H 的关系满足v 2D ＝2gH －4gR ，且v D ≥gR ，g 取10 m/s 2.(1)求圆轨道的半径R 和小球的质量m .(2)若小球从D 点水平飞出后又落到斜面上，其中最低的位置与圆心O 等高，求此时θ的值．解析：(1)由题意，小球在D 点的速度大小满足v 2D ＝2gH －4gR在D 点，由牛顿第二定律得mg ＋F ′＝m v 2D R又F ′＝F ，解得F ＝2mg RH －5mg 根据图象得m ＝0.1 kg ，R ＝0.2 m.(2)小球落在斜面上最低的位置时，在D 点的速度最小，根据题意，小球恰能到达D 点时，在D 点的速度最小，设最小速度为v ，则有mg ＝mv 2R解得v ＝gR由平抛运动规律得R ＝12gt 2，s ＝vt 解得s ＝2R ，由几何关系可得s sin θ＝R ，解得θ＝45°.答案：(1)0.2 m 0.1 kg (2)45°。