概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征（一）一、选择题：1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ]（A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数2．设X 的概率密度为910()900xex f x x -⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则1()9E X -= [ C ] （A ）919x x e dx +∞-∞⋅⎰ （B ）919xx e dx +∞-∞-⋅⎰ （C ）1- （D ）13．设ξ是随机变量，()E ξ存在，若23ξη-=，则()E η= [ D ]（A ）()E ξ （B ）()3E ξ （C ）()2E ξ- （D ）()233E ξ- 二、填空题：1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为 , , .01，则()E X =2．设X为正态分布的随机变量，概率密度为2(1)8()x f x +-=，则2(21)E X -= 93．设随机变量X 的概率分布，则2(3)E X X += 116/154．设随机变量X 的密度函数为||1()()2x f x e x -=-∞<<+∞，则()E X = 0 三、计算题：1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编号，求()E X解：X 的可能取值为3，4，53511(3)10P X C ===， 23353(4)10C P X C === 24356(5)10C P X C ===133()345 4.510105E X =⨯+⨯+⨯=2．设随机变量X 的密度函数为2(1)01()0x x f x -≤≤⎧=⎨⎩其它，求()E X解：11()2(1)3E X x x dx =⋅-=⎰3．设随机变量2~(,)X N μσ，求(||)E X μ- 解：222()22|||x y x x dx y y edy μσμμσ---∞∞--∞-∞--=⎰令22y yedy ∞-==4．设随机变量X 的密度函数为0()0xe xf x x -⎧≥=⎨<⎩，试求下列随机变量的数学期望。

（1） 21XY e -= （2）2max{,2}Y X = （3）3min{,2}Y X =解：（1）2013x x E Y e e dx +∞--=⋅=⎰() （2）2202()2xx E Y e dx xe dx +∞--=+⎰⎰2222232ee e ---=-+=+（3）2302()2x x E Y xe dx e dx +∞--=+⎰⎰2221321e e e ---=-+=-概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征（二）一、选择题：1．已知()1,()3E X D X =-=，则2[3(2)]E X -= [ B ]（A ）9 （B ）6 （C ）30 （D ）362．设~(,)X B n p ，则有 [ D ] （A ）(21)2E X np -= （B ）(21)4(1)1D X np p -=-+ （C ）(21)41E X np +=+ （D ）(21)4(1)D X np p -=-3．设ξ服从参数为λ的泊松分布，23ηξ=-，则 [ D ] （A ）()23()23E D ηληλ=-=- （B ）()2()2E D ηληλ==（C ）()23()43E D ηληλ=-=- （D ）()23()4E D ηληλ=-= 二、填空题：1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为 , , .01，则 ()D X = 2．设随机变量X 的密度函数为||1()()2x f x e x -=-∞<<+∞，则()D X = 2 3．随机变量X 服从区间[0，2]上的均匀分布，则2()[()]D X E X = 1/34．设正态分布Y 2(3)y--，则()D X = 1/2三、计算题：1．设随机变量X 的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为 , , .02，求：21Y X =-的期望与方差；解：()10.320.530.2 1.9E X =⨯+⨯+⨯=222()()()10.340.590.2(1.9)0.49D X E X EX =-=⨯+⨯+⨯-=()2()1 2.8E Y E X =-= ()4() 1.96D Y D X ==2．设随机变量~(0,1)X N ，试求||E x 、||D X 、3()E X 与4()E X解：22||||x E X x dx -+∞-∞=⎰222x dx -+∞=⎰= 220|x -+∞==222||(||)(||)()D X E X E x E X =-=-2222()x E X dx -+∞-∞=⎰22x -+∞-∞=-⎰2222]x x xeedx --+∞+∞-∞-∞=-⎰ = 1所以 2||1D X =-π2332()x E X dx ∞-=⎰= 02442()x E X dx ∞-=⎰232x ∞-=-⎰2223x dx ∞-=⎰= 33．设随机变量X 的分布密度为02()240axx f x bx c x <<⎧⎪=+≤<⎨⎪⎩其它，已知3()2,(13)4E X P X =<<=，求：（1）常数A ，B ，C 的值； （2）方差()D X ； （3）随机变量XY e =的期望与方差。

解：（1）2422()()E X x axdx x bx c dx ==⋅++⎰⎰323424022|||332a b c x x x =++856633a b c =++得8566233a b c ++= 3(13)4P X <<=得 353224a b c ++= ()1f x dx +∞-∞=⎰得 2621a b c ++=所以 解得11,, 1.44a b c ==-=242220211(2)()(2)()(2)(1)(2)44D X x f x dx x x dx x x dx +∞-∞=-=-+--⎰⎰⎰23=242202111(3)()()(1)(1)444xx x E Y e f x dx xe dx x e dx e +∞-∞==+-=-⎰⎰⎰2222221()()(())()[(1)]4x D Y E Y E Y e f x dx e +∞-∞=-=--⎰ 222242220211111142424244()|[()][()]x x x x e x e e e =-+---- 422221111164()[()]e e =--- 2221(1)4e e =-概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征（三）一、选择题：1．对任意两个随机变量X 和Y ，若EY EX XY E ⋅=)(，则 [B ]（A ）()()()D XY D X D Y = （B ）()()()D X Y D X D Y +=+ （C ）X 与Y 相互独立 （D ）X 与Y 不相互独立2．由()()()D X Y D X D Y +=+即可断定 [ A ] （A ）X 与Y 不相关 （B ）(,)()()X Y F x y F x F y =⋅ （C ）X 与Y 相互独立 （D ）相关系数1XY ρ=- 二、填空题：1．设维随机变量(,)X Y 服从(0,0,1,1,0)N ，则(32)D X Y -= 13 2．设X 与Y 独立，且6)(=X D ，3)(=Y D ，则(2)D X Y -= 27 三、计算题：1． 已知二维随机变量),(Y X 的分布律如表： 试验证X 与Y 不相关，但X 与Y 不独立。

解：X 的分布律为:X 1- 0 1 P Y 的分布律为:X 1- 0 1 P103750025103750E X =-⨯+⨯+⨯=()()...103750025103750E Y =-⨯+⨯+⨯=()()...110125100125110125E XY =--⨯+-⨯⨯+-⨯⨯()()().().(). 01101250110125++⨯-⨯++⨯⨯().. = 00xy E XY E X E Y ρ=-=()()() 所以X 与Y 不相关。

110125P X Y =-=-=(,).≠1103750375P X P Y =-=-=⨯()().. 所以X 与Y 不相互独立。

2．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===，求：(),()D X Y D X Y +- 解：(,)xy Cov X Y ρ=0.45612=⨯⨯=()()2(,)()85D X Y D X Cov X Y D Y +=++=， ()()2(,)()37D X Y D X Cov X Y D Y -=-+=3．设~(0,4),~(0,4)X N Y U ，且X ，Y 相互独立，求：(),(),(23)E XY D X Y D X Y +-解：()0,()4E X D X ==， 40()22E Y +==，244()123D Y ==，0xy ρ= 0)(=XY E ,416()()()433D X Y D X D Y +=+=+=, (23)4()9()161228D X Y D X D Y -=+=+=4．设X ，Y 相互独立，其密度函数分别为21()0X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩0其它，(5)5()05y Y e y f y y --⎧>=⎨≤⎩，求()E XY解：3110022()2|33x E X x xdx =⋅==⎰ (5)555()(1)|6y y E Y y e dy e e y +∞---+∞=⋅=-+=⎰2()()()643E XY E X E Y ==⨯= 5．（1）设随机变量23041605(),()(),(),(),.XY W aX Y E X E Y D X D Y =+====ρ=-。

求常数a 使()E W 为最小，并求()E W 的最小值。

（2）设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且有22(),()XYD X D Y =σ=σ，证明当222X Ya σ=σ时，随机变量W X aY =-与V X aY =+相互独立。

解：（1）22269W a X aXY Y =++2222226969()[]()()()E W E a X aXY Y a E X aE XY E Y =++=++ 22269[()(())]()[()(())]a D X E X aE XY D Y E Y =++++ 2424144a a =-+2246364327()[()]a a a =-+=-+当3a =时，()E W 最小，最小值为108。