du2 dt
C1R3C2
d 2u2 dt 2
]
=
R3 R4C2 R2 R5
duc dt

R3 R4C1C2 R5
d 2uc dt 2
整理：R1 R3 R4C1C2 R5
uc

R1R3 R4C2 R2 R5
uc
uc

ur
P36例2-3
绘制无源电路的结构图。ur为网络输入，uc为网络输出。
s2

(2
8 8a)
s

8
,
n
பைடு நூலகம்
8
2n 2
2 2
8 4 2 8a，得a 0.25

G(s)

8 s(s
，W 4)
(s)

s2

8 4s

8
由闭环特征方程可知系统稳定
Kv
lim sG(s) s0
2，单位斜坡信号作用时系统的稳态误差：essr

1 Kv
0.5
2(K 1) K 1
；当0<K<1时，T>0.
D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0
构造劳斯阵列表
sn s n1 sn2 s n3 s2 s1 s0
a0 a2 a4
a6
a1 a3 a5 a7
b1 b2 b3

c1 c2 c3

一直计算到最后一行算完 为止。然后判断阵列中第一列 系数的符号，若全部大于0,则 系统稳定；否则，第一列系数 符号改变的次数，就为特征方 程在右半s平面自动根控制的原理个数。
R2C1

R2C1
)
duc dt
uc
R1R2C1C2
d 2ur dt 2
(R2C2

R2C1
)
dur dt
ur
2.3 试分别求出图2.70中各有源电路的输入ur(t)与输出uc(t)之间的微分方程。
ur R1
Cur
uc R2
uc

R2Cur

R2 R1
ur
ur R1
b1 b2

a1a2 a1a4
a0a3 a1 a0a5 a1
b3

a1a6
a0a7 a1
c1
c2

b1a3 a1b2 b1a5 b1 a1b3
b1
19
3-12 设单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)

s( s
K 1)( s
1)
3
6
若要求闭环特征方程的根的实部均小于-１，问Ｋ值

C1 C2
i1
uc

1 C2
ur uc dt R1
[ur uc R1
C1
d
(ur dt
uc
)
]R2
duc dt

ur uc R1C2

R2 R1
d
(ur dt
uc
)

R2C1
d 2 (ur uc ) dt 2
整理： R1R2C1C2
d 2uc dt 2
(R1C2

H2 G4
H1
G2 H 3 G4

H4
R G1G2
G1G2 H 2 G4
G1G2H1

C
G3G4

G2 H3 G4
H4
R
G1G2
R G1G2
C G3G4

G2 H3 G4

H4

G1G2 H2 G4
G1G2H1
G3G4
C
1 G2G3H3 G3G4H4 G1G2G3H2 G1G2G3H4H1
i1,
i1

( u1 R2

C1
du1 dt
),
i2

u1 , R3
u2


1 C2
i2 dt ,
u2 uc
R4
R5

u1
i2 R3 ,
u2


R4 R5
uc ,
i2

C2
du2 dt

ur uc R1
i1
[i2 R3 R2

C1
di2 dt
R3 ]
= [
C2 R3 R2
z3 3z2 6z 18K 8 0
劳斯表如下：
z3
1
6
z2
3
18K 8
z1 18K 10
3
z 0 18K 8
欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变，大于零：
18K 10 0 3 18K 8 0
得
K K


5
9 4
因为(ur－uc) 为R1与C并联支路的端电压，i1+i2=i，R2i= uc ， 所以
2.11 试简化图中各系统结构图，并求传函C(s)/R(s)。
H4
R G1
-
G2
-
-
G3
C G4
H3
1 G4
H2
1 G4
-
H1
H4
R

C
G1
G2
G3
G4


G2 H3
G4
H2 G4
H1
R

C
G1G2
G3G4
自动控制原理 习题课
2.1 试分别写出图中各无源电路的输入ur(t)与输出uc(t)之间的 微分方程。

ur i1R1 uc
解:
1

C1
i2 dt

i1R1

1 C2
i1dt

uc

1 C2
i1dt iR2
i1

ur
uc R1
,
i2

R1C1
di1 dt

G0 (s)

K4s K1K2
3.10某控制系统的开环传递函数为
G(s)H (s)

K (s 1) s(Ts 1)(2s 1)
试确定能使闭环系统稳定的参数K、T的取值范围。 解：由系统开环传函可知
D(s) s(Ts 1)(2s 1) K(s 1)
2Ts3 (2 T )s2 (K 1)s K 0 劳斯表如下：
z3 6z2 3z 18K 10 0
劳斯表如下： z 3
1
3
z2
6
18K 10
z1 28 18K
6
z0 18K 10
欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变，大于零：
28 18K 0 18K 10 0
得
5 K 14
9
9
（2)令s=z-2,得:
D(z) (z 2)3 9(z 2)2 18(z 2) 18K
uc R2
Cuc
R2Cuc

uc


R2 R1
ur
复阻抗：Uc(s) Ur(s)
R2
R1

1 Cs


R2 R1
(1
R1Cs)
R1

1 Cs

Uc(s)


R2 R1
Ur(s)

R2CsUr(s)

Uc


R2 R1
Ur

R2C
Ur(s)
R2

1 Cs
Uc(s)
R2
3 此时G(s)

s(s

K 2
，W Ka)
(s)

s2

K (2 Ka)s

K
Kv

lim sG(s)
s0

K 2 Ka

4，2n

2
2 2
联立上两式解得：K 32，a 3 16
将K，a带入闭环传函，可知系统是稳定的
K 2 Ka
3.16.系统结构图如图3.41 所示。 (1) 当r(t) = t， n(t) = t时，试求系统总稳态误差

1 Cs

R2
Ur(s)
R1
R1 R1R2Cs
Uc(s)R1 R1R2CsUc(s) R2Ur(s) UcR1 R1R2C Uc R2Ur
2.8 图2.72是一个模拟调节器的电路图。试写出输入与输出之间的微分方程，并 建立该调节器的结构图。
ur uc R1
（3）由闭环传函可知，系统处于临界稳定状态
不能求出稳态误差
3.14.某控制系统的结构图如图3.40 所示。 (1) 当a=0时，试确定系统的阻尼比ζ，无阻尼自然振荡频率ωnn和单位斜坡信号作用时系 统的稳态误差。 (2) 当系统具有最佳阻尼比（ζ=0.707）时，确定系统中的a值和单位斜坡信号作用时系统 的稳态误差。 (3) 若要保证系统具有最佳阻尼比（ζ=0.707），且稳态误差等于0.25时，确定系统中的a 值及前向通 道的放大系数应为多少？
∑Li——所有回路的回路增益之和； ∑LiLj——所有两两互不接触回路的回路增益乘积之和； ∑LiLjLk——所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和； n——从输入节点到输出节点所有前向通路的条数；
Pk——从输入节点到输出节点第k条前向通路的增益； k——在Δ中，将与第k条前向通路相接触的回路增益除去后