2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A x | x 1≥0，B 0，1，2，则AA ．0B ．1C ．1，2D ．0，1，22．1 i 2 iA． 3 i B． 3 i C．3 i D．3 i3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是14．若，则 cos 2sin3A．89B．79C．7D．98952 25．xx的展开式中x4 的系数为A．10 B．20 C．40 D．806．直线x y 2 0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆x y 上，则ABP 面积的2 22 2取值范围是A ．2，6B ．4，8C． 2 ，3 2D． 2 2 ，3 21 / 107．函数y x 4 x 2 2 的图像大致为8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10 位成员中使用移动支付的人数，DX 2.4 ，P X 4P X 6，则pA．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．39．△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为a 2 b 2c24，则CA．π2B．π3C．π4D．π610．设A，B，C ，D是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为9 3 ，则三棱锥D ABC 体积的最大值为A．12 3 B．18 3 C． 24 3 D．54 311．设x y2 2F ，F 是双曲线 2 2 1C：（a 0，b 0 ）的左，右焦点，O 是坐标原点．过1 2a bF作C 的一2条渐近线的垂线，垂足为P ．若PF OP ，则C 的离心率为1 6A． 5 B．2 C． 3 D． 212．设a log 0.3，b log 0.3，则0.2 2A．a b ab 0 B．ab a b 0C．a b 0 ab D．ab 0 a b二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

13．已知向量a =1, 2，b =2,2，c =1, λ．若c ∥2a + b，则 ________．14．曲线y ax 1 e 在点0，1处的切线的斜率为 2 ，则a ________．xf x xcos 3π15．函数6在0，π的零点个数为________．16．已知点M 1，1和抛物C：y 2 4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若线∠AMB 90，则k ________．2 / 10三、解答题：共 70 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第 22、23 为选考题。

考生根据要求作答。

（一）必考题：共 60 分。

17．（12 分）等比数列a 1 1，a 5 4a3 ．a 中，n（1）求a 的通项公式；n（2）记S 为 a 的前n 项和．若S 63 ，求m ．n n m18．（12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m 不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附： 22 n ad bcKa b c d a c bd，P K2 ≥k 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828．3 / 1019．（12 分）如图，边长为 2 的正方形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．20．（12 分）x y已知斜率为k 的直线l 与椭圆 14 32 2C：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M 1，m m 0．1（1）证明：k ；2（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB 0 ．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．21．（12 分）已知函数f x 2 x ax ln 1x 2x ．2（1）若a 0 ，证明：当1x 0 时，f x 0；当x 0 时，f x 0；（2）若x 0 是f x的极大值点，求a．（二）选考题：共 10 分。

请考生在第 22、23 题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）x cos，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为（为参数），过点0，2且倾斜角为y sin的直线l 与⊙O 交于A，B 两点．（1）求的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）设函数f x 2x 1 x 1 ．（1）画出y f x的图像；（2）当x∈0，， f x≤ax b ，求a b 的最小值．4 / 10绝密★启用前2018 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C D A B C A D B C B C B二、填空题13．12 14．315．316．217．解：（1）设{a }的公比为q ，由题设得a q n 1 ．n n由已知得q4 4q2 ，解得q 0 （舍去），q 2 或q 2．故a (2)n 1 或a 2n 1 ．n n（2）若( 2)n 1 Sa ，则1 (2)n．由S 63得(2)m 188，此方程没有正整数解．n n m3若a 2n 1 ，则S 2n 1．由S 63得2m 64，解得m 6．n n m综上，m 6．18．解：（1）第二种生产方式的效率更高．理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85．5 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73．5 分钟．因此第二种生产方式的效率更高．（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关5 / 10于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（2）由茎叶图知m79 8180 ．2列联表如下：超过m 不超过m 第一种生产方式15 5 第二种生产方式 5 15（3）由于 2 40(15 15 5 5) 10 6.6352K20202020，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．19．解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M 为CD 上异于C，D 的点，且DC 为直径，所以DM⊥CM．又BC CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz．当三棱锥M−ABC 体积最大时，M 为CD 的中点．由题设得D(0, 0, 0), A(2,0,0),B(2, 2, 0),C(0, 2,0),M(0,1,1)，AM (2,1,1), AB (0, 2, 0), DA (2, 0, 0)6 / 10设n (x, y, z)是平面MAB 的法向量，则n n AB 0.即2x y z 0,2y 0.可取n (1, 0, 2) ．DA 是平面MCD 的法向量，因此cos n, DAn| n || DA|5 5，5 sin n, DA ，5所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是2 5 5．20．解：（1）设A(x , y ), B(x , y ) ，则1 12 2 x y x y．2 2 2 21 1,2 11 24 3 4 3两式相减，并由y1x1y2x2k得x x y y1 2 1 2 k 04 3．x x y y 由题设知 1 2 1, 1 22 2 m，于是k3．①4m0 由题设得，故 1 m k．32 2（2）由题意得F(1, 0) ，设P(x , y ) ，则3 3(x 1, y )(x 1, y ) (x 1, y ) (0,0)．3 3 1 1 2 2由（1）及题设得x x x ym ．3 3 ( 1 2 )1, y3 (y1 2 ) 2 07 / 10又点P 在C 上，所以m ，从而(1, 3)3P ，| FP |．4 2 2于是x x2| FA|(x 1) y (x 1) 3(1) 2 ．2 2 21 1 11 14 2x同理| FB | 2 2 ．21所以| FA| | FB | 4 (x x ) 3．1 22故2 | FP || FA| | FB |，即| FA|,| FP |,| FB | 成等差数列．设该数列的公差为d，则12| d||| FB| | FA||| x x |(x x ) 4x x ．②21 2 1 2 1 22 23将m 代入①得k 1．4所以l 的方程为y x ，代入C 的方程，并整理得7 2 14 1 0 7x x．4 4故x x x x 1 ，代入②解得| | 3 21 2, d ．1 2 1 228 28所以该数列的公差为3 21283 21．28或21．解：x （1）当a 0时，f (x ) (2 x) ln(1x ) 2x ，( )ln(1)f x x1x．x 设函数( ) ( ) ln(1 )g x f x x1x ，则g (x)x(1x)2．当1x 0时，g(x ) 0；当x 0时，g(x ) 0．故当x 1时，g(x ) g (0) 0，且仅当x 0时，g(x ) 0 ，从而f (x ) 0 ，且仅当x 0时，f (x ) 0．所以f (x) 在(1,)单调递增．8 / 10又f (0) 0，故当1x 0时，f (x ) 0；当x 0时，f (x ) 0 ．（2）（i）若a 0，由（1）知，当x 0时，f (x ) (2 x) ln(1x ) 2x 0 f (0) ，这与x 0是f (x) 的极大值点矛盾．f (x) 2x（ii）若a 0，设函数h(x) ln(1 x)2 x ax 2 xax2 2．1| x | min{1, }时，2 x ax 2 0 ，故h(x) 与f (x) 符号相同．由于当| a|又h (0) f (0) 0 ，故x 0是f (x) 的极大值点当且仅当x 0是h(x) 的极大值点．1 2(2 x ax ) 2x (1 2ax) x (a x 4ax6a 1)2 2 2 2h (x)1x (2 x ax ) (x 1)(ax x2)2 2 2 2．如果6a 1 0，则当0 6 1，且| | min{1, 1 }x xa时，h(x ) 0 ，故x 0 不是h(x)4a | a|的极大值点．如果6a 1 0，则a2 x 2 4ax 6a 1 0 存在根x ，故当1 0x x ，且|mi n {1,}1( ,0) x1| a|时，h(x ) 0 ，所以x 0不是h(x) 的极大值点．如果6a 1 0，则h (x)x (x 24)3(x 1)(x 2 6x12)2．则当x (1, 0) 时，h(x ) 0 ；当x(0,1)时，h x ．所以x 0是h(x) 的极大值点，从而x 0是f (x) 的极大值点( ) 01综上，a ．622．解：（1）的直角坐标方程为x 2 y 2 1．当2时，l 与交于两点．当22时，记tan k ，则l的方程为y kx 2 ．l 与交于两点当且仅当| | 1，1k2解得k 1或k 1，即( , )或( , )4 2 2 4综上，的取值范围是( , )．4 4．9 / 10x t cos , （2）l 的参数方程为y t2sin (t为参数，)4 4．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则tP t tAB，且t 满足t 2 2 2t sin 1 0．t ，A B2于是t t 2 2 sin，t 2 sin．又点P的坐标(x, y)满足A B Px t cos ,Py 2 t sin .P所以点P 的轨迹的参数方程是2x sin2,22 2y2 2cos2(为参数，)4 4．23．解：（1）13x, x ,21f (x ) x 2,x 1,23x, x 1.y f (x) 的图像如图所示．（2）由（1）知，y f (x) 的图像与y 轴交点的纵坐标为2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a 3且b 2时，f (x) ax b 在[0,) 成立，因此a b 的最小值为5．10 / 10。