• Steele奖的终身成就奖得主的Erdos数不超过4. • 在具有有限Erdos数的人名单中往往还能发现一些其他领域 的专家，如: 比尔盖兹(Bill Gates)， 他的Erdos数是4， 通过如下途径实现：Erdos--Pavol Hell--Xiao Tie Deng-Christos H. Papadimitriou--William H. (Bill) Gates.
小世界实验—六度分离
• 我们或许有过这样的经历：偶尔碰到一个陌生人，同他聊了一 会后发现你认识的某个人居然他也认识，然后一起发出”这个 世界真小”的感叹。那么对于世界上任意两个人来说，借助第 三者、第四者这样的间接关系来建立起他们两人的联系平均来 说最少要通过多少人呢？ • 美国社会心理学家斯坦利•米尔格伦(Stanley Milgram)在1967 年通过一些实验后得出结论：中间的联系人平均只需要5个。他 把这个结论称为“六度分离”。 • 六度分离: 平均只要通过5个人，你就能与世界任何一个角落的 任何一个人发生联系。这个结论定量地说明了我们世界的”大 小”，或者说人与人关系的紧密程度。 • 30多年来，六度分离理论一直被作为社会心理学的经典范例之 一。 • 尽管如此，实际上这个理论并没有得到严格的证实。美国心理 学教授朱迪斯•克兰菲尔德(Judith Kleinfeld)对米尔格伦最初 的实验提出不同意见，因为她发现实验的完成率极低。
• 他可以和许多不同领域的数学家合作。数学家常 将本身长久解决不了的问题和他讨论，于是很快 地一篇论文便诞生了。
小世界实验---Erdos数
• 数学家以下述方式来定义Erdos数 (Erdos number) : Erdos本人之Erdos 数为0，任何人若曾与Erdos合写过论文， 则其Erdos数为1。任何人若曾与一位 Erdos数为l(且不曾与有更少的Erdos数) 的人合写过论 文， 则他的Erdos数为2„ • 几乎每一个当代数学家都有一个有限的Erdos数，而且这 个数往往非常小，小得出乎本人的预料。比如说证明 Fermat大定理的Andrew Wiles，他的研究方向与Erdos相 去甚远，但他的Erdos数只有3，是通过这个途径实现的： Erdos--Andrew Odlyzko--Chris M.Skinner--Andrew Wiles.
一笔画问题
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② 随机图理论
20世纪60年代，由两位匈牙利数学家Erdǒs和Rényi建立的随 机图理论（random graph theory）被公认为是在数学上开创了 复杂网络理论的系统性研究。 Erdǒs和Rényi的最重要的发现 是：ER随机图的许多重要性质都是 突然涌现的。也就是说，对于任一 给定的概率p，要么几乎每一个图 都具有某个性质Q（比如说，连通 性），要么几乎每一个图都不具有 该性质。 在20世纪的后40年中，随机图 理论一直是研究复杂网络的基本理 论。
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③ 小世界实验
20世纪60年代美国哈佛大学的社会心理学家Stanley Milgram通过
一些社会调查后给出的推断是：地球上任意两个人之间的平均距离是6。
这就是著名的“六度分离”（six degrees of separation）推断。 为了检验“六度分离”的正确性，小世界实验—Bacon数。美国
• 爱因斯坦的Erdos数是2.
有两篇开创性的文章可以看作是复杂网络研究新纪 元开始的标志：
一篇是美国康奈尔（Cornell）大学理论和应用力学 系的博士生Watts及其导师、非线性动力学专家Strogatz教授于 1998年6月在Nature杂志上发表的题为《“小世界”网络的集体 动力学》（Collective Dynamics of ‘Small-World’ Networks）的文章； 另一篇是美国Notre Dame大学物理系的Barabāsi教授 及其博士生Albert于1999年10月在Science杂志上发表的题为 《随机网络中标度的涌现》（Emergence of Scaling in Random Networks）的文章。 这两篇文章分别揭示了复杂网络的小世界特征和无 标度性质，并建立了相应的模型以阐述这些特性的产生机理。
小世界实验---Erdos数
• Erdos从来没有一个固定的职位，从来不定居在一 个地方，也没有结婚，带着一半空的手提箱，穿 梭于学术研讨会，浪迹天涯，颇富传奇色彩。有 人称他为流浪学者(wande ring scholar)。 • 他效忠的是科学的皇后， 而非一特定的地方。各 地都有热心的数学家提供他舒适的食宿，安排他 的一切，他则对招待他的主人，给出一些挑战性 的数学难题，或给予研究上的指导做为回馈。
小世界实验--- Bacon数
• 截止到几天前，世界电影史上共产生了大约23万 部电影，78多万名电影演员（参见互联网电影库 ）. • Kavin Bacon在许多部电影中饰演小角色。 • 几年前,Virginia 大学的计算机专家Brett Tjaden设计了一个游戏，他声称电影演员Kevin Bacon是电影界的中心。 • 在游戏里定义了一个所谓的Bacon数：随便想一 个演员，如果他（她）和Kavin Bacon一起演过 电影，那么他（她）的Bacon数就为1；如果他 （她）没有和Bacon演过电影，但是和Bacon数为 1的演员一起演过电影，那么他的Bacon数就为2； 依此类推。 • 发现: 在曾经参演的美国电影演员中，没有一个 人的Bacon数超过4。
Virginia大学计算机系的科学家建立了一个电影演员的数据库，放在
网上供人们随意查询。网站的数据库里目前总共存有近60万个世界各 地的演员的信息以及近30万部电影信息。演员的Bacon数。
一个有趣的数学家故事：Erdǒs数证明小世界实验。 4
小世界实验--- 六度分离
节点都与它左右各K/2个邻居点相连（K为偶数）， 对于较大的K值，最近邻耦合网络的聚类系数为
C
nc
3( K 2) 3 4( K 1) 4
因此，这样的网络是高度聚类的。对于固定的K值， 网络平均路径长度为
N Lnc 2 K
( N )
星形耦合网络：有一个中心点，其余N-1个点都只与这
小世界实验--- Bacon数
• 在网上有一个网页/oracle/。网 站的数据库里总共存有有783940个世界各地的演员的信息以及 231,088部电影信息。 • 通过简单地输入演员名字就可以知道这个演员的bacon数。目 前比如输入Stephen Chow（周星驰）就可以得到这样的结果： 周星驰在1991年的《豪门夜宴(Haomen yeyan)》 中与洪金宝 (Sammo Hung Kam-Bo)合作；而洪金宝又在李小龙的最后一部 电影，即1978年的《死亡的游戏 （Game of Death）》 中与 Colleen Camp 合作；Colleen Camp 在去年的电影《Trapped》 中与Kevin Bacon 合作。这样周星驰的Bacon数为3。 • 对78万个演员所做的统计：演员的最大Bacon数仅仅为8，平均 Bacon数仅为2.948。
1998，Watts和Strogatz：WS小世界网络
D. J. Watts, and S. H. Strogatz, Nature, 393, 440-442 (1998).
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小世界网络
WS小世界模型 NW小世界模型
C(p) : 平均聚集系数 L(p) : 平均最短路径
小世界网络
作为从完全规则网络向完全随机图的过渡，Watts和Strogtz 于1998年引入了一个小世界网络模型，称为WS小世界模型。 其构造算法如下： ①从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络， 它们围成一个环，其中每个节点都与它左右相邻的各K/2 个节点相连，K是偶数。 ②随机化重连：以概率p随机地重连网络中的每个边，即将 边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随机选 择的一个节点。其中规定，任意两个不同节点之-间至多 只能有一条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。
• 米尔格伦的实验过程是：他计划通过人传人的送信方式来统 计人与人之间的联系。 • 首先把信交给志愿者A，告诉他信最终要送给收信人S。如果 他不认识S，那么就送信到某个他认识的人B手里，理由是A认 为在他的交集圈里B是最可能认识S的。但是如果B也不认识S， 那么B同样把信送到他的一个朋友C手中，„„，就这样一步 步最后信终于到达S那里。这样就从A到B到C到„„最后到S连 成了一个链。斯坦利•米尔格伦就是通过对这个链做了统计后 做出了六度分离的结论。 • 然而在这个实验中，实际上只有三分之一的信送到了收信人 那里，因此实验的完成率很低。
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复杂网络的结构

四种结构模型：
–规则网络
–随机网络 –小世界网络 –无标度网络
规则网络
系统中节点及其与边的关系是固定的。
（a）全局耦合网络； （b）最近邻耦合网络； （c）星形网络
全局耦合网络具有最小的平均路径长度Lgc =1和 最大的聚类系数Cgc =1；
最近邻耦合网络:包含N个围成一个环的点，其中每个
小世界实验---Erdos数
• Paul Erdos((1913-1996)：是出生于匈牙利的犹 太籍数学家，被公认为20世纪最伟大的天才之一。 • Erdos毕生发表的论文超过1500篇（在数学史上 仅次于欧拉(Euler ，1707-1783))，超长的合作 者名单,合作者超过450位。但若加上别人所做但 曾获他关键性提示之论文，则他的论文应有数万 篇。 • 他的研究领域主要是数论和组合数学，但他的论 文中涵盖的学科有逼近论、初等几何、集合论、 概率论、数理逻辑、格与序代数结构、线性代数、 群论、拓扑群、多项式、测度论、单复变函数、 差分方程与函数方程、数列、Fourier分析、泛 函分析、一般拓扑和代数拓扑、统计、数值分析、 计算机科学、信息论等等。 • "Mathematical Reviews" 曾把数学划分为大约 六十个分支，Erdos的论文涉及到了其中的40%.