数值分析期末复习资料数值分析期末复习题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明第一章误差与有效数字一、有效数字1、定义：若近似值X*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。
2、两点理解：（1） 四舍五入的一定是有效数字（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. ・§丄％ 3、 定理1 （P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差虧疗茲T 4、考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1 （P7例题3） 二、避免误差危害原则 1、原则:（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：xl*x2= c / a ） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. V777-77 =c ・2 X2sin7 或 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14 三. 数值运算的误差估计 1、公式：（1） 一元函数：I £*（ f 3））1 Q |「（於）1・| £*（力|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f （卅））eg. P19习题1、2、5(2) (3) ln(x + £)- In x = In 1；1 — cos X =（2）多元函数（P8） eg. P8例4, P19习题4第二章插值法一、插值条件1、定义：在区间［a, b］上，给定n+1个点，aWxoVx［V・・・VxWb的函数值yi=f(xi),求次数不超过n的多项式P(x),饋兀)=儿 i =0,1,2,…，力2、定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数Wn的P(x)存在且唯一二、拉格朗日插值及其余项1、n次插值基函数表达式(P26 (2.8))2、插值多项式表达式(P26 (2.9))3、插值余项(P26 (2.12))：用于误差估计4、插值基函数性质(P27 (2. 17及2. 18)) eg. P28例1三、差商(均差)及牛顿插值多项式1、差商性质(P30)：(1)可表示为函数值的线性组合(2)差商的对称性：差商与节点的排列次序无关(3)均差与导数的关系(P31 (3.5))2、均差表计算及牛顿插值多项式例：已知X=1,4,9的平方根为1,2,3,利用牛顿基本差商公式求"的近似值。
P2 (x) = 1 + 0.33333( 丫—l)-0.01667(x-l)(.v- 4) 因此计算得祈的近似值为為(7) = 2.69992.四、埃尔米特插值(书P36)两种解法：(1)用定义做：设P$(x)二ax'+bY+cx+d,将已知条件代入求解(4个条件：节点函数值、导数值相等各2个)(2)牛顿法(借助差商)：重节点eg. P49习题14五、三次样条插值定义(1)分段函数，每段都是三次多项式(2)在拼接点上连续(一阶、二阶导数均连续)S(x j) = y j/j = O/l/---/n(3)考点：利用节点函数值.导数值相等进行解题第三章函数逼近与曲线拟合曲线拟合的最小二乘法解题思路：确定輕，解法方程组，列方程组求系数(注意％应与系数一一对应)eg.F95习题17 形如尸ae “解题步骤：(1)线性化(2)重新制表(3)列法方程组求解(4)回代第四章数值积分与数值微分一、代数精度K概念：如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立, 则称该求积公式具有m次代数精度2、计算方法：将f (x)=l, x, x2,…x”代入式子求解eg. P100例1二.插值型的求积公式.•・[f(x)dx 匕£(J lk(x)dxjf(xQ(*)二0其中k(x)二n匕生为Lagrange插值基函数“'胪f 求积系数A k=j a l k(x)dx定理：求积公式至少具有n次代数精度的充要条件是：它是插值型的。
三、牛顿-科特斯公式K 掌握科特斯系数n=l,2的情况即可（P104表4-1）,性质：和为1,对称性2. 定理：当n 为奇数时，牛顿-柯斯特公式至少有n 次代数精度；当阶n 为偶数时，牛顿-科特斯公式至少具有n+1次代数精度b — ci3. 在插值型求积公式中求积节点取为等距节点，即x k =a + khji = —— ,k=0, 1, 2,…・n 。
则n可构造牛顿-柯斯特求积公式：时，求积公式为梯形公式：『匕冲〜 与0［几4）+/（町 n=2时，求积公式为辛普森公式：口］+ /0） a 6L I 2 丿n=4时，求积公式为柯特斯公式：”（护心气］^7/（观）+ 32/（召）+ 12/（勺）+ 32/（耳）+ 7/（亠）］ CI4、低阶求积公式的余项：梯形公式：R 丁 = -匚-U ）2/"（“）,〃 e ［a,b ］丄厶6.复合辛普森公式及余项(P107)h"一】w-iS” = 7 .心)+ 4》f (%%) + 2》/ (“ ) + f (b) ° L A=Ok=\ _h J ( h 、4心(/) = /-s” =£-曲& f 4(久),％ e(x, + x k+l ) A=0 loU\ Z 7（吨c 叽心好加呂"辟y加以辛普森公式：R s =g ）3-讥⑷⑺，忤问180 I 22( b — a)柯特斯公式：)5、复合梯形公式及余项(P106)h71-1n-I T lt =- /3 + 2》.f(xJ + .f(b) R“mA=Ik=0罟仃”（久），久E （无+垛+J6严g,b]四、高斯型求积公式（书PU7-120）1、定义：如果求积公式具有2n+l 次代数精度，则称其节点&为高斯点。
bnb2求积公式：”（少（兀）厶= £4/（耳），4 =Jo （x ） —“a R=（） aI% —玉丿®+]S 丿 f2"+2（） b余项：& [/卜帀琲归况砂心）厶2.第五章解线性方程组的直接方法一、 髙斯消去法：利用增广矩阵 二、 LU 分解 Ly=b ； Ux=yK 特点：L 对角线均为1,第一列等于A 的第一列除以皿；U 的第一行等于A 的第一行 2、LU 分解唯一性：A 的顺序主子式DiHO 三.平方根法：Ly = b^x = y 例题：用平方根法解对称 解：先分解系数矩阵A7 Siz6 7 ,55、8 °,7/2976后 5 13=L五. 范数（误差分析） 1. 向量范数定义及常用范数其次解Ly = b的=?■V6 7 [29 To V6" 5J17492厂9、10—“2 — I21 • T1“3 - Z2 ‘3 恋•iQ ___ 41 ______ — _10最后解l7x = y7_A /65 I 9 V6 ?6 13 -3A /174 7174g5 10V29 I V29•2 =^=2 E $ - G 、= -J "=——字 ------------------------------- =1】33‘22改进平方根法：A = LDL\Ly=b J DLix = y 四. 追赶法：A=LU, Ly=f, Ux=y。
2q$ C 2r 21卩\1% hlCl n%b n1297W 9oo-范数（最大范数）：||x|| =max x11 l|x l<i<n 1i-范数诙i=lP —范数：||x||广『,（15氏+8）\ i=l ）2、矩阵范数定义及常用范数00-范数（行范数）:||机=曲£打|1-范数（列范数）2 -范数：||州2 =』入瘁（心）丄F-范数：|州』£岡］2\U=,丿其中人najA' A）表示半正定矩阵A'人的最大特征值，矩阵的前三种范数分别与向量的前三种范数相容3.条件数条件数是线性方程组Ax二b的解对b中的误差或不确定度的敏感性的度量。
数学定义为矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即""〃（A）= ||A||・||A ||的逆对应矩阵的3种范数，相应地可以定义3种条件数。
条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。
对于线性方程组Ax=b,如果A的条件数大，b 的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。
如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。
它也可以表示b不变，而A有微小改变时，x的变化情况。
所以当cound （A）＞〉1时，方程组Ax二b是病态的，否则称为良态4、条件数的性质：1、对任何非奇异矩阵A,都有cond（A\. X 1.由定义cond（A）v =冲』汕綁"州=||/|| = 1.2、设A为非奇异矩阵且cHO（常数），则cond（cA）v = cond（A）v3、如果4为止交矩阵，则sM(A )2=l;如果4为非奇异矩阵，/?为正交矩阵，则 cond(RA)2 =cond(AR)2 =cond(A)2.第六章解线性方程组的迭代法-、迭代法：xn+/迭代法收敛的两种判断方法：1、若4是,冈7矩阵，且满足I 如ng 闯(|«,|>XK|)(，= 1,2,・•・,),则称A 为对角占优矩阵(严格对角占优矩阵)。
z?(A) = max|Z|<l' 7凶如I 『I (谱半径越小，收敛速度越快)3、收敛性判别条件：1) SOR 迭代法收敛的必要条件：SOR 迭代收敛，则0 <W 〈2。
2) SOR 迭代法收敛的充要条件：A 为对称正定矩阵且0 (W <2,则SOR 收敛。
根据迭代法收敛性定理，SOR 法收敛的充分必要条件为但要计算Q (GJ 比较 复杂，通常都不用此结论，而直接根据方程组的系数矩阵A 判断SOR 迭代收敛性，下面先给出收 敛必要条件.定理1：设A = (心1,2,..』)，则解方程Ax 二b 的SOR 迭代法收敛的必要条件是0 V3 V2.定理2：若Ae R nKn对称正定，且0V3V2,则解Ax=b 的SOR 迭代法x(k+1}= Gx {k)+ f 对Vx e R n 迭代收敛.对于SOR 迭代法，松弛因子的选择对收敛速度影响较大， 二、雅克比迭代法例：Hilbert 阵 H n =£ 2 J_ 31 n+1cound (H 2)X =27 cond (H 3)x »1 n+l 1 2n-l_748 cond(H 6)=2.9xlO 6cond(比汇 is2.(非常重要)谱半径小于1收敛即:(f=b)对该方程应用迭代法即得解方程组Ax=b 的雅可比迭代公式（分量形式）B = -D^(L + U\f=D'}b三、高斯-赛德尔迭代法a.x x. +a 门X 。