湘潭县一中、浏阳市一中、宁乡县一中高10月联考数学（文科）时豐0分钟僚150分、选择题（趣共 10道小题，每小题 一项是符合题目要求的）D ・-15分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，W 1. i 为虚数单位，则数 i （1 -i ）•的虚部为A.2. 已知 A={.1,0,1,2,3},B={x|log( )B 的元素个数为3. 4. 5.A. 已知 A.如图, 率是B. 5C.D. 2cvO,下列不等式中成立的一个是>曙2的正方形内有一内切圆.+ 2kTT (keZ)是"cos 2 a =6 在图形上随机撒一粒黄豆， 则黄豆落到41 2”A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 若函数 y+ X 处的导数值与函数值互为相馥, o 则 X 的值为A. 5B. 3C. 41C. + =乞的左右焦点分别F^Fz 过的直嗚椭圆相於、B 两点，则17 •椭圆I AF 2| | BF 2|的最大值为2&已知 (0,)f (x) 1 2sin x 的最小值为b,若函数 x,且函数sin 2x 2D.不存在V V若函sgtx)~ f (x) kx k 恰有4个零点，则实数k 的取值范是(11・命题△“ xo R,2X0"的否定是4g(x) = i 6bx 49.如图，已知圆的内接正方形, (0,则不等式g(x) <1的解集为()2(y 6)2 M :(x 6)M ))E 、F 分别为边AB,绕圆乜严转計,M^_OF 的学值范围是()AC .4 2,4 2 D . 12,124,四边形 AD 的中点,10.时，定义在R 上的函数f (x),其周期为4,且当x 1,3一亠f(x) 1 xx €(1,1191 |x2| X 1,3A ・( Q2 1)V——kj4 52 16 1C ・()( ,) 4 512 33 €<6 1B. L 一，312 31 111D ・(,)<・)5 3355小题，每小题 5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上)12.若函数y=x+" ----------------------ZX 在(0, a)上为单调减函数，则实数 a 的取值范围是・+ + + =13・在 ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若a 2 , b 2, sinB cosB 2 ,则角A 的大小为 = +>m,n 为横、簸坐标的点 A(m,n )表示的平面区域 D.若函数y log (x 4)(a ―巧 a 的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为15・已知函数f(x) In x mx 1,其中m R,g(x ) x80在f (x)的定义域内恒成立，贝I ］实数 m 的取值范围2 mx m n 14.已知关于X 的方程=_ + 0x的两根分别焉需圆禾J 双盂线席离心率•记分别以大值为三、解答题：(本大题共6小题，共75分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 )(3)求异面直线 人。
与BC 所成角的余弦值.16. (本小题满分12分)3已知函数f x◎()0)的最小正周期为sin 2sin7T(1) 求励值友函数f(x)的单调递增区间; (2)当x[0,]时，求函数f(x)的取值范围.2 17. (本小题满分 如下图所示, 点.12分)在直三棱柱 ABC-ABG 中，AC= 3, (1) 求证：AC 丄BCi ；求证：AC 1 ||平面CDB 1；经过实验分析得知：+kt 400, 20 t 40(1) 求出k 的值，并指出讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多久？ (2)一道数学难题，需要讲解 24分钟，并且要求学生的注意力至少达到 185,那么经过 适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？18, (本小题满分12分)经研究发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣 激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散fI ++f表示学生注意力随时间(t)=1t (分钟)< S<刊变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，t2 26t80, 0 10f (t)240,10 t20取值范围.■ )-> 一20.(本力褪满分分)19.(本小题满分13分)设函数f 数列｛a 』满足12.(x) 3 x1, a n(1)求数列fa ｝的通项公式亍 n(2)对 n Naa1 21，若a an n 1S n:恒成立’求实数t 的在平面直角坐标系中,*O 为坐标原点，点 F, T, OF (0,1), OT (t, 1)FR RT, SR FT,ST//OF21.(本小题满分13分)T已知函数f (x) Inx^ g (x ) fg _ex]>E ，扁数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线 平行于x 轴. 一(1)确定a 与b 的关系； (2)试讨论函数g(x)的单调性；*ni 1 n N ,都有 In 1 n2i 1i(3) 证明：对任意成立。
(1)当t 变化时, 求点 X S 的轨迹方程G(2)过动点T (t 0)并求岀这个定值；(3)在(2)的条件下,请说明理由・+ +O一、 握 DDCAA CABDC 二、 填空题：X ・ yx e R,2X>0< <12. £―a__2- 13.30• •14.(1, 3)15.m 1；・2三、解答题：（本大题離小题，菇分•解答应写出文字说明，演算步骤逋明程）(本小题瀟12分)『- 3----------------------------3-- ---------------- + —3 1 cos x 1sin x・・ i 分+2o13sin 4分21cos x 召in （ x2n 因为f （x ）最小正周期为，所以n2.n n7T — — S + — 于是()sin(2 f xx...... 5分n 7t7T -----S S 7C + —2k所以口幻更单调爛團上这］， （2）因为 ［ix,k3 7 T ，］，Z ......... 7分16,解:则 sin(217.（本小题瀰12分）（1）证明：在直三棱fflC-A^G 中，底面三边杠=3, BC=4, /.AC 丄 BC.又V GG L AC. /.AC 丄平面 BCCiB ・vBCi?平面 BCCiB, ..AC 丄BCi.⑵证明：蹈1与GB 的导为巳连翻E, 又四边形BCGB 另正方就•••D 是AB 的中点，E 是BCi 的中点，・•• DE||ACi. vDE?平面 CDBo AG?平面 CDBi, /.ACJI 平面 CDB“ L L L L 8 分(3)解：J DE||AG,・・・N CED 为AC I 与BC 所成的角.1 5 在^CED 中，ED= ACi = 22所以f （x ）在［0,］上的取值范鹅［21,1 2 ].分 (12)19 .解: CD :=AB・••异面直线2 < 也彳旦CBi = 2 2, /.cosz CED c□ □ 也25ACi与BC所成角的余弦值为12夯)（本小题满分解、（）1当t 20时,5 ](f 0- 240, 则有：240 20k 400,当严[€•-当t(fp,10 ]时,10,20圧- &2t)= t=_ €6(f+（f+讲课开始10分钟后，2t 26t20,40 时,t) ,240+ =t) 8t(2)由f(t)t 是单调递增的，且80400是单调递减的，且学生的注意力最集中,80 185可得t1可得185能持续240f(20) 240,10分钟；由（）f t即从讲课后5则学吿的港才最低保持虫遁的|寸间•为t 26.875 '8t 400分钟到26.875分钟这段时间内学生的注意力不低于_ \ -） -所以不能在所需状态下讲解完这道题目*（本小题满分13分）= -----+----- + ----- +•+ += -------- 1 + = ---------------(1)由a 十可得為a n•・• •扌= --------------a—=rM --------+ +2n(2) Sn a n185,,n N ,nai2nn26.875 5 21.875 25L L 分122・易知｛a n｝为等差数列.,n N+a-a—2旷(2n 2n 331)( 2n9S nan an 1 (2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 391 1 3n232n 32n 3,nN (91)S n3t4n3n 3t2n 3 4n24n恒成立，n N2n 3= _4n_ e * 令 g(n)+ n N 2n 3一 + — 2 _______________一 _~4n£ 9 ~g(Q ) +> e 2n *32n 32n p 2n 玄p+5,p N9g(p) pp 42n 3+ + ----------36,2n 3显然g （p ）在<_-Tg(P)min）递增4亠- 所以实数t 的取值范围是 54 (]•5 13*20.（本小题满分13分）uur uur解： （1）由已知条件有 |ST| |SF|，则点s 的轨迹是以HO , 线 + = —1）为焦点，y 1为准的抛物线，且］p 主所仪曲线G x 2=4y* L L （2）设过点T 且与抛物线相切的切线方程为y 1 k(xt)y 1 k(x t) 联立方程 2•x 4y4 kx 4kt・Q 直线与抛物线相切,v=o1 tkk AT ,k 是方程 TB ）的两个根,kTAk = 1TB(3)设(,),( Ax y B x + △ A = B 即 x x 2y 2y 0A A+ — = y 则切线TA 方程为 B同理，切线TB 方程为xx 2y 2y 0 一 B + = B 又TA,TB 都过点T （t, -1 ），则: A A x t 2 2y 0 B B直线AB的方程为tx 2y 2 0 ,则其过定点（0」）・L L 13分21.（本小题满分13分）解：⑴依题意得 g (x )=|nx+af+bx,则 g ，(x)J+2ax+b X由函数g(x)的图象在点(1,g ⑴)处的切线平行于x 轴得：g *(1) 1 2a2a 1(2)由(1)得 g'(x )= zW ―(2a 1)x 1 =(2ax_1)(x_1)x x+ocg(x)的定义域为(0,<.••当a 0 时,2ax 1・・•函数<0 在(0, 由 g'(x) o 得o x即函数g(x)在(0,1) 0 时，令 g'(x) *1或即函数 即函数)上恒成立,< 1,由g'(x)上单调递增，在 0 得x 1,(1,)单调递减;>_1 2ag(x)在(0, 1 ), (1,—> 2a < (<r,1)1 2a '\ a 时，丽得吹:1或2)上单调递增，在> < <• 由 g f (x) 0 0 x1 2a,由g'(x) 2a 0得x1,>_ 即函数g(x)在(0, 综上得：当a 当a 增, 1 2a2a 1 2a1-()1)上单调递增, >一单调谨减;v52aa时，由2(x) 0得2 -Ho 12a 或 0 x1, 由g '(X ) o 得1 1x2a 单调递减； ) ---- —6 22a 分1a 时，在(0,) 上恒有g'(x) 0, ——2+x 0时，忌数g(x)在(0,1)调族，在(1, 丁章调递减; + _ = _ _ _ 1 、、、，、、.一 时，函数g(x)在(0,4)单调递增，(1,2a )单调递减；在 >^1 a 在21时，函数9仪)在(0,)上单调递2a时1 g 斤1 ）上单 2 2分( 3 )（2）4时，函x3xInx 2xx2 (-----d 看111令=>i+ —Kl,贝【J〕“ + ―-------------- x 1 ,n N J ln(1 )» n 1 1+— + +-1 1ln(1 ) ln(1 )+_ + — + —1 21 1 1 吧+陰.)611 =2In 1 nn+— +1ln(1 )・+ + +—31…(1 )]2n n—— i1*1 1 1 1ln(1 )+ ------- + +1 1。