2 2
y 解 令 F ( x , y ) = ln x + y − arctan , x
2 2
x+ y y− x , Fy ( x , y ) = 2 , 则 Fx ( x , y ) = 2 2 2 x +y x +y x+ y dy Fx . =− =− y− x dx Fy
2. F ( x , y , z ) = 0
(1)
∂(F , G ) ∂(F , G ) dy ∂ ( x , z ) dz ∂ ( y, x ) , , =− =− ∂ ( F , G ) dx ∂(F , G ) dx ∂ ( y, z ) ∂ ( y, z )
x2 + y2 + z2 = 6 dy dz 例6：已知 ，求 , . dx dx 2x + 3y + z = 0
把 x 看成 z, y 的函数对 y 求偏导数得
∂x ∂x 0 = f u ⋅ ( + 1) + f v ⋅ ( xz + yz ), ∂y ∂y
整理得
∂x f u + xzf v =− , f u + yzf v ∂y
把 y 看成 x, z 的函数对z 求偏导数得
∂y ∂y 1 = f u ⋅ ( + 1) + f v ⋅ ( xy + xz ), ∂z ∂z
−u − y ∂u − v x xu + yv ∂v = = , =− 2 2 x −y ∂x ∂x x +y y x x −u yu − xv y −v , = 2 2 x −y x +y y x
求导， 将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu , = 2 2 ∂y x + y
dy Fx =− . dx Fy
隐函数的求导公式
例 １ 验证方程 x 2 + y 2 − 1 = 0 在点(0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、 域内能唯一确定一个单值可导、 且 x = 0 时 y = 1 的隐函数 y = f ( x )，并求这函数的一阶和二阶导 的值. 数在 x = 0的值
整理得
∂y 1 − f u − xyfv . = f u + xzf v ∂z
∂z ∂z 例5：设Φ( x - az , y - bz ) = 0, 求证a + b = 1. ∂x ∂y
二、方程组的情形1 方程组的情形
隐函数存在定理3 : 设三元函数F ( x , y , z ), G ( x , y , z )是区域 Ω内的C (1) 类函数，点( x0 , y0 , z0 ) ∈ Ω且满足 : 类函数， F ( x0 , y0 , z0 ) = 0, G ( x0 , y0 , z0 ) = 0, ∂(F , G ) J= ∂ ( y, z )
x y 记 F ( x , y , z ) = − ϕ ( ), z z
∂z ∂z 于是 x + y = z. ∂y ∂x
练习题
一、填空题: 填空题:
y 1 、设 ln x 2 + y 2 = arctan ,则 x dy = ___________________________. dx 2、 2、设 z x = y z ,则 ∂z = ___________________________, ∂x ∂z = ___________________________. ∂y 二、设 2 sin( x + 2 y − 3 z ) = x + 2 y − 3 z , ∂z ∂z 证明： + 证明： = 1. ∂x ∂y
( x0 , y 0 , z 0 )
=
Fy Gy
Fz Gz
( x0 , y0 , z0 )
≠0
F ( x, y, z ) = 0 则方程组 在点( x0 , y0 , z0 )的某邻域内唯一确 G( x, y, z ) = 0
y = y( x ) 定一对C 类的一元函数 ，它们满足条件y0 = y( x0 ) z = z( x ) z0 = z ( x0 ), 且有
函数的一阶和二阶导数为
x dy Fx =− , =− y dx Fy
dy = 0, dx x = 0
y − x − 2 d y y − xy ′ =− 2 = − 2 dx y y2
d2y = − 1. 2 dx x = 0
x y
1 =− 3, y
dy y 例 2 已知ln x + y = arctan ，求 . x dx
方程组的情形2 方程组的情形
F ( x , y , u, v ) = 0 G ( x , y , u, v ) = 0
隐函数存在定理 4 设 F ( x , y , u, v )、G ( x , y , u, v ) 在 点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内有对各个变量的连 续偏导数， 续偏导数，且 F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0 ,G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比 且偏导数所组成的函数行列式（ 式）
第五节 隐函数的求导公式
一.一个方程的情形 一个方程的情形 二.方程组的情形 方程组的情形 三.小结 小结
一、一个方程的情形
1. F ( x , y ) = 0
隐函数存在定理 1 设函数 F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数， 某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 ) = 0 ， Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0 ，则方程 F ( x , y ) = 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y = f ( x )，它满足条件 y0 = f ( x0 )，并 有
Fx ∂z =− ， Fz ∂x
Fy ∂z =− . ∂y Fz
∂ z 例 3 设 x + y + z − 4 z = 0 ，求 2 . ∂x
2
2
2
2
解 令 F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 4z, 则 Fx = 2x , Fz = 2 z − 4,
Fx x ∂z , =− = Fz 2 − z ∂x
解
∂x z, 把 x 看成 z, y 的函数对 y 求偏导数得 ， ∂y ∂y 把 y 看成 x, z 的函数对 z 求偏导数得 . ∂z 令 u = x + y + z , v = xy 的函数对 x 求偏导数得
∂z ∂z ∂z = f u ⋅ (1 + ) + f v ⋅ ( yz + xy ), ∂x ∂x ∂x ∂z f u + yzf v , = 整理得 ∂x 1 − f u − xyf v
Fu Fv Gu Gv
Fu Fv , Gu Gv
Fu Fy 1 ∂(F ,G ) ∂v =− =− Gu G y J ∂ ( u, y ) ∂y
Fu Fv . Gu Gv
例5
设 xu − yv = 0， yu + xv = 1，
∂ u ∂ u ∂ v ∂v 求 ， ， 和 . ∂ x ∂ y ∂ x ∂y
x ∂z (2 − z ) + x ⋅ 2 (2 − z ) + x ∂ z 2− z ∂x = 2 = ∂x ( 2 − z )2 ( 2 − z )2
( 2 − z )2 + x 2 . = 3 (2 − z )
∂z ∂x ∂ y 例 4 设 z = f ( x + y + z , xyz )，求 ， ， . ∂x ∂ y ∂ z ∂z 思路： 思路：把 z 看成 x, y 的函数对 x 求偏导数得 ， ∂x
∂v xu + yv . =− 2 2 x +y ∂y
例：设 u= x y z ,其中 z = f (x, y)由方程
2 2 2
x3 + y3 + z3 -3xyz =0确定，求 ∂u 确定， ∂y
例、设 z + ln z − ∫ y
x
∂2z −t e dt = 0, 求 . ∂x ∂ y
2
三、小结
三 、 如 果 函 数 f ( x, y, z) 对 任 何 t 恒 满 足 关 系 式 f ( tx , ty , tz ) = t k f ( x , y , z ) , 则 称 函 数 f ( x , y , z ) 为 k 次 齐 次 函 数 ,试 证 : k 次 齐 次 函 数 满 足 方 程 ∂f ∂f ∂f x + y + z = kf ( x , y , z ) . ∂x ∂y ∂z ∂ 2z 3 3 . 四 、 设 z − 3 xyz = a , 求 ∂x∂y 五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: z = x 2 + y2 1、 设 2 , 求 2 2 x + 2 y + 3 z = 20 dy dz , . dx dx u = f ( ux , v + y ) ∂u ∂v , . 2、 设 ，求 2 ∂x ∂x v = g(u − x , v y ) （其中 f , g具有一阶连续偏导数）
思考题解答
1 则 Fx = ， z −x y (− y ) y 1 Fy = −ϕ ′( ) ⋅ , Fz = 2 − ϕ ′( ) ⋅ 2 , z z z z z y − zϕ ′ ( ) Fy ∂z ∂z Fx z z , =− = , =− = Fz x − yϕ ′( y ) Fz x − yϕ ′( y ) ∂y ∂x z z
隐函数存在定理 2 设函数F ( x , y , z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数，且F ( x0 , 的某一邻域内有连续的偏导数， y0 , z0 ) = 0 ， Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 ，则方程F ( x , y , z ) = 0 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x , y ) ，它满足条件 z0 = f ( x0 , y0 ) ， 并有