**9.
求函数
f
(
x,
y,
z)
=
(x
+
y)
1 z
在点
P
=
(
e
+
1
,
e
−
1
,
1
)
处的梯度．
2 22
解： ∇f
⎧
=
⎪1
**3. 设 z = sec2 (xy) ，求 d z ． ln(xy − 1)
[ln(xy − 1)]d[sec2 (xy)] − sec2 (xy) d[ln(xy −1)] 解： d z =
[ln(xy −1)]2
=
1
[ln(xy −1)2 sec2 (xy) tan(xy)( y d x + x d y) − sec2 (xy) ( y d x + x d y)]
x2 + y2
x2 + y2
f (x + ∆x, y + ∆y) ≈ f (x, y) + x∆x + y∆y ，
x2 + y2
∴ (2.98)2 + (4.03)2 ≈ 32 + 42 + 3(− 0.02) + 4(0.03) = 5.012 ．
32 + 42
***5．已知圆扇形的中心角为α = 60� ，半径为 r = 20cm ，如果α 增加了1� ， r 减少了 1cm，
2 1 + xy + 1 x2 + y2
( ) = x2 + y2 → 0 （ (x, y) → (0,0) ） 2 1 + xy + 1
1 + xy −1
∴ lim
= 0．
(x, y)→(0,0) x2 + y2
x2 − y2
**5.
说明极限
(x,
lim
y )→(0,0 )
x2
+
y2
不存在．
解：我们证明 (x, y)沿不同的路径趋于 (0,0)时，极限不同．
4
（）
（3）设 f (x, y) = xy ，则 f x ' (0,0) = ______， f y '(0,0) = __________．
解：由于 f (x,0) = 0 ，∴ f x '(0,0) = 0 ，同理 f y '(0,0) = 0 ．
48
**2. 设 z = x − 2y + ln x2 + y2 + 3exy ， 求 zx , zy ．
解：（1） lim
= lim
，
∆x→0
∆x
∆x→0
∆x
因为 f x′(0,0) 存在，所以
∆x ⋅ϕ(∆x,0)
−∆x ⋅ϕ(∆x,0)
lim
= lim
∆x→+0
∆x
∆x→−0
∆x
即 ϕ(0,0) = −ϕ (0,0) ， 故 ϕ(0,0) = 0 ．
49
（2）由于ϕ ( x, y)在点 (0,0) 连续，且ϕ (0,0) = 0 ，所以 ∆y → 0 时，ϕ(0, ∆y) 是无穷小量，
量．
解： df (x, y, z) = d(xchz) − d(yshx)
= chzdx + xshzdz − shxdy − ychxdx
= (chz − ychx)dx − shxdy + xshzdz
∴
df
(x,
y,
z)
(0,1,ln 2)
=
1 4
dx
，
∇f
(x,
y,
z)
(0,1,ln 2)
=
⎧1
⎨ ⎩
4
,0,0⎬⎫ ． ⎭
**2.求函数 z = arctan x + y 的全微分： 1 − xy
解： dz = d arctan x + y = d (arctan x + arctan y) 1− xy
dx dy
= d (arctan x) + d (arctan y) =
+
1+ x2 1+ y2
第 11 章（之 1）（总第 59 次）
教材内容：§11.1 多元函数 1．解下列各题：
**（1）. 函数 f ( x, y) = ln( x 2 + y 2 − 1) 连续区域是 _______ ．
答： x 2 + y 2 > 1
⎧ xy
**（2）.
函数
f
(x, y)
=
⎪ ⎨
x2 + y2
⎩⎪ 0
试用全微分计算面积改变量的近似值．
解： S = 1 r 2 πα ， 2 180
dS = π (2(αdr + r 2dα )) ， 360
∴ ∆S ≈ dS = π ( 2 × 20 × 60 × (−1) + (20)2 ×1) = −17.4533(cm2 ) ．
360
360
� ���
***6. 计算函数 f (x, y, z) = ln(x + 2 y + 3z) 在点 P = (1,2,0)处沿给定方向 l = 2i + j − k
⎩⎨x + y ≠ 0
y)
≥
0
⇔
⎧x ⎩⎨x
≥y ≠ −y
．
46
***3.
求出满足
f
⎛ ⎜
x
+
y,
y
⎞ ⎟
=
x2
−
y2 的函数
f (x, y) .
⎝
x⎠
解：令
⎪⎧s ⎪⎩⎨t
= =
x y x
+
y
，
∴
⎪⎧x ⎨
⎪y
= =
1
s
+t st
⎩ 1+t
∴
f
(s,t) =
s2 − s2t 2
(1 + t)2
=
并利用上式计算 (2.98)2 + (4.03)2 的近似值． 解：由于 f (x + ∆x, y + ∆y) ≈ f (x, y) + df (x, y)，
设 f (x, y) = x2 + y2 ， x = 3, y = 4, ∆x = −0.02, ∆y = 0.03，
于是 df (x, y) = xdx + ydy = x∆x + y∆y ，
f (x, y) = y sin 2x 并不总有定义的， x 轴与 y 轴上的点处函数 f (x, y) 就没有定义． xy + 1 −1
47
***7. 试讨论函数 z = arctan x + y 的连续性． 1− xy
解：由于 arctan x + y 是初等函数，所以除 xy = 1以外的点都连续，但在 xy = 1上的点处 1− xy
与
g� 同向时，方向导数取最大值
∂z
=
2
．
∂l 2
**8. 对函数 f (x, y, z) = e xyz 求出 ∇f (x, y, z) 以及 ∇f (1,2,3) .
{ } 解： ∇f = yze xyz , xze xyz , xye xyz ， ∇f (1,2,3) = e6 {6,3,2}．
不连续．
**8.
试求函数
f
(x, y)
=
xy
的间断点．
sin2 πx + sin2 πy
解：显然当 (x, y) = (m,n) m,n ∈ Z 时， f ( x, y) 没定义，故不连续．
又
f
(x,
y)
=
sin 2
xy πx + sin2
πy
是初等函数．
所以除点 (m,n) （其中 m,n ∈ Z ）以外处处连续．
解： zx
= 1+
x2
x +
y2
+ 3ye xy ，
zy
=
−2 +
x2
y +
y2
+ 3xe xy ．
**3. 求函数 z = arctan y 对各自变量的偏导数. x
y
x
解： zx
=− x2+y2
, zy
=
x2
+
y2
．
⎧x 2 ln( x 2 + y 2 ) **4. 设 f (x, y) = ⎨
（C） f x′(0,0) 存在，但 f y′(0,0) 不存在； （D） f x′(0,0) 不存在，但 f y′(0,0) 存在．
答：（D）．
x
∂z
（2） 设 z = x + ( y − 2) arcsin ，那么
=
y
∂y (!, 2 )
(A) 0 ； 答：(D)．
(B) 1；
π
(C) ；
2
π
(D) ．
的方向导数 ∂f� ． ∂l P
1
2
3
解： f x = x + 2 y + 3z ,
fy
=
, x + 2y + 3z
fz = x + 2y + 3z ，
� el
=
⎧ ⎨
⎩
2, 6
1 ,− 6
1⎫ ⎬，
6⎭
∴
∂f� ∂l P
� = ∇f ⋅ el
=
⎧1