i 1
数学分析电子教案

[ P ( i , i , i ) cos i Q ( i , i , i ) cos i
i 1
n
R( i , i , i ) cos i ]Si
[ P ( i , i , i )( Si ) yz Q ( i , i , i )( Si ) xz
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右
:
y R z x ,
2 2 2
D zx : x z R ;
2 2 2
2
左
:
y R z x ,
2 2
D zx : x z
2
2
R
=
2
因此,


2

2
( y z ) dydz
2

2
右
2
+
2
左

D zx
R z x
z dzdx

xoy 面 上 的 投 影 区 域 为 D xy , 函 数 z z ( x , y ) 在 D xy 上 具
有一阶连续偏导数, 被 积 函 数 R( x, y, z)在 Σ 上连续.
x o
Dxy
y
(s) xy
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R( x , y, z )dxdy lim R( i , i , i )( Si ) xy 0
前
+

后
=
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D yz

( x y ) dydz
R
2
=
y
2
z
2
y dydz

前
+

后
=
R y z y d yd z
2 2 2

D yz

2
2

y z R
2 2
R y z dydz 8 d
流量

A
0 n
A v cos 0 Av n v A
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(2) 设 稳 定 流 动 的 不 可 压 缩 流 体 (假 定 密 度 为 1) 的速度场由
v ( x , y , z ) P ( x , y , z )i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z )k
2 2
z2
1 x y ,
2 2
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xyzdxdy
xy

2

2
xyzdxdy
2


1
xyzdxdy
2 2


D xy
1 x y dxdy 1 x y dxdy
2 2

D xy
xy ( 1 x y ) dxdy
2 xy
D xy


D zx
R z x
z dzdx

2
2

x z R
2 2
R
2
z x dzdx
2 2
4 3
R
3
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对积分 ( z 3 x )dxdy , 分别用 上 和 下 记上 半球面和下半球面的外侧, 则有

上
:
:
z
x

R x y ,
性质:
1.
1 2

Pdydz Qdzdx Rdxdy

1
Pdydz Qdzdx Rdxdy

2
Pdydz Qdzdx Rdxdy
2.


P ( x , y , z ) dydz P ( x , y , z ) dydz

Q ( x , y , z ) dzdx
( i , i , i ) ,
则该点流速为 v i . 法向量为 n i .


o
y
x
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v i v ( i , i , i ) P ( i , i , i ) i Q ( i , i , i ) j R ( i , i , i ) k ,
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记作 R( x , y , z )dxdy ,即

R( x , y, z )dxdy lim R( i , i , i )( Si ) xy 0
i 1
n
积分曲面
被积函数
类似可定义
P ( x , y, z )dydz lim P ( i , i , i )( Si ) yz 0
2 2 2
D xy : x y
2
2
2
R
2
2
;
2
下
R
2
x
2
y ,
D xy :
x
下
y
R
2
因此,


D xy

R
2
( z 3 x )dxdy = 上
2
x
y
2
3 x dxdy


4 3
+
R

2
=
2
x
y
2
3 x dxdy
0
i 1
n
即
R( x , y, z )dxdy R[ x , y, z ( x , y)]dxdy
D xy
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若 取下侧 , cos 0 , ( S i ) xy ( ) xy ,
R( x , y, z )dxdy R[ x , y, z ( x , y)]dxdy
i 1
n
取上侧 , cos 0 , 又 i z ( i , i )
( S i ) xy ( ) xy ,
lim R( i , i , i )( Si ) xy
0
i 1
n
lim R( i , i , z ( i , i ))( i ) xy
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§2 第二型曲面积分
一、基本概念
二、概念的引入
三、概念及性质 四、计算法 五、两类曲面积分之间的联系
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一、基本概念
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的)
曲面分上侧和下侧
曲面分内侧和外侧
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曲面的分类: 1.双侧曲面;
典 型 双 侧 曲 面
2.单侧曲面.
n
给 出 ,Σ 是 速 度 场 中 的 一 片 有 向 曲 面 , 函 数
P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z )
都在Σ 上连续, 求在单位 时间内流向Σ 指定侧的流 体的质量 .
x

z
o
y
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1. 分割 把 曲 面 Σ 分 成n 小 块 s i ( s i 同 时 也 代 表 第 i 小 块 曲 面 的 面 积 ), vi 在 si 上 任 取 一 点 z S ni i ( i , i , i )
xoy 面 上 的 投 影 区 域 为 D xy , 函 数 z z ( x , y ) 在 D xy
上具有一阶连续偏导数, R( x, y, z) 在Σ 上连续.
该点处曲面Σ 的单位法向量
0 n i cos i i cos i j cos i k ,
通 过 si 流 向 指 定 侧 的 流 量 的 近 似 值 为
vi ni Si
( i 1, 2, , n).
n
2. 求和 通 过 Σ 流 向 指 定 侧 的 流 量 vi ni Si
( S ) xy
其中 ( ) xy 表示投影区域的面积
.
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二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量.
(1) 流 速 场 为 常 向 量 v ,有 向 平 面 区 域 A , 求 单 位 时 间 流 过 A 的 流 体 的 质 量 ( 假 定 密 度 为 1).
v
Dzx
注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
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例 1 计算 xyzdxdy

z

2
其中Σ 是球面
x y z 1 外侧
2 2 2
y
在 x 0, y 0 的部分.
x
1

解
把 分成 1 和 2 两部分
1 : 2 : z1 1 x y ;
2

取外侧. y ) dydz , 分别用 前 和
后 记前半球面和后半球面的外侧, 则有
前
:
x
R
2
y
2
2
z ,
2
D yz : y
2
z
2
2
R
2
2
后 :
x R y z ,
2 2
D yz : y z
R .
2
因此,


( x y ) dydz
=
组合形式:
P ( x , y , z )dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy

dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy