第八章 虚位移原理与能量法
分析力学两个基本原理之一 分析静力学基础，也是分析动力学基础。
1. 对可变系，平衡条件非充分
几何静力学的局限 2. 对物系，求解未知约束力多 虚位移原理的优越: 从运动中考察系统平衡，建立理想 约束模型，引入虚位移，由主动力在虚位移上的虚功关 系，给出平衡条件；与达朗贝尔原理结合，构成分析动 力学基础。
用几何法求虚位移关系: 定常约束下与速度关系相同。
单自由度系统，给定某点虚位移后，其它各点虚
位移由约束确定。
2.图示机构中，杆长O1A=O3C=O3D=l，套筒C可 在O2C杆上滑动，图示位臵O1A铅直，杆CD、AB水平， O2B=BC。求力F与力偶矩M的平衡关系。
l
C
l
F
D
O3
A
B
M
l
60 o
O1
O1
O2
C
k=3× 5-(2× 6+2)=1
2. 滚动圆轮，滚动圆球，行驶自行车各有几个
自由度? 2.广义坐标
—完全确定系统位臵的最少参数，可以是长度，角度，
面积等。个数为。
完整约束系统
k 广义坐标相互独立；
非完整约束系统 k 广义坐标相互不独立。
x
l
x
v
( x, y )y源自l0yF
A

yA 7a cos
a
xC a sin
xB a sin

2a
由 Σ δWF Fδy A FQ δxB FQ δxC

(-7 Fa cos θ 2 FQ a sin θ ) δθ 0
故
7 FQ F ctg 2
FQ
B
C
(3)完整与非完整约束 约束方程不包含质点速度，或包含速度但是可 积分的约束，称为完整约束。 包含质点速度且不可积分成完整约束的，称为 非完整约束。
如圆轮纯滚,约束方程为:
vC R
积分后 xC R 为完整约束。
x
l
C
R
vC
x
v
( x, y )
y
y
2 2
( x, y )
x y l
(c)
将式(a)，(b)代入式(c)得
tan 3tan
①题型特点:已知主动力，求该系统平衡位臵。 ②当主动力与坐标轴平行时，用解析法求虚 位移关系较方便，应注意: (a) y与 y 正方向一致;
(b) 定常约束下，变分运算与微分运算相同。
③系统自由度为2，约束允许图示对称虚位移。
F
rA Cv A cos 亦可 rB Cv B sin( )
y
rA
A
rA
l

r

B
O
若给相反方向虚位移，结果如何?
rB
rB x
2. 解析法: k＝1 选 为广义坐标
y
A
xA r cos
y A r sin
O
r


l
B
x
xB r cos l 2 r 2 sin 2
k
qs ( s 1, 2,3...,k ) — 一组广义虚位移
与实位移不同，虚位移是约束允许的，与主动力和
运动初始条件无关的，不需经历时间的假想的微小位移。
(具有独立性，选择性)
定常约束下，实位移一定是虚位移中的一个。
F
2
1
F
F
F
(多种形式) 3 .虚位移计算
计算各点的虚位移，确定各虚位移的关系。
δrA cos θ δrB cos2
δrB cos 90 2 δrD cos
C

rD

D
rD rA tg2
若设 rA 反向， rD方向如何?
rB
B
1.虚功 —作用力在虚位移上所作的功
W F r
虚位移具有假想性、任意性，与受力无关。
求变分:
yB 0
δxA r sin δ
δxB r sin δ
δy A r cos δ
r 2 sin cos l r sin
2 2 2
δ
可见: 几何法直观，解析法易求。
2. 求图示机构中，A,D两点虚位移关系。
A
rA
利用广义坐标描述质系运动，几何约束自然满足。 3.质点系的位形描述(n个质点):
(1)直角坐标形式:
3n 个直角坐标， i , yi ,zi i 1, 2....n 。 x (2)广义坐标形式:
个最少参数，q1 ,q2 ,...q 。
维位形空间: 一个点与一个位形对应。
8-2 虚位移与虚位移原理
常用几何法与解析法。
1. 确定图示机构中A，B两点虚位移关系。 1)几何法: 用求实位移的方法，而实位移与速度成正比，故可 用类似速度分析的方法确定各点的虚位移的关系。
Cv
rA cos ψ 90 rB cos
rA sin ψ rB cos
3 rA rD . 8 r A l
由
rr
C
rC
re
O3
F
D
rD
WF 0 ，有
A
rA

B
rB
M FrD 0

M
3 M 为所求。 F 8 l
O1
(b)
60 o
O2
若给出相反方向虚位移，结果相同。 套筒C虚位移 rC re rr 应用 va ve vr导出。

y1
x
y2
l
l
给对称虚位移:
l y1 cos , 2
G
y
l

l
G G
G
l y2 l cos cos 2 sin 又 l cos l cos 常数，故 sin
(a) (b)
由
W
F
0 ，得
2G( y1 y2 ) 0
第八章 虚位移原理与能量法
O2
给虚位移如图(b)。 由运动关系:
rr
C
rC
re
O3
F
D
rD
rC rD
且
A
rA

B
rB
rC re rr
1 re rC 2
M
O1
(b)
60 o
O2
又 而
rA rB cos30
1 rB re 2
W F r 0
F i i
F δx F δy F δz 0
xi i yi i zi i

虚功方程
① 适用于任意约束质点系，包括刚体与变形体， 但对变形体需计入内力虚功。 ② 平衡的充要条件。(几何静力学对变形体非充分)
③针对静止平衡系统。
v

O
A
8-2 虚位移与虚位移原理
理想约束力不出现,平衡条件必要且充分。
8-1 约束与位形
8-1-1 约束及其分类 8-1-2 质点系的位形
1. 约束与约束方程
约束: 事先限制质点或质点系位臵和运动的条件。
约束方程: 约束条件的数学表达式。
x
l
x
v
l0
( x, y )
y
y
( x, y )
x2 y 2 l 2
x 2 y 2 l0 vt
2
x 2 y 2 l0 vt
2
双面、 定常、 完整
非定常、 单面、 非完整
1.自由度k —确定系统位臵的独立参数数目。
设n个质点，受m个完整约束和l个非完整约束。
k =3n-m-l 空间刚体系 平面机构 k =6n-s, s =m+l k =3n-s 1. k=?
A B
k=2n-s =2× 3-5=1 k=3n-s=3× 4-(2× 5+1)=1
8-2-1 虚位移 8-2-2 虚功与理想约束 8-2-3 虚位移原理
1. 实位移 —位臵函数的微分。 质点在微小时间间隔内实际发生的位移。 (与受力、控制方程与初始条件相关) n个质点的完整约束系统，k自由度，选广义坐标
q1 , q2 ,... qk , ri ri (q1 , q2 ... qk , t )
2
2. 约束分类: 按约束方程不同分类。
(1)定常与非定常(稳定与非稳定) 定常: 约束方程不显含时间t f r1 , r2 ,... rn 0
非定常: 约束方程显含时间t f r1 , r2 ,... rn ,t 0 (2)双面与单面约束 双面: 约束方程为等式。
单面: 约束方程为不等式。
y
( x, y )
x2 y 2 l 2
定常 双面 完整
x 2 y 2 l0 vt
非定常 单面
2
非完整
k 1广义坐标:
l k 1 广义坐标: 、
例如双摆:
O
x
1
l1
k 2
广义坐标: 1， 2
y
A
2
l2
B
可选
xA，xB ;y A，yB ;xA，y A ;xB，yB ; 吗?
rA
A
rA rB cos 30 3a
3a l l WF 0
F1

O
30o
rA
rB
B
M
60o
rD