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等差数列单元测试题(一)百度文库

一、等差数列选择题1.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为( )(注:一丈=十尺,一尺=十寸) A .一丈七尺五寸 B .一丈八尺五寸 C .二丈一尺五寸D .二丈二尺五寸2.等差数列{}n a 中,已知14739a a a ++=,则4a =( ) A .13 B .14 C .15 D .16 3.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ) A .8B .10C .12D .144.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,若454a a +=,则8S =( ) A .16 B .-16 C .4 D .-4 5.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=4,则必有( )A .a 5=4B .a 6=4C .a 5=2D .a 6=26.数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =,则通项公式是( ) A .32n -B .322n - C .3122n - D .3122n + 7.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,315S =,则8a =( ) A .11B .12C .23D .248.已知等差数列{}n a 中,5470,0a a a >+<,则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为( ) A .4SB .5SC . 6SD . 7S9.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则3810b b b =( )A .1B .8C .4D .210.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足:21<<m m m S S S ++,若0n S >,则n 的最大值为( ) A .2mB .21m +C .22m +D .23m +11.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,戊所得为( ) A .54钱 B .43钱 C .23钱 D .53钱12.设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+,则63a b 的值为( ) A .511B .38C .1D .213.在等差数列{}n a 中,若n S 为其前n 项和,65a =,则11S 的值是( ) A .60B .11C .50D .5514.冬春季节是流感多发期,某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ,已知11a =,22a=,且满足()211+-=+-nn n a a (n *∈N ),则该医院30天入院治疗流感的共有( )人A .225B .255C .365D .46515.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =.定义数列{}n b 如下:()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值,则13519 b b b b ++++=( )A .25B .50C .75D .10016.在等差数列{}n a 的中,若131,5a a ==,则5a 等于( ) A .25B .11C .10D .917.设等差数列{}n a 的前n 和为n S ,若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈,则必有( )A .0m S <且10m S +>B .0m S >且10m S +>C .0m S <且10m S +<D .0m S >且10m S +<18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()11213n n n n S S a n +++=+-+,现有如下说法:①541a a =;②222121n n a a n ++=-;③401220S =. 则正确的个数为( ) A .0B .1C .2D .319.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若7916+=a a ,则15S =( ) A .60B .120C .160D .24020.已知等差数列{}n a 中,前n 项和215n S n n =-,则使n S 有最小值的n 是( )A .7B .8C .7或8D .9二、多选题21.设数列{}n a 满足1102a <<,()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立,则下列说法正确的是( ) A .2112a << B .{}n a 是递增数列C .2020312a <<D .2020314a << 22.若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩,135a =,则数列{}n a 中的项的值可能为( ) A .15B .25C .45D .6523.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且35a =,73a =,则( ) A .12d =B .12d =-C .918S =D .936S =24.无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若a 1>0,d <0,则下列结论正确的是( ) A .数列{}n a 单调递减 B .数列{}n a 有最大值 C .数列{}n S 单调递减D .数列{}n S 有最大值25.已知等差数列{}n a 的公差不为0,其前n 项和为n S ,且12a 、8S 、9S 成等差数列,则下列四个选项中正确的有( ) A .59823a a S +=B .27S S =C .5S 最小D .50a =26.已知数列{}n a 为等差数列,则下列说法正确的是( ) A .1n n a a d +=+(d 为常数)B .数列{}n a -是等差数列C .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列D .1n a +是n a 与2n a +的等差中项27.定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =,前n 项和为n S ,则( )A .数列{}n a 为等差数列B .数列{}n a 为等比数列C .2020202320202S = D .2S ,4S ,6S 成等差数列28.数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+,则下列说法正确的是( ) A .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B .数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n =C .数列{}n a 的通项公式为21n a n =-D .数列{}n a 为递减数列29.下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题,其中的真命题为( ).A .数列{}n a 是递增数列B .数列{}n na 是递增数列C .数列{}na n是递增数列 D .数列{}3n a nd +是递增数列30.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若90a <,100a >,则下列结论正确的是( ) A .109S S >B .170S <C .1819S S >D .190S >【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,已知条件为985.5S =,14731.5a a a ++=,由等差数列性质即得5a ,4a ,由此可解得d ,再由等差数列性质求得后5项和. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和, 则()19959985.52a a S a +===(尺),所以59.5a =(尺),由题知1474331.5a a a a ++==(尺),所以410.5a =(尺),所以公差541d a a =-=-, 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=(尺). 故选:D . 2.A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=,代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=, 所以1474339a a a a ++==,解得:413a =, 故选:A 3.C 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列,S 3=12,即1232312a a a a ++==,解得24a =. 由12a =,所以数列的公差21422d a a =-=-=, 所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=, 所以62612a =⨯=. 故选:C 4.A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.5.C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7=2a 5=4,所以a 5=2. 故选:C 6.C 【分析】根据题中条件,求出等差数列的公差,进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列,11a =,34a =, 则公差为31322a a d -==, 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选:C. 7.C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ,即可求得结果. 【详解】32153S a ==,25a ∴=, 12a =,∴公差213d a a =-=, 81727323a a d ∴=+=+⨯=,故选:C. 8.B【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围,由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩,所以015n a n >⇒≤≤, 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 9.B 【分析】根据等差数列的性质,由题中条件,求出72a =,再由等比数列的性质,即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=,所以27720a a -=,解得72a =或70a =(舍);又数列{}n b 是等比数列,且772b a ==,所以33810371178b b b b b b b ===.故选:B. 10.C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系,得到10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++,再根据选项,代入前n 项和公式,计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得,10m a +>,2<0m a +,12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+,()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+, ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛:本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩,判断数列的项的正负,第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负. 11.C 【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -,a d -,a ,a d +,2a d +,然后再由五人钱之和为5,甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解. 【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -,a d -,a ,a d +,2a d +,则根据题意有(2)()()(2)5(2)()()(2)a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎨-+-=++++⎩,解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩,所以戊所得为223a d +=, 故选:C . 12.C 【分析】令22n S n λ=,()37n T n n λ=+,求出n a ,n b ,进而求出6a ,3b ,则63a b 可得. 【详解】令22n S n λ=,()37n T n n λ=+,可得当2n ≥时,()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-,()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+,当1n =,()11112,3710a S b T λλλ====+=,符合()221n a n λ=-,()232n b n λ=+故622a λ=,322b λ=, 故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时,11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中,若不符合要单独列出,一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解. 13.D 【分析】根据题中条件,由等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中,若n S 为其前n 项和,65a =,所以()1111161111552a a S a +===.故选:D. 14.B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式,进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解:当n 为奇数时,2n n a a +=, 当n 为偶数时,22n n a a +-=, 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==,2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项,2为公差的等差数列,所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=, 故选:B 15.B 【分析】先求得21n a n =-,根据n a m ≥,求得12m n +≥,进而得到21212k k b --=,结合等差数列的求和公式,即可求解. 【详解】由题意,等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =,可得21n a n =-,因为n a m ≥,即21n m -≥,解得12m n +≥, 当21m k =-,(*k N ∈)时,1mm b k m+=,即()()11212m m m mk m b m m +===++, 即21212k k b --=, 从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选:B. 16.D 【分析】利用等差数列的性质直接求解. 【详解】 因为131,5a a ==,315529a a a a =+∴=,故选:D . 17.D【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意,1110,0m m a a a a ++>+<, 所以1()02m m m a a S +=>,111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选:D. 18.D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-,再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-,22165k k a a k -=+-,然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+,所以()11132n n n a a n ++=-+-,所以()212621k k a a k +=-+-,()221652k k a a k -=+-, 联立得:()212133k k a a +-+=, 所以()232134k k a a +++=, 故2321k k a a +-=,从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=,22162k k a a k ++=-,222161k k a a k ++=++,则222121k k a a k ++=-,故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++,()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++,()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220,故①②③正确. 故选:D 19.B 【分析】利用等差数列的性质,由7916+=a a ,得到88a =,然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ,所以由等差数列的性质得978216a a a +==, 解得88a =,所以()11515815151581202a a S a +===⨯=. 故选:B 20.C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数,结合二次函数的图象与性质可以求解.【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭,∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点.又抛物线开口向上,以152x =为对称轴,且1515|7822-=-|, 所以当7,8n =时,n S 有最小值. 故选:C二、多选题21.ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-,再利用导数判断出函数的单调性,利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-,1102a << 设()()ln 2f x x x =+-, 则()11122xf x x x-'=-=--, 所以当01x <<时,0f x,即()f x 在0,1上为单调递增函数, 所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数,即()()102f f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭,即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=,所以()112f x << , 即11(2)2n a n <<≥, 所以2112a <<,2020112a <<,故A 正确;C 不正确; 由()f x 在0,1上为单调递增函数,112n a <<,所以{}n a 是递增数列,故B 正确; 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>,故D 正确 故选:ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用,属于难题. 22.ABC 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =,依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ,能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列,得项的所有可能值,判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩,135a =,依次取1,2,3,4,...n =代入计算得,211215a a =-=,32225a a ==,43425a a ==,5413215a a a =-==,因此继续下去会循环,数列{}n a 是周期为4的周期数列,所有可能取值为:1234,,,5555. 故选:ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列,属于基础题. 23.BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前n 项和公式,求出9S ,可判断C ,D ,由等差数列基本量运算,可得公差,判断出A ,B . 【详解】因为1937538a a a a +=+=+=,所以()1999983622a a S +⨯===. 因为35a =,73a =,所以公差731732a a d -==--. 故选:BD 24.ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ,再由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<,所以数列{}n a 单调递减,A 正确; 由数列{}n a 单调递减,可知数列{}n a 有最大值a 1,故B 正确;由a 1>0,d <0,可知等差数列数列{}n a 先正后负,所以数列{}n S 先增再减,有最大值,C 不正确,D 正确. 故选:ABD. 25.BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系,可得出n a 、n S 的表达式,进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,则8118788282S a d a d ⨯=+=+,9119899362S a d a d ⨯=+=+, 因为12a 、8S 、9S 成等差数列,则81922S a S =+,即11116562936a d a a d +=++,解得14a d =-,()()115n a a n d n d ∴=+-=-,()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项,59233412a a d d +=⨯=,()2888942d S d -⨯==-,A 选项错误; 对于B 选项,()2229272d Sd -⨯==-,()2779772d Sd -⨯==-,B 选项正确;对于C 选项,()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >,则4S 或5S 最小;若0d <,则4S 或5S 最大.C 选项错误; 对于D 选项,50a =,D 选项正确.故选:BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量,通过建立方程(组)获得解,另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时,一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解. 26.ABD 【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项,根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项. 【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,即1n n a a d +=+,所以A 正确;B. 因为数列{}n a 是等差数列,所以1n n a a d +-=,那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-,所以数列{}n a -是等差数列,故B 正确;C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==,不是常数,所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列,故C 不正确;D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+,所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列,属于基础题型. 27.AC 【分析】 由题意可知112222n n nn a a a H n-+++==,即112222n n n a a a n -+++=⋅,则2n ≥时,()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅,可求解出1n a n =+,易知{}n a 是等差数列,则A 正确,然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ,判断C ,D 的正误. 【详解】 解:由112222n n nn a a a H n-+++==,得112222n n n a a a n -+++=⋅,①所以2n ≥时,()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅,②得2n ≥时,()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅,即2n ≥时,1n a n =+,当1n =时,由①知12a =,满足1n a n =+.所以数列{}n a 是首项为2,公差为1的等差数列,故A 正确,B 错, 所以()32n n n S +=,所以2020202320202S =,故C 正确.25S =,414S =,627S =,故D 错,故选:AC . 【点睛】本题考查数列的新定义问题,考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解,难度一般. 28.ABD 【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=,从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1,公差为2的等差数列,再依次判断选项即可.【详解】对选项A ,因为121nn n a a a +=+,11a =, 所以121112n n n n a a a a ++==+,即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1,公差为2的等差数列,故A 正确. 对选项B ,由A 知:112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==,故B 正确.对选项C ,因为121n n a =-,所以121n a n =-,故C 错误. 对选项D ,因为121n a n =-,所以数列{}n a 为递减数列,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和,同时考查了递推公式,属于中档题. 29.AD 【分析】根据等差数列的性质,对四个选项逐一判断,即可得正确选项. 【详解】0d >,10n n a a d +-=> ,所以{}n a 是递增数列,故①正确,()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦,当12d a n d -<时,数列{}n na 不是递增数列,故②不正确, 1n a a d d n n -=+,当10a d -<时,{}n a n 不是递增数列,故③不正确, 134n a nd nd a d +=+-,因为0d >,所以{}3n a nd +是递增数列,故④正确,故选:AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质,属于基础题. 30.ABD 【分析】先根据题意可知前9项的和最小,判断出A 正确;根据题意可知数列为递减数列,则190a >,又181919S S a =-,进而可知1516S S >,判断出C 不正确;利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722a a a S a <+⨯⨯===,()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>,故BD 正确. 【详解】根据题意可知数列为递增数列,90a <,100a >,∴前9项的和最小,故A 正确;()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<,故B 正确; ()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>,故D 正确; 190a >, 181919S S a ∴=-, 1819S S ∴<,故C 不正确.故选:ABD . 【点睛】本题考查等差数列的综合应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题.。

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