第五章
数列
考纲解读 1.以等差、等比数列为基础的混合 问题； 2.以等差、等比数列为模型的实际应用 问题；3.数列与函数、不等式的综合问题．
第五章
考点一
第五节 数列的综合应用
典例剖析·突破考点 真题感悟·体验考场
考点二
考点三
课时规范练
等差、等比数列的综合问题|方法突破 [例 1] 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 b2＝3， b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式； (2)设 cn＝an＋bn，求数列{cn}的前 n 项和．
考点三
课时规范练
[方法提升 ] 数列与函数的综合问题的常见类型及解题策略 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的 性质、图象研究数列问题． (2)已知数列条件，解决函数问题，一般要充分利用数列的范 围、公式、求和方法对式子化简变形．
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(2)若
an<an＋
1，求数列????
1 ?? anan＋1??
的前
n
项和
Tn.
解析
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(1)由题意得?????qq2??23＋＋d3?d＝?＝8，36，
解得?????dq＝＝22
或???d＝－23， ??q＝6，
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[跟踪训练]
(2018·贵州七校联考)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列， Sn 为数列{an}的前 n 项和，a1＝b1＝1，且 b3S3＝36，b2S2＝ 8(n∈N*)．
(1)求 an 和 bn；
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Байду номын сангаас
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(1)证明：由已知， bn＝2an>0. 当 n≥1 时，bbn＋n 1＝2an＋1－an＝2d. 所以数列{bn}是首项为 2a1，公比为 2d 的等比数列． (2)函数 f(x)＝2x 在(a2，b2)处的切线方程为 y－2a2＝(2a2ln 2)(x －a2)，它在 x 轴上的截距为 a2－ln12.
4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1.
因此 Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝4n＋31－4－n·4n＋1＝
?1－3n?4n＋1－4
3
.
所以
Sn＝4－?1－93n?·4n＋
1
.
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(2)求数列{xn}的通项公式； (3)若 an＝x4n－4 009，数列 b1，b2－b1，b3－b2，…，bn－bn－1 是首项为 1，公比为13的等比数列，记 cn＝anbn，求数列{cn}的 前 n 项和 Sn.
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(3)注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想 方法求解． (4)遇到递推数列，利用递推数列的常见解法解决该类 问题．
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[跟踪训练]
设 f(x)＝a?xx＋2?，且 f(x)＝x 有唯一解，f(x1)＝1 0103，xn＋1＝ f(xn)(n∈N*)． (1)求实数 a 的值；
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(1)等比数列 {bn}的公比 q＝bb32＝93＝3，所以 b1＝bq2＝1，b4＝
b3q＝27.所以 bn＝3n－1(n＝1,2,3，…)．设等差数列 {an}的公
差为 d.因为 a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以 1＋13d＝27，即
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数列与函数的综合 |方法突破
[例 2] (2018·桂林模拟 )设等差数列 {an}的公差为 d，点(an， bn)在函数 f(x)＝2x 的图象上 (n∈N*)． (1)证明：数列 {bn}为等比数列； (2)若 a1＝1，函数 f(x)的图象在点 (a2，b2)处的切线在 x 轴上 的截距为 2－ln12，求数列 {anb2n}的前 n 项和 Sn.
d＝2.所以 an＝2n－1(n＝1,2,3，…)．
(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1，因此 cn＝an＋bn＝2n－1
＋3n－1.从而数列 {cn}的前 n 项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1
＋3＋…＋3n－1＝n?1＋22n－1?＋11－－33n＝n2＋3n－2 1.
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由题意，a2－ln12＝2－ln12，解得 a2＝2.
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所以 d＝a2－a1＝1，an＝n，bn＝2n，anb2n＝n·4n.
于是 Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n，
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[方法提升] 解决等差、等比数列的综合问题的方法 (1)设等差数列的基本量 a1 和 d，用等比数列建立关系，求出 a1 和 d， 进而得出等比数列． (2)设等比数列的基本量 a1 和 q，用等差数列建立关系，求出 a1 和 q， 进而得出等差数列． (3)同时设两个数列的基本量，利用方程思想得出基本量的关系.
∴???
??
an＝2n－1， bn＝2n－1，
?? 或?
an＝13?5－2n?，
??bn＝6n－1.
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(2)若 an<an＋1，由(1)知 an＝2n－1， ∴ana1n＋1＝?2n－1?1?2n＋1?＝12????2n1－1－2n1＋1????， ∴Tn＝12????1－13＋13－15＋…＋2n1－1－2n1＋1???? ＝2nn＋1.