《构造函数解决导数问题》专练一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ）．A ．RB ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．()1,-+∞2．设函数()f x 是定义在()0-∞，上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有22()()f x x f x x '+⋅>，则不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +⋅+-⋅->的解集为（ ）A ．(2023)-∞-，B ．()2-∞-，C ．(20)-，D ．(20220)-，3．设()f x 是定义在(,0)(0,)ππ-的奇函数，其导函数为()'f x ，当(0,)x π∈时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<，则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为（ ） A ．(,0)(0,)66ππ-⋃ B ．(,0)(,)66πππ-C ．(,)(,)66ππππ--⋃D ．()(0,)66πππ--，4．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()f x f x '>，(2)1008f =，则不等式21e ( 1) 1008e 0xf x ++->的解集为（ ）A ．(1,)-+∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞5．已知()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，且0x >时()()20xf x f x '+>，又()10f -=，则()0f x <的解集为（ ）A ．()(),11,-∞-+∞ B ．()()1,00,1-C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃6．设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +<，()02021f =，则不等式()22019x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0+∞，B ．()2019+∞，C ．()0-∞，D ．()()02019-∞+∞，，7．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数.若()()1f x f x '-<，且()01f =，则不等式()12x f x e +≥的解集为（ ）A ．(],0-∞B ．[)1,-+∞C ．[)0,+∞D ．(],1-∞-8．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的R x ∈，有()()2cos f x f x x +-=，且在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，则不等式()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭的解集是（ ）A ．,4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,6π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．设()'f x 是函数()f x 的导函数，若对任意实数x ，都有[]()()()0x f x f x f x '-+>，且(1)2020f e =，则不等式()20200x xf x e -≥的解集为（ ） A ．[1,)+∞B ．(,1]-∞C ．(0，2020]D ．(1，2020]10．奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-⋃，其导函数是()'f x .当0x π<<时，有()()'sin cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ） A ．ππ4（，） B ．ππππ44（，）（，）-⋃ C ．ππ0044-⋃（，）（，）D ．ππ0π44-⋃（，）（，）11．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数记为()f x '，当0x >时，()()f x f x x'<恒成立，若()20f =，则不等式()01f x x >-的解集为（ ） A ．()()2,01,2- B ．()()2,00,1-⋃ C ．()()1,2,2⋃-∞- D ．()()2,02,-+∞12．已知函数()3x f x e ax =+-，其中a R ∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有()21x f x ()()1212x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[3,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,3]-∞D ．(,2]-∞二．填空题13．定义在R 上的函数()f x 满足：()()22f x f x x -+=，且当0x ≤时，()2f x x '<，则不等式()()25510f x x x f +-+≥的解集为______．14．设(),()(()0)f x g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''-<，且(2)0f -=，则不等式()0()f xg x >的解集为____ 15．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()1xf x '<，且(1)1f =，则不等式(31)ln(31)1f x x ->-+的解集是________．16．设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()'fx ，若()()'1f x f x +>，()02020f =，则不等式()2019x x e f x e >+(其中e 为自然对数的底数)的解集为___三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知函数()()()2ln 10,0f x a x x a x =++≠>（1）求函数()f x 的单调区间；（2）对于任意[)1,x ∈+∞均有()20x f x a-≤恒成立，求a 的取值范围.18．已知函数()()ln af x x a R x=-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，2x 是方程()2f x =的两个不同实根，证明：1232x x e+>.19．设函数()2ln a f x x x=+，()323g x x x =--. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对于任意的12123x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，都有()()112x f x g x ≥成立，试求a 的取值范围.20．已知函数()()21ln 2f x x mx x m =-+∈R . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x 且12154x x -≤，求()()12f x f x -的最大值.21．已知函数()ln 2f x x kx =++. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()2x e g x x ax =-+，当1k =-且202e a <≤，求证：()()g xf x >.22．已知函数22()3ln (0)f x x ax a x a =+->． （1）若()f x 的极小值为22a ，求实数a 的值； （2）若2a =，求证：()(6)ln 8f x x x >--．《构造函数解决导数问题》专练解析1.【解析】令()()(24)g x f x x =-+，所以()()20g x f x ''=->，故()g x 在R 上单调递增，又(1)(1)20g f -=--=，所以当1x >-时，()0>g x ，即()24f x x >+， 所以()24f x x >+的解集为：()1,-+∞，故选：D ． 2.【解析】令2()()g x x f x =⋅，则2()()2()[()2()]g x x f x x f x x x f x f x '''=⋅+⋅=⋅+，∵22()()0f x x f x x '⋅+⋅>>，0x <，∴[()2()]0x x f x f x '⋅+<，即()0g x '<，∴2()()g x x f x =⋅在(,0)-∞上是减函数，∴2(2021)(2021)4(2)0x f x f +⋅+-⋅->可化为： 22(2021)(2021)4(2)(2)(2)x f x f f +⋅+>⋅-=-⋅-， ∴(2021)(2)g x g +>-，即20212x +<-，解得2023x <-，所以不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +⋅+-⋅->的解集为(2023)-∞-，.故选：A 3.【解析】令()()sin f x g x x=，x ∈(,0)(0,)ππ-， 当(0,)x π∈时，2()sin ()cos ()sin f x x f x xg x x'='-0<， 所以()()sin f x g x x=在(0,)π上为单调递减函数，又()f x 是定义在(,0)(0,)ππ-的奇函数，所以()()sin f x g x x=为偶函数， 在(,0)π-上为单调递增函数，当(0,)x π∈时，sin 0x >，所以()2()sin 6f x f x π<等价于()()6sin sin 6f f x x ππ<，即()()6g x g π<，因为()()sin f x g x x =在(0,)π上为单调递减函数，所以6x ππ<<，当(,0)x π∈-时，sin 0x <，所以()2()sin 6f x f x π<等价于()()()()666sin sin sin()sin()666f f f f x x ππππππ--->==---，即()()6g x g π>-，因为()()sin f x g x x =在(,0)π-上为单调递增函数，所以06x π-<<，综上所述：关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为,0,66πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B4.【解析】令()()e x f x g x =，则()()()0e xf x f xg x '-'=>， 所以()g x 在R 上单调递增．因为21008(2)eg =，所以不等式21e (1)1008e 0x f x ++->，可变形得12(1)(2)e ex f x f ++>，即()()12g x g +>，所以12x +>，解得1x >．故选：D5.【解析】由题可知，当0x >时()()20xf x f x '+>， 令()()2g x x f x =⋅，0x >，则()()()()()2220g x x f x xf x x xf x f x '''=+=+>⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，因为()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，则()()f x f x -=-， 所以()()()()()22g x x f x x f x g x -=-⋅-=-⋅=-， 得()g x 也是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数， 所以()g x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，又()10f -=，则()()()21110g f -=-⋅-=，所以()10g =，所以可知()0g x <时，解得：1x <-或01x <<， 则()0f x <，即()()20g x f x x=<，即()0g x <， 所以()0g x <的解集为：()(),10,1-∞-⋃， 即()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃.故选：D.6.【解析】设()()2xg x e f x =-⎡⎤⎣⎦，所以()()()2xg x e f x f x ''=+-⎡⎤⎣⎦，因为()()'2f x f x +<，所以()()()20xg x e f x f x ''=+-<⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在R 上单调递减，且()()()01022019g f =⨯-=，又因为()22019xxe f x e >+等价于()2019g x >，所以解集为(),0-∞，故选：C. 7.【解析】设()()1x f x F x e +=，则()()()1xf x f x F x e'--'=. ∵()()1f x f x '-<，∴()0F x '<，即函数()F x 在定义域R 上单调递减. ∵()01f =，∴()02F =， ∴不等式()12xf x e +≥等价于()12xf x e+≥， 即()()0F x F ≥，解得0x ≤.故不等式的解集为(],0-∞.故选A. 8.【解析】设()()cos F x f x x =-，∵()()2cos f x f x x +-=，即()()cos cos f x x x f x -=--，即()()F x F x =--，故()F x 是奇函数，由于函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，所以，函数()f x 在R 上连续，则函数()F x 在R 上连续.∵在[)0,+∞上有()sin f x x '>-，∴()()sin 0F x f x x ''=+>， 故()F x 在[)0,+∞单调递增，又∵()F x 是奇函数，且()F x 在R 上连续，∴()F x 在R 上单调递增， ∵()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫--≥-⎪⎝⎭， ∴()cos sin cos 222f x x f x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥--=---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即()2F x F x π⎛⎫≥-⎪⎝⎭，∴2x x π≥-，故4x π≥，故选：B ．9.【解析】构造()()x xf x g x e =，则[]()2()()()()x x xxf x f x e xf x e g x e'+-'= []()()()xxf x f x xf x e'+-=[]()()()xx f x f x f x e'-+=0>，所以()g x 为单调递增函数，又(1)(1)2020f g e==，所以不等式()20200x xf x e -≥等价于()2020xxf x e≥等价于()(1)g x g ≥，所以1≥x ，故原不等式的解集为[1,)+∞， 故选：A ．10.【解析】令()()sin f x F x x =，则2()sin ()cos ()0sin f x x f x x F x x-''=<，函数()()sin f x F x x=是定义域当(0,)π内的单调递减函数，由于关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()()4sin sin 4f f x x ππ<，即()()4F x F π<，则4x ππ>>；而当0x π-<<时，0x π<-<，则关于x 的不等式()sin 4f x x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()()4sin sin 4f f x x ππ<，即()()4sin()sin 4f f x x ππ-<-，也即()()4F x F π-<可得4x π>-，即04x π-<<．所以原不等式的解集(,0)(,)44πππ-，应选答案D ．11.【解析】设()()f x h x x =，则()()2()xf x f x h x x'-'=， ∵当0x >时，()()f x f x x'<恒成立，即()()0xf x f x '-<，∴()0h x '<，即()h x 在()0,∞+上单调递减. 又函数()f x 是奇函数，∴()()()()()f x f x f x h x h x x x x---====--， ∴函数()h x 为偶函数，()h x 在(),0-∞上单调递增. ∵()20f =，∴()()()22202f h h -===. ∴当20x -<<或2x >时，()0f x <； 当2x <-或02x <<时，()0f x >.不等式()01f x x >-等价于()100x f x ->⎧⎨>⎩或()100x f x -<⎧⎨<⎩，∴12x <<或20x -<<. ∴不等式的解集为()()2,01,2-.故选：A.12.【解析】∵对于任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x <，都有()()()211212x f x x f x a x x -<-成立，∴不等式等价为()()1212f x a f x ax x ++<恒成立， 令()()f x ah x x+=，则不等式等价为当12x x <时，()()12h x h x <恒成立，即函数()h x 在(1,)+∞上为增函数；3()x e ax a h x x +-+=，则23()0x x xe e ah x x-+-'=≥在[1,)+∞上恒成立；∴30x x xe e a -+-≥；即3x x a xe e -≤-恒成立，令()x x g x xe e =-，∴()0xg x xe '=>；∴()g x 在[1,)+∞上为增函数；∴()(1)0g x g >=；∴30a -≥；∴3a ≤. ∴a 的取值范围是(,3]-∞.故选：C. 13.【解析】因为()()22f x f x x -+=，所以()()()220f x x f x x ---+-=，令()()2g x f x x =-，则()()0g x g x -+=，所以()g x 为奇函数．又因为当0x ≤时，()()20g x f x x ''=-<，所以()g x 在(],0-∞上单调递减，即()g x 在R 上单调递减．而不等式()()()()()()()2225510555f x f x x f x x f x x g x g x +≥-+⇔-≥---⇔≥-，所以5x x ≤-，所以52x ≤．故答案为：5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 14.【解析】()f x 和()()()0g x g x ≠，分别是定义在R 上的奇函数和偶函数()()f x f x ∴-=- ()()g x g x -=，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x '-'< 当0x <时，2()()()()()[]0()()f x f xg x f x g x g x g x '-''=<， 令()()g()f x h x x =，则()h x 在(,0)-∞上单调递减 ()()()()()()f x f x h x h xg x g x --==-=--，()h x ∴为奇函数，根据奇函数的性质可得函数()h x 在(0,)+∞单调递增， (2)f f -=-（2）()()0202h h h ==∴-=-，，（2）0=()h x 图象如图，由图可知，()()0()f x h xg x =>的范围为(,2)(0,2)-∞-⋃15.【解析】构造函数()()ln 1(0)g x f x x x =-->，则1()1()()xf x g x f x x x'-''=-=，依题意知()0g x '<，即()()ln 1g x f x x =--在0,上是减函数.又因为(1)1f =，所以(1)(1)ln110g f =--=，所以()(1)g x g >的解为01x <<，即()ln 10f x x -->即()ln 1f x x >+的解为01x <<，所以(31)ln(31)1f x x ->-+的解为0311x <-<，即1233x <<，即解集是12,33⎛⎫⎪⎝⎭.16.【解析】设()()2019x xg x e f x e =--，不等式()2019x xe f x e >+的解等价于不等式()0>g x 的解，因为''()(()()1)0xg x e f x f x =+->，所以()g x 在R 上单调递增，又(0)(0)120190g f =--=， 所以()0(0)g x g >=，所以0x >，所以原不等式的解集为()0,∞+17.【解析】（1）()()2'2221a x x af x x x x++=++=，0a ≥时，()'>0f x ，所以()f x 的单调增区间是()0,∞+；0a <时，令'0fx，解得x =舍去），所以x ⎛∈ ⎝⎭时，()'0f x <，x ⎫∈+∞⎪⎝⎭⎪时，()'>0f x ， 所以()f x的单调减区间是0,21⎛ ⎝⎭-，单调增区间是12⎛⎫+∞ ⎪ ⎝-+⎭⎪；（2）由()110f a -≤可得104a <≤， 只需证明当104a <≤时，()20x f x a -≤恒成立，等价于()22210x x lnx a a+--≥，令1t a=，则4t ≥，设()()2221g t x t x t lnx =-+-， 对称轴()2221111222x t x x ⎛⎫⎪⎝⎭+==+≤， 故有()()()2241641g t g x x lnx ≥=-+-. 记()()221641h x x x lnx =-+-，()()'1113281248241801h x x x x x x =-+-=--≥⨯-->， 所以()h x 在[)1,+∞单调递增，且()10h =.故有()0h x ≥，于是()0g t ≥恒成立. 由此104a <≤. 18.【解析】（1）解：因为()ln a f x x x =-，所以()221a a x f x x x x+'=--=-. ①当0a ≥时，()0f x '<在()0,∞+上恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递减. ②当0a <时，由()0f x '>得0x a <<-；由()0f x '<得x a >-. 即()f x 在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减， 综上，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a <时，()f x 在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减.（2）证明：因为()()122f x f x ==，所以11ln 20a x x --=，22ln 20ax x --=， 即111222ln 2ln 20x x x a x x x a +-=+-=. 设()ln 2g x x x x a =+-，则()ln 3g x x '=+， 故()g x 在310,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在31,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.由题意不妨设12310e x x <<<，欲证1232e x x +>，只需证2132ex x >-. 又2x ，13321,e e x ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，()g x 在31,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.故只需证()2132e g x g x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭.因为()()12g x g x =，所以只需证()1132e g x g x ⎛⎫>-⎪⎝⎭对任意的1310,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立即可，即111111333222ln 2ln 2e e e x x x a x x x a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+->--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.整理得111111333224ln 2ln 2e e ex x x x x x ⎛⎫⎛⎫+>--+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即11111333224ln ln 40e e e x x x x x ⎛⎫⎛⎫---+->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设()333224ln ln 4e e e h x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，310,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()23322ln ln 6ln 6e e x h x x x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为310e x <<，所以236210e e x x <-<，所以()232ln 60e x h x x ⎛⎫'=-+< ⎪⎝⎭，所以()h x 在310,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则()310e h x h ⎛⎫>= ⎪⎝⎭.所以1232e x x +>成立.19.【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，，23312(),a x af x x x x'-=-+= 当0a ≤ 时，()0f x '≥，所以函数 ()f x 在 (0,)+∞上单调递增；当 0a >时，当 x ≥时， 则()0f x '≥ ，函数()f x 单调递增，当0x <<时， ()0f x '< ，函数()f x 单调递减，所以0a >时，函数()f x 在 单调递减，在)+∞上递增； （2）由已知得221()323(),,233g x x x x x x '⎡⎤=-=-∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≥，所以函数()g x 在2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当12,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x '≤，所以函数()g x 在12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又183()(2)1327g g =-<=，所以函数()g x 在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，依题意得，只需在1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1xf x ≥恒成立，即ln 1ax x x+≥，也即是2ln a x x x ≥-在1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 令21()ln (,2)3h x x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则()12ln h x x x x '=--，有(1)0h '=，当1,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，10x ->，ln 0x x <，()0h x '>，即()h x 在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增， 当(]1,2x ∈时，10,ln 0x x x -<>，()0h x '<，所以()h x 在(]1,2上单调递减， 所以，当1x =时，函数()h x 取得最大值(1)1h =， 故1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞.20.【解析】（1）由题意，211()x mx f x x m x x-+'=-+=，0x >，设21(0)y x mx x =-+>，24m ∆=-，①当0∆≤，即22m -≤≤时，0y ≥，()0f x '≥，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增；②当0∆>，即2m <-或2m >时，i ）当2m <-时，0y ≥，()0f x '≥，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增；ii ）当2m >时，令()0f x '=，则1x =或2x =，令()0f x '<，则12x x x <<；令()0f x '>，则1x x <或2x x >；()f x ∴在()12,x x 上递减，在()10,x 和()2,x +∞上递增，综上所述，当2m ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增；当2m >时，()f x 在22m m ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭上递减，在0,2m ⎛- ⎪⎝⎭和,2m ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增；（2）由（1）得当2m ≤时，()f x 在(0,)+∞上递增，不合题意；2m ∴>，不妨设120x x <<，则()f x 在()12,x x 上递减，1x ，2x 是方程210x mx -+=的两个不相等实数根，12x x m ∴+=，121=x x ，因为1221154x x x x -=-≤，所以1114x ≤<或14x ≤-（舍去）， 则()()()()()()2211212121221ln 2x f x f x f x f x x x m x x x -=-=---+ 22112111ln 2x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，1114x ≤<， 令211,116t x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭=，则11()ln 2g t t t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，1116t ≤<，所以22(1)()02t g t t -'=-<，()g t ∴在1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，1255()4ln 21632g t g ⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭， ∴当114x =时，()()12f x f x -取最大值2554ln 232-． 21.【解析】（1）函数()ln 2f x x kx =++. 函数定义域为()0,∞+，()1+1kx f x k x x='=+ 当0k ≥时，可知()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+单调递增； 当0k <时，令()0f x '=，解得1x k=-， 所以当10x k <<-时，()0f x '>；当1x k>-时()0f x '<； 故此时()f x 单调增区间为10,k ⎛⎫- ⎪⎝⎭；单调减区间为1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；综上所述：当0k ≥时()f x 在()0,∞+递增； 当0k <时()f x 增区间为10,k ⎛⎫-⎪⎝⎭；减区间为1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（2）证明：将1k =-代入函数解析式可得()ln 2f x x x =-+，()2xe g x x ax=-+，定义域为()0,∞+，要证()()g x f x >，即证ln x e ax x >，①当01x <≤时，1x e >，ln 0ax x ≤，不等式显然成立， ②当1x >时，ln 0x x >，结合已知2102a e <≤可得，210ln ln 2ax x e x x <≤， 于是转化为21ln 2xe e x >，即证22ln 0x e x x-->，令()22ln x e h x x x -=-，则()()2221x e x x h x x-'--=， 令()()221x x e x x -Φ=--，则()221x x xe -'Φ=-，且在()0,∞+上单调递增，∵()2110e'Φ=-<，()230'Φ=>，存在()01,2x ∈使得()00x Φ'=，即02021x x e -=，∴()x Φ在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()110Φ=-<，()20Φ=，故当()1,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，∴()()21ln 20h x h ≥=->，故()0h x >，得证()()g x f x >.22.【解析】（1）由题意，22()3ln f x x ax a x =+-的定义域为(0,)+∞，且2221323()(23)()2(0)a x ax a x a x a f x x a x x x x+--+'=+-==>，，由()0f x '<得0x a <<，由()0f x '>得x a >，∴()f x 在区间()0,a 上单调递减，在区间(),+∞a 上单调递增，∴()f x 的极小值为22222()3ln 23ln f a a a a a a a a =+-=-，令22223ln 2a a a a -=，得23ln 0a a =， ∵0a >，∴ln 0a =，解得1a =．（2）当2a =时，2()212ln f x x x x =+-，设()()(6)ln g x f x x x =--，则22()212ln (6)ln 26ln ln g x x x x x x x x x x x =+---=+--，则262ln 6()22ln 1(0)x x x x g x x x x x x+--'=+---=>，设2()2ln 6(0)h x x x x x x =+-->， 则()41(ln 1)4ln h x x x x x '=+-+=-，设()4ln m x x x =-，则141()4(0)x m x x x x-'=-=>， 由()0m x '<可得104x <<，由()0m x '>可得14x >，即()m x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， ∴11()1ln 12ln 2044m x m ⎛⎫≥=-=+>⎪⎝⎭，即()0h x '>， ∴()h x 在()0,+∞上单调递增．∵(1)30h =-<，(2)42ln 20h =->，∴()h x 存在唯一的零点0x ，且0(1,2)x ∈． 由()2000002ln 60h x x x x x =+--=，得0006ln 21x x x =-+， 当()00,x x ∈时，()0h x < ，即()0g x '<， 当()0,x x ∈+∞时，()0h x > ，即()0g x '>， ∴()2000000()26ln ln g x g x x x x x x ≥=+--()20000062621x x x x x ⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭20003611x x x =--+，易得()g x 在区间1,2上单调递减，故()2036211282g x >--⨯+=-， ∴()()(6)ln 8g x f x x x =-->-，即()(6)ln 8f x x x >--．。