分式方程及分式化简【知识精读】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。

2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。

【分类解析】 例1. 解方程：x x x --+=1211 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11，得x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。

例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312方程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =-92。

例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。

1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--==例4. 解方程：61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2分析：此题若用一般解法，则计算量较大。

当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。

解：原方程变形为：622222220222()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-=约分，得62222202y y y y y y +-+-++-=()()方程两边都乘以()()y y +-22，得 622022()()y y y --++=整理，得经检验：是原方程的根。

21688y y y =∴==注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。

因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。

5、中考题解： 例1．若解分式方程2111x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. --12或B. -12或C. 12或D. 12或-分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。

由题意得增根是：x x ==-01或，化简原方程为：21122x m x -+=+()()，把x x ==-01或代入解得m =-12或，故选择D 。

例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？ 分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。

解：设甲班每小时种x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树， 由题意得：60662x x =+60120662020222x xx x x +=∴==∴+=经检验：是原方程的根答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。

说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。

6、题型展示：例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。

求这艘轮船在静水中的速度和水流速度分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。

解：设船在静水中的速度为x 千米/小时，水流速度为y 千米/小时由题意，得8042740707x y x yx y x y++-=++-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解得：经检验：是原方程的根x y x y ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩173173答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。

例2. m 为何值时，关于x 的方程22432x mx x x -+-=+2会产生增根？ 解：方程两边都乘以x 24-，得2436x mx x ++=- 整理，得()m x -=-110当时，如果方程产生增根，那么，即或（）若，则（）若，则（）综上所述，当或时，原方程产生增根m x m x x x x m m x m m m ≠=---===-=--=∴=-=---=-∴==-11014022121012422101263462 说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根【实战模拟】1. 甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ）A.Sa b+B.S av b - C. S av a b -+ D. 2Sa b+ 2. 如果关于x 的方程2313x mx m -=--有增根，则的值等于（）A. -3B. -2C. -1D. 33. 解方程：（） (11101121231)9102x x x x x x x ++++++++++=()()()()()()（）2112141024x x x x x x xx-++++++=4. 求x 为何值时，代数式293132x x x x++---的值等于2？5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。

已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的23，求甲、乙两队单独完成各需多少天？分式化简已知234x y z==，则222x y z xy yz zx ++=++___________．【巩固】已知345x y y z z x==+++，则222x y z xy yz zx ++++=__________. 【巩固】若a b c d b c d a ===，求a b c da b c d-+-+-+的值.【例1】 已知222222()()()(2)(2)(2)b c c a a b b c a c a b a b c -+-+-=+-++-++-，求分式222(1)(1)(1)(1)(1)(1)bc ca ab a b c ++++++的值.【例2】 设1x y z u +++=，()()()2:12:22:3(2):4x y y z z u u x +=+=+=+，则733x y z u +++=___________． 【例3】 若x y z x y z x y z z y x +--+-++==，求()()()x y y z z x xyz +++的值. 【巩固】已知x y y z u z u x =++++z u u x y x y z ==++++．求x y y z z u u xz u u x x y y z+++++++++++的值． 【例4】 已知9p q r ++=，且222p q rx yz y zx z xy==---，则 px qy rzx y z++++的值等于（ ）A. 9 B.10 C. 8 D.7【例5】 已知2220(0)x yz y zx z xyxyz a b c---==≠≠，求证：222a bc b ca c ab x y z ---==. 【例6】 已知()()()()()()222222222x y y z z x x y z y z x z x y -+-+-=+-++-++-，求()()()()()()222111111xy yz zx xy z ++++++的值。

【例7】 已知20x x -=，求2221412211x x x x x x --⋅÷+-+-的值. 【例8】 已知，12ab a b =-+=，，则_______.b aa b+＝【巩固】已知1,12x y xy +==，求代数式222()3x y x y xy +++的值.【例9】 已知210a b +-=，求代数式22()(1)()aa b a b a b-+÷-+的值．【巩固】已知224a a +=，求121111122+-+÷--+a a a a a 的值． 【例10】 已知3a ba b -=+，求代数式2()4()3()a b a b a b a b +---+的值 【例11】 已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值． 【例12】 已知：12xy =-，4x y +=-，求1111x y y x +++++的值. 【巩固】已知210x y xy +=，求代数式4224x xy yx xy y++-+的值.【例13】 已知：111x y x y +=+，求y xx y +的值. 【巩固】设1114x y -=，求2322y xy xy x xy +---【例14】 设113x y -=，求3237y xy xx xy y+-+-的值【巩固】如果235x y y x+=-，求2222410623x xy y x y +++的值. 【例15】 已知111m n -=，求575232m mn nn mn m+---的值.【例16】 已知a ，b ，c 为实数，且13ab a b =+，14bc b c =+，15ca c a =+，求abcab bc ca++. 【例17】 已知13x x +=，则代数式221x x +的值为_________．【巩固】已知：1x x -=，求221x x +的值.【巩固】已知：2213a a +=，求1a a -的值.【巩固】设1x x -1x x +的值.【巩固】若11a a -=，求1a a+的值.【例18】 若12x x +=，求2421x x x ++的值.【巩固】若13x x +=，则33441713x x x x++++=___________ 【例19】 已知a 是2310x x -+=的根，求5432225281a a a a a -+-+的值. 【巩固】设21xa x x =++，其中0a ≠，则2421x x x =++ 【巩固】设211xx mx =-+，求36331x x m x -+的值. 【例20】 已知：2510a a -+=，求4221a a a ++的值.【巩固】已知：2310x x -+=，求221x x+的值.【巩固】若2310x x -+=，则74843231x x x x x ++=++________．【例21】 已知2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m .【例22】 已知代数式25342()x ax bx cx x dx +++，当1=x 时，值为1，求该代数式当1-=x 时的值．【例23】 已知10x y z m n p m n p x y z++=++=，，求222222x y z m n p ++的值。