知识要点数 列1、按照一定次序排列的一列数叫数列。

2、数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）、第2项、第3项、……、第n 项、……3、项数有限的数列叫做有穷数列，有穷数列的最后一项叫做这个数列的末项。

项数无穷的数列叫做无穷数列。

4、(1)123(1)2n n n n ⨯+++++-+=（n 为正整数） ()()222211231216n n n n ++++=⋅+⋅+（n 为正整数）5、如果一个数列，从第2项起的每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示。

等差数列求和公式：和=（首项+末项）⨯项数2÷。

6、如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q 表示()0q ≠。

（或者从第二数开始每一个数都和前面数的倍数都是相同的，这个数列就叫做等比数列。

） 一般地，等比数列求和采用“错位相减法”。

（公比不为1）传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴，他决定要重赏西塔，西塔说：“我不要你的重赏 ，陛下，只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行了。

在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放满第64个格子就行了”。

区区小数，几粒麦子，这有何难，“来人”，国王令人如数付给西塔。

计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒第三格内放2粒，还没有到第二十格，一袋麦子已经空了。

一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。

但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑现不了他对西塔的诺言。

原来，所需麦粒总数为：642118446744073709551615-=这些麦子究竟有多少？打个比方，如果造一个仓库来放这些麦子，仓库高4公尺，宽10公尺，那么仓库的长度就等于地球到太阳的距离的两倍。

而要生产这么多的麦子，全世界要两千年。

尽管国家非常富有，但要这样多的麦子他是怎么也拿不出来的。

这么一来，国王就欠了西塔好大一笔债。

等差数列【例 1】 判断下面的数列中，哪些是等差数列？哪些是等比数列？如果是等差数列，请指明公差；如果不是，请说明理由。

如果是等比数列，请指明公比；如果不是，请说明理由。

数列一：7、11、15、19、23、……；数列二：1、2、1、2、3、4、5、……、99、100； 数列三：1、2、4、8、16、32、64； 数列四：2、6、18、54、162；数列五：2009、2009、2009、2009、2009、2009、2009； 数列六：1、0、1、0、1、0、1、0、1； 数列七：0、0、0、……其它复合型数列整数与数列本讲数表应用题找规律计算等差数列应用题求和方法初步认识等比数列【分析】数列一是等差数列，公差为4；因为1115711≠，所以不是等比数列。

数列二不是等差数列；不是等比数列。

因为2112-≠-，即2132a a a a -≠-；所以数列二不是等差数列；因为2112≠，所以不是等比数列。

数列三不是等差数列，数列三是等比数列，公比为2。

因为2142-≠-，即2132a a a a -≠-；所以数列三不是等差数列； 因为212÷=，422÷=，842÷=，……所以数列三是等比数列。

数列四是等比数列，公比为3；因为62186-≠-，所以不是等差数列。

数列五是等差数列，公差为0；还是等比数列，公比为1。

数列六不是等差数列；也不是等比数列。

因为0110-≠-，即2132a a a a -≠-；所以数列六不是等差数列；也不是等比数列。

数列七是等差数列，公差为0。

不是等比数列，因为等比数列的每一项都不能为0。

【例 2】 下图所示的表中有55个数，那么它们的和加上多少才等于1994？171319253137434955612814202632384450566239152127333945515763410162228344046525864511172329354147535965【分析】（方法一）需先求出所给数列的和，然后看和1994差多少。

故可以先交给学生让大家用基本公式算所给数列的和， 可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加。

（方法二）利用等差数列和=中间数⨯个数第6列作为中间项，求和再乘以项数：(3132333435)111815++++⨯=第3行为中间数列．求和再乘以项数：(39152127333945515763)51815++++++++++⨯=因此所求的和是 199********-=【例 3】 在1~100这100个自然数中，所有能被9整除的自然数的和是多少？【分析】在1~100这100个自然数中，能被9整除的自然数依次为9、18、27、……、98、99，(999)[(999)91]9182798995942+⨯-÷++++++==即在1~100这100个自然数中，所有能被9整除的自然数的和为594。

【例 4】 在不大于100自然数中，所有不能被9整除的自然数的和是多少？ 【分析】 在不大于100的自然书中，能被9整除的自然数依次为0、9、18、27、 (98)99，(099)[(990)91]09182798995942+⨯-÷+++++++==……(0100)[(1000)11]0123989910050502+⨯-÷++++++++==……所以在不大于100的自然数中，所有能被9整除的自然数的和为50505944456-=。

【例 5】 在1~200这200个自然数中，所有能被4整除或被11整除的自然数的和是多少？【分析】 在1~200这200个自然数中，能被4整除的自然数依次为4、8、12、 (196)200，(4200)[(2004)41]481219620051002+⨯-÷++++++==……在1~200这200个自然数中，能被11整除的自然数依次为11、22、33、……、187、198，(11198)[(19811)111]11223318719818812+⨯-÷++++++==……在1~200这200个自然数中，既能被4整除又能被11整除的自然数， 即能被[4,11]44=整除的自然数依次为44、88、132、176， (44176)[(17644)441]44881321764402+⨯-÷++++==在1~200这200个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的自然数的和为 510018814406541+-=。

【例 6】 （第七届小学“祖冲之杯”数学邀请赛第一（1）题）七个连续的自然数，最大的两个数的和比最小的数大1997，那么中间的那个数是_______。

【分析】最大的数比最小的数大(71)16-⨯=，所以第2大的数（从小到大第6数）为199761991-=； 所以中间数（从小到大第4数）为1991(64)11989--⨯=； 或第2大的数比最小的数大(61)15-⨯=，所以最大的数（从小到大第7数）为199751992-=； 所以中间数（从小到大第4数）为1992(74)11989--⨯=【例 7】 计算：13467910121366676970_______+++++++++++++=。

【分析】（方法一）13467910121366676970+++++++++++++(147106770)(369126669)=+++++++++++++(170)[(701)31](369)[(693)31]852*********+⨯-÷++⨯-÷+=+=+=（方法二）13467910121366676970+++++++++++++ (123456789656667686970)(2586568)=+++++++++++++++-+++++(170)[(701)11](268)[(682)31]2485805168022+⨯-÷++⨯-÷+=-=-=【例 8】 如图所示，有一个六边形点阵，它的中心是个点，算作第1层；第2层每边有2个点（相邻两边公用一个点）；第3层每边有3个点；……；这个六边形点阵共有2010层。

请问第2010层有多少个点？这个点阵共有多少个点？【分析】 第1层有1个点、第2层有16⨯个点、第3层有26⨯个点、……、第2010层有2009612054⨯=个点。

这个点阵共有1162620096+⨯+⨯++⨯1200920091(122009)616121142712+⨯=++++⨯=+⨯=（）个点。

【例 9】 如图所示，1条直线将1个平面分成2部分，2条直线最多将1个平面分成4部分，3条直线最多将1个平面分成7部分，4条直线最多将1个平面分成几部分？那么5条直线最多将1个平面分成多少部分？【分析】 如果有3条直线，再增加1条直线，这条新增加的直线与前3条直线至多有3个交点；所以这条新增加的直线至多能被分成314+=段； 因为每段直线将原有的部分分成2个部分；所以至多能增加213+=个部分。

4条直线最多将1个平面分成7411+=部分。

如果有4条直线，再增加1条直线，这条新增加的直线与前4条直线至多有4个交点；所以这条新增加的直线至多能被分成415+=段；因为每段直线将原有的部分分成2个部分；所以至多能增加415+=个部分。

那么5条直线最多将1个平面分成11516+=部分。

（下图中圆代表一个平面）【例 10】 如图所示，1条直线将1个平面分成2部分，2条直线最多将1个平面分成4部分，3条直线最多将1个平面分成7部分，4条直线最多将1个平面分成11部分，……，那么2009条直线最多将1个平面分成多少部分？（圆内部代表平面）【分析】如果有k条直线，再增加1条直线，这条新增加的直线与前k条直线至多有k个交点；所以这条新增加的直线至多能被分成1k+段；因为每段直线将原有的部分分成2个部分；所以至多能增加1k+个部分。

（k∈）所以n条直线最多将平面分成2(1)21(12)122n n n nn+++++++=+=个部分（n+∈）。

所以2009条直线最多将平面分成220092009220190462++=个部分。

【例 11】（2009年12月20日第十届“中环杯”小学生思维能力训练活四年级选拔赛第一（9）题）平面上有一个圆，能把平面分成2部分；2个圆最多能把平面分成4部分。

现在有7个圆，最多能把平面分成_______部分。

【分析】（方法一）列表可得平面的个数之差是一个等差数列，例如1个圆到2个圆，平面的个数相差422-=个，2个圆到3个圆，平面的个数相差844-=个，3个圆到4个圆，平面的个数相差1486-=个，……依次相加得到所以7个圆最多能将平面分成2(24681012)44++++++=个平面。