动点与函数图象【例1】如图所示，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，点M 从点A 出发沿AE 方向向E 匀速运动，同时点N 从点E 出发沿EB 方向向点B 匀速运动，点M 、N 的速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t ，连接MN ，设△EMN 的面积为S ，则S 关于t 的函数图象为（ ）A B C D【答案】D .【解析】解：由题意知，AD =DE =CE =BC =4，AE ，∴∠AED =∠BEC =45°，∴∠MEN =90°，又∵EN =t ，EM －t ，∴S =12EM EN ⋅⋅=()12t t ⋅⋅=(2142t -⋅-+，（0≤t ≤）图象为抛物线，开口朝下，当x 时，S 取最大值，故答案为D .【变式1-1】如图，点 P 是边长为 2 cm 的正方形 ABCD 的边上一动点，O 是对角线的交点，当点 P 由 A →D →C 运动时，设 DP =x cm ，则△POD 的面积 y （cm 2） 随 x （cm ）变化的关系图象为（ ）A BC D 【答案】B.【解析】解：当P点在AD上运动时，0<x≤2时，y=12·PD×1=12x，当P点在DC上运动时，0<x≤2，y=12·PD×1=12x，故答案为：B.【变式1-2】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC，BD＝DE＝2，CE＝52，BC＝245．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→D→E→C匀速运动，运动到点C时停止．过点P作PQ⊥BC于点Q，设△BPQ的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ． 【答案】D .【解析】解：∵PQ ⊥BQ∴S △BPQ ＝12PQ •BQ ①当点P 在BD 上（即0s ≤t ≤2s ）BP ＝t ，BQ ＝PQ •cos 60°＝12t ，PQ ＝BP •sin t S △BPQ ＝12PQ •BQ＝12•12t tt 2 该图象是关于t 的二次函数，其图象为一段开口朝上的抛物线；②当P 在DE 上时（即2s ＜t ≤4s ）PQ ＝BD •sin BQ ＝BD •cos 60°+（t ﹣2）＝t ﹣1S △BPQ ＝12PQ •BQ＝12t ﹣1）t ，该图象为一条线段，由左向右上升；③当P 在DE 上时（即4s ＜t ≤132s ）PQ ＝PC •sin 45°＝4﹣2t ，BQ ＝BC ﹣CQ ＝245－4+2tS △BPQ ＝12PQ •BQ =12）（245t ） 通过计算可知，此时函数解析式为二次函数，且二次项系数为：14<0，即该段图象为一段开口朝下的抛物线；综上所述，答案为D .【例2】如图，正方形ABCD ，对角线AC 和BD 交于点E ，点F 是BC 边上一动点（不与点B ，C 重合），过点E 作EF 的垂线交CD 于点G ，连接FG 交EC 于点H ．设BF ＝x ，CH ＝y ，则y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A . 【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠EBF ＝∠ECG ＝45°，AC ⊥BD ，EB ＝EC ，∵EF ⊥EG ，∴∠BEC ＝∠FEG ＝90°，∴∠BEF ＝∠CEG ，∴△BEF ≌△CEG ，∴EF ＝EG ，∴∠EFG ＝45°，∴∠CFH ＝∠BEF ，∴△BEF ∽△CFH ， ∴BE BE CH CF=， ∴x y =，∴y ＝﹣x 2x （0＜x ），图象为一段开口朝下的抛物线，即答案为：A ．【变式2-1】如图1，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，点E 为对角线AC 上的一个动点，连接BE ，DE ，过E 作EF ⊥BC 于F ．设AE ＝x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（ ）A ．线段BEB ．线段EFC ．线段CED ．线段DE【答案】D ．【解析】解：A 、由图1可知，若线段BE 是y ，则y 随x 的增大先减小再增大，而BA ＜BC ，选项A 错误；B 、由图1可知，若线段EF 是y ，则y 随x 的增大而减小，选项B 错误；C 、由图1可知，若线段CE 是y ，则y 随x 的增大而减小，选项C 错误；D 、由图1可知，若线段DE 是y ，则y 随x 的增大先减小再增大，而由由大变小的距离大于由小变大的距离，在点A 的距离是DA ，在点C 时的距离是DC ，DA ＞DC ，选项D 正确；故答案为：D ．【变式2-2】（2018·洛宁县模拟）如图1，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点，且∠APD=60°，PD交AC于点D，设线段PB的长度为x，图1中某线段的长度为y，y与x的函数关系的大致图象如图2，则这条线段可能是图1中的（）图1 图2A．线段AD B．线段AP C．线段PD D．线段CD【答案】A.【解析】解：∵∠APD=60°，△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠APB+∠CPD=120°，∠PDC+∠CPD=120°，∴∠APB=∠PDC，∴△ABP∽△PCD，∴AB BP CP CD=,即：44xx CD=-，∴CD=()45x x-，当x=0时，CD=0，不符题意；∴AD=4－CD=4－()45x x-=()2116255x-+，符合题意，即答案为：A.【例3】如图1，E为矩形ABCD边AD上的一点，点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q 从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是2 cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系图象如图2，则CDBE的值为（）A B C D图1 图2【答案】D.【解析】解：由图象可知，t=8时，P点与E点重合；t=10时，P与D点重合，∵P点的运动速度为2cm/s，∴DE=4，BE=16，S△BCE=12·BC·CD=8 CD，即8 CD，即CD，∴CDBE,故答案为：D.【变式3-1】如图 1，动点K从△ABC的顶点A出发，沿AB﹣BC匀速运动到点C停止．在动点K运动过程中，线段AK的长度y与运动时间x的函数关系如图 2 所示，其中点Q为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是，则a的值为图1 图2【答案】【解析】解：由图可知，Q点对应的是AK⊥BC的位置，即△ABC边BC上的高为5，由△ABC的面积是，得：BC=，由抛物线的两端纵坐标相等，即对应的AK的长度相等，说明AB=AC，由勾股定理得：AB=即a=图1图2故答案为：【变式3-2】如图1，在矩形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 方向运动，当点M 到达点C 时停止运动，过点M 作MN ⊥AM 交CD 于点N ，设点M 的运动路程为x ，CN ＝y ，图2表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．20B ．18C ．10D ．9【答案】A ．【解析】解:由图2知：AB +BC ＝9，设AB ＝m ，则BC ＝9﹣m ，如图所示，当点M 在BC 上时，则AB ＝m ，BM ＝x ﹣a ，MC ＝9﹣x ，NC ＝y ，∵MN ⊥AM ，则∠MAB ＝∠NMC ，tan ∠MAB ＝tan ∠NMC ，即BM CN AB CM=, 即9x m y m x -=-，化简得：y ＝﹣1m x 2+9m m +x ﹣9， 当x ＝92m +时，y 取最大值45，即45＝()294m m +﹣9， 解得：m ＝5或m =16.2（舍），∴AM ＝5，BC ＝4， ABCD 的面积为20，故答案为：A ．1.如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝kx（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，设△POM 的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】解：设点P的运动速度为x，（1）当点P在AB上时，S=12·OA·AP=12·OA·at，该段函数图象为一条线段，且S随t的增大而增大，（2）点P在曲线BC上时，S=12k，为一定值，即图象为一条平行于x轴的线段；（3）点P在OC上时，S=12·PM·OM设∠AOC=β，P运动全路程为s，则OP=s－at，则S=12·PM·OM=12OPsinβ·OPcosβ=12（s－at）2sinβcosβ函数图象为一段开口朝上的抛物线，且S随t的增大而减小；综上所述，答案为：D.2.如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠C＝∠ABC＝60°，∵DE∥AC，∴∠EDF＝∠A＝60°，∠DEB＝∠B＝60°∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°；∵∠EDB＝∠DEB＝60°，∴△EDB是等边三角形．∴ED＝DB＝2﹣x，在Rt△DEF中，EF2﹣x）．∴y＝12 ED•EF＝12（2﹣x（2﹣x），（x﹣2）2，（0≤x≤2），图象为一段开口朝上的抛物线，y随x增大而减小；所以答案为：A．3.如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B 时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】解：由题意知，（1）当点F在PD上运动时，△AEF的面积为y=12AE•AD＝2x（0≤x≤2），为一次函数，图象为直线；（2）当F在AD上运动时，△AEF的面积为：y=12 AE•AF=12x(6－x)=－12x2+3x,为二次函数，且开口朝下；故答案为：A．4.如图甲，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，Q同时从B点出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C 停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒时，△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图乙（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①当0＜t≤5时，y=25t2 ②tan∠ABE=34③点H的坐标为（11，0）④△ABE与△QBP不可能相似．其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）【答案】①②③.【解析】解：①过点P作PF⊥BC于F，根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得：AB=4，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，∴sin∠PBF=sin∠AEB=45，∴PF=PBsin∠PBF=45t，∴当0＜t≤5时，y=12BQ·PF=25t2即①正确；②由图知：ED=2，∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3，∴tan∠ABE=34AEAB=，②正确；③由图象知，在D点时，出发时间为7s，由CD=4，得H（11，0），③正确；④当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，∵tan∠PBQ=tan∠ABE=34，∴34PQBQ=，即11354t-=，解得：t=294．④错误；故答案为：①②③．5.如图1，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，设xAP=，图1中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则等边△ABC的面积为 .【答案】【解析】解：由垂线段最短可知，当DP⊥AB时，y此时，由∠B=60°，得：BD tan60°=2，∴BC=4，S△ABC24即答案为：6.如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）ABCD ．【答案】B .【解析】解：当0≤x ≤1时，重叠部分为△A ’B ’C 21=当1<x ≤2时，重叠部分为等边三角形，边长B ’C =2－x ， 面积为：())222244x x ⨯-=-，为开口朝上的抛物线， 综上所述，答案为：B .7.如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B．【解析】解：当点P在AD上时，S=12AB·AP=AP，则S随着时间t的增大而增大；当点P在DE上时，S=2，S保持不变；当点P在EF上时，△ABP的底AB不变，高减小，则S随着时间t的增大而减小；当点P在FG上时，S=1，面积S不变；当点P在GB上时，S=12AB·BP=BP，S随着时间t的增大而减小；故答案为：B．8.如图1，在△ABC中，∠C=90°，动点P从点C出发，以1cm/s的速度沿折线CA→AB匀速运动，到达点B时停止运动，点P出发一段时间后动点Q从点B出发，以相同的速度沿BC匀速运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，并停止运动，设点P的运动时间为t s，△PQC的面积为S cm2，S关于t的函数图象如图2所示（其中0＜t≤3，3≤t≤4时，函数图象均为线段（不含点O），4＜t＜8时，函数图象为抛物线的一部分）给出下列结论：①AC=3cm；②当S=65时，t=35或6．下列结论正确的是（）A．①②都对B．①②都错C．①对②错D．①错②对【答案】A.【解析】解：由函数图象可知当0＜t≤3时，点P在AC上移动，∴AC=t×1=3×1=3cm．故①正确；在Rt△ABC中，S△ABC=6，即12BC×3=6，得：BC=4．由勾股定理可知：AB=5．（1）当0＜t≤3时，S =12BC •PC =12×4t =2t ．（2）当3<t ≤4时，PB =AB -AP =5-（t -3）=8-t ，过点P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，则35PH AC PB AB ==， ∴PH =35PB =35（8-t ）， S =12BC •PH =12×4×35（8-t ） =-65t +485， （3）当4＜t ＜8时，过点P 作PH ⊥BC 于H ．同理：S =2324961055t t -+ 当0＜t ≤3时，2t =65，解得t ＝35，当3≤t ≤4时，−65t +485＝65，解得：t =7（舍去）， 当4＜t ＜8时，232496610555t t -+=，解得t =6或t =10（舍去）， ∴当t 为35或6时，△PQC 的面积为65． 故②正确． 故答案为：A ．9.如图，平行四边形ABCD 中，ABcm ，BC =2cm ，∠ABC =45°，点P 从点B 出发，以1cm /s 的速度沿折线BC →CD →DA 运动如图，在等腰△ABC 中，AB =AC =4cm ，∠B =30°，点P 从点B/s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，同时点Q 从点B 出发以2cm /s 的速度沿B →A →C 运动到点C 停止，若△BPQ 的面积为y ，运动时间为t （s ），则y 与t 的函数关系式为：.【答案】y=()()22023242t t t ≤≤⎨⎪-+<≤⎪⎩.【解析】解：当点Q 在线段AB 上运动时，即0≤t ≤2，过点Q 作QH ⊥BC 于H ，由题意知，BQ，BP =2t ， ∵∠B =30°， ∴QHt ， y =12·BP ·QH =12×（2ttt 2，B当点Q在线段AC上运动时，即2<t≤4，过点Q作QH⊥BC于H，由题意知，CQ=8，BP=2t，∵∠C=30°，∴QH（8），y=12·BP·QH=12×（2t（8）（8t2）=232t-+，综上所述，y=()()22023242tt t≤≤⎨⎪-+<≤⎪⎩.11.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，DC=4 cm，BC=6 cm，AD=3 cm，动点P，Q同时从点B 出发，点P以2 cm/s的速度沿折线BA-AD-DC运动到点C，点Q以1 cm/s的速度沿BC运动到点C，设P，Q 同时出发t s时，△BPQ的面积为y cm2，则y与t的函数图象大致是（）A B C D 【答案】B.【解析】解：过A作AF⊥BC于E，BPC则四边形ADCF是矩形，∴AD=CF=3，CD=AF=4，∴BF=3，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB=5，P点从B运动到A点需2.5 秒，（1）当0≤t≤2.5时，过P作PE⊥BC于E，∴ PE∥AF，∴BP PE AB AF=,∴254t PE=，即PE=85t，y=12·BQ·PE=12t·85t=245t，是一段开口朝上的抛物线；（2）当2.5<t≤4时，P点在AD上运动，y=12·BQ·CD=2t，是一条线段；（3）当4<t≤6时，P点在CD上运动，y=12·BQ·CP=12t(12－2t)=6t－t2，函数图象为一段开口朝下的抛物线，综上所述，选项B 符合要求， 故答案为：B .12.如图，菱形ABCD 的边长是4 cm ，∠B =60°，动点P 以1 cm /s 的速度从点A 出发沿AB 方向运动至点B 停止，动点Q 以2 cm /s 的速度从点B 出发沿折线BCD 运动至点D 停止．若点P ，Q 同时出发，运动了ts ，记△BPQ 的面积为S cm 2，则下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C .【解析】解：当点Q 在线段BC 上时，即0≤t ≤2时，S =12BQ ·BP ·sin ∠B =122t ·（4－t=)242t t -， 图象为开口朝上的抛物线；当点Q 在线段CD 上时，即2<t ≤4时，DS=12·BP·(BC·sin∠B)=12（4－t)4t-，图象为一条直线，S随t的增大而减小；即答案为：C.13. 如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝4cm，动点P从点A出发，以lcm/s的速度沿线段AB向点B运动，动点Q同时从点A出发，以2cm／s的速度沿折线AD→DC→CB向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是x（s）时，△APQ的面积是y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）【答案】A.【解析】解：当点Q在线段AD上时，即0≤t≤1，y=12·AP·AQ=12（2t）t=t2，为开口朝上的抛物线；当点Q在线段DC上时，即1≤t≤3，y=12·AP·AD=12（2t）×2=2t，为一段线段，y随x的增大而增大；当点Q在线段CB上时，即3≤t≤4，y=12·AP·BQ=12（2t）×(8－2t)=－2t2+8t，为开口朝下的抛物线；综上所述，选项A符合要求，即答案为：A.14.如图,锐角三角形ABC中,BC=6,BC边上的高为4,直线MN交边AB于点M,交AC于点N,且MN∥BC,以MN为边作正方形MNPQ,设其边长为x(x>0),正方形MNPQ与△ABC公共部分的面积为y,则y与x的函数图象大致是( )A B C D 【答案】D.【解析】解：当PQ在边BC上时，由题意知，MN∥BC，过A作AH⊥BC于H，交MN于G，∴MN AGBC AH=,即464x x-=，解得：x=2.4，当0<x≤2.4时，正方形MNQP在△ABC的内部，∴y=x2，为开口朝上的抛物线，当2.4<x≤4时，过A作AH⊥BC于H，交MN于G，则MN AGBC AH=，即64x AG=，解得：AG=23x，∴GH=4-23 x，y=MN·GH=x(4-23x)，为开口朝下的抛物线，对称轴为：x=3，即选项D符合题意，即答案为：D.15.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,1),B0)，以线段AB为边向上作菱形ABCD，且点D在y轴上. 若菱形ABCD以每秒2个单位长度的速度沿射线AB滑行，直至顶点D落在x轴上时停止．设菱形落在x轴下方部分的面积为S，则表示S与滑行时间t的函数关系的图象为（）图1 图2A B C D【答案】A .【解析】解：由A (0,1),B 0)，得：∠ABO =30°，∠ADC =∠OAB =60（1）当点A 在x 轴上方时，菱形落在x 轴下方部分为三角形，S =12·（2t ）2，图象为开口朝上的抛物线； （2）当点A 在x 轴上方时，点C 在x 轴上方时，菱形落在x 轴下方部分为梯形，S =12·（t +t -1）－2，图象为一段线段； （3）当点C 在x 轴下方时，S 12（6-2t ）（6-2t ）t -3)2 图象为开口朝下的抛物线；综上所述，选项A 符合要求；故答案为：A .。