福建省厦门第一中学2018学年度第一学期期中考试高三年数学试卷（理科）11第Ⅰ卷（共50分）一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。

1.已知集合22{|320,},{|50,}A x x x x R B x x x x N *=-+=∈=-<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为 A ．1 B ．2 C ． 3 D ．42. 由曲线()x f x e =与直线1,1y x ==所围成的图形面积是A ．eB ．1e -C ．2e -D ．1e +3.已知命题:p x R ∀∈,22x x ≥;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是 A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧ C ．()p q ∨⌝ D ．()()p q ⌝∧⌝4．已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，则“0x >”是“a 与b夹角为锐角”的A ．必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =-，则cos sin A A -=A. 3B. 3-C. 3D.-6. 函数()2sin f x x x =-的图象大致是7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111,3()n n a a S n N *+==∈，则6S = A. 44 B.54 C.61(41)3⋅-D.51(41)3⋅-8．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a = ，BD b = ，则AF =A ．1142+a bB ．2133+a bC ．1124+a bD ．1233+ a b9．若函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若2(6)()0f a f a -+>,则实数a 的取值范围是A.(,2)(3,)-∞-+∞B.(2,3)-C. (,3)(2,)-∞-+∞D.(3,2)-10.已知函数()f x 的定义域为R ，对于任意实数x 都有(2)()f x f x +=且()()f x f x -=，当[0,1]x ∈时，2()f x x =。

若在区间[1,3]-内，()()g x f x mx m =++有且只有4个零点，则实 数m 的取值范围是A ．1[,0)4- B ．1(,0)4- C ．1(0,]4D ． 1(0,)4第1页（共4页）第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

把答案填在答题卡的相应位置。

11.若ΔABC 的面积为，2BC =，60C =︒，则角A 为 。

12．已知向量,a b 夹角为45︒，且1,2a a b =+= ；则b =。

13.在极坐标系中，点5(2,)6π到直线sin()13πρθ-=的距离是 。

14.已知函数()lg(|2|)f x x x a =-+-的定义域为R ,则实数a 的取值范围是 。

15.已知函数()sin 2f x x x -的图象为C ，则如下结论中正确的序号是 。

①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π(0)3，对称； ③函数()f x 在区间π5π[]1212-，上是增函数；④将2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度可以得到图象C ．16.某数表中的数按一定规律排列，如下表所示，从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式a = 。

过程或演算步骤。

17．（本题12分）等差数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =；等比数列{}nb 中，11b =．若3314a S +=，2212b S =（I ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设2()n n n c a b n N *=+∈，数列{}n c 的前n 项和为n T ．若对一切n N *∈不等式n T λ≥恒成立，求λ的最大值．18.（本题12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图所示．（Ⅰ） 求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）已知横坐标分别为1-、1、5的三点M 、N 、P 都在函数()f x 的图像上，记MNP θ∠=，求cos第2页（共4页）19．（本题12分）某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0.5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）．游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案．（Ⅰ）设闯过n （12n ≤且n N *∈）关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为,,n n n A B C ，试求出,,n n n A B C 的表达式；（Ⅱ）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？20．（本题12分）如图， 在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠= ．（Ⅰ）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若1PA =，=2AB ，当三棱锥P ABC -的体积最大时，在线段AC 上是否存在一点D ，使得直线BD 与平面PBC 所成角为30 ？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由。

（参考公式：棱锥的体积公式13V Sh=,其中S 表示底面积，h 表示棱锥的高）P AB第3页（共4页）21.（本题14分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>右焦点F 是抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，2(,)3M m 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且53MF =。

（Ⅰ）求1C 与2C 的方程；（Ⅱ）设(0,)(0)A t t >为y 轴上的动点，过点A 作直线l 与直线AF 垂直，试探究直线l 与椭圆1C 的位置关系。

Ks5u 22．（本题满分14分）已知函数(),x f x e R x =∈的图象与()g x 的图象关于直线y x =对称。

(Ⅰ) 若直线1y kx =+与()g x 的图像相切, 求实数k 的值；(Ⅱ) 判断曲线()y f x =与曲线2112y x x =++公共点的个数. (Ⅲ) 设a b <，比较()()2f a f b +与()()f b f a b a --的大小, 并说明理由.Ks5uKs5u第4页（共4页）2018—2018学年度第一学期期中考理科数学试题答题卷 11. ；12. ；13. ；14. ；15. ；16. 。

三.解答题：17.(本题满分12分)解：18.(本题满分12分)班级 座 姓名 准考证号解：第1页（共4页）第2页（共4页）21.（本题满分14分） 解：20.(本题满分12分) 解： 1PAB C第3页（共4页）22．（本题满分14分）解：第4页（共4页）厦门一中2018—2018学年度第一学期期中考 高三年理科数学试题参考解答 一、选择题：每小题5分，满分50分．1．D 2．C 3．B 4．A 5．D 6．C 7．B 8．B 9．C 10．A二、填空题：每小题4分，满分24分．11．30 12．1 14．2a < 15. ①② 16.222n n -+三、解答题（本大题共六小题，满分76分）17.解: （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则11(1),n n n a n d b q -=+-=，由题意得：(12)(33)14(2)12d d q d +++=⎧⎨+=⎩，……………2分 解得23d q =⎧⎨=⎩ ，……………4分 ∴121,3n n n a n b -=-=……………6分 （Ⅱ） ∵123123123212()2()(13521)2(1333)31n n n n n n T c c c c a a a a b b b b n n -=++++=+++++++++=++++-+++++=+- ……………10分∵{}n T 是递增数列，∴n T 的最小值为13T =， ……………11分 Ks5u又∵n T λ≥恒成立，∴3λ≤，故所求的λ的最大值为3 ……………12分18.解: （Ⅰ）由图可知，1A = ，∵()f x 的最小正周期428,T =⨯=∴2ππ8,.4T ωω===………………………3分又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<< ∴ππ3π444ϕ-<+<，πππ,.424ϕϕ+== ∴π()sin (1)4f x x =+ 。

……………………6分（Ⅱ） 解法一:∵ππ(1)sin (11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+=π(5)sin (51)14f =+=-，∴(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， (9)分∴MN MP PN ===3cos 5MNP ∠==-， 即3cos 5θ=- ………（11分）， 于是27cos 22cos 125θθ=-=-. …………（12分）解法二: ∵ππ(1)sin (11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+=π(5)sin (51)14f =+=-，∴(1,0),(1,1),(5,1)M N P --，……………9分(2,1),(4,2)NM NP =--=-,6NM NP ⋅=- ,NM NP === 则3cos 5NM NP MNP NM NP⋅∠===-⋅，即3cos 5θ=- ……………11分 于是27cos 22cos 125θθ=-=-. ……………12分Ks5u19.解：（Ⅰ）第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，∴40n A n =，-------2分第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是4，公差也为4的等差数列，∴2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+，------------------------4分第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是0.5，公比为2的等比数列，∴1(12)12(21)122n n n C -==--． -------------------------6分（Ⅱ）令n n A B >，即24022n n n >+，解得 19n <，∵,n N ∈且12n ≤ ，∴n nA B >恒成立． -----------------------------------8分令n nA C >，即140(21)2n n >-，可得 10n <，-------------------------------10分∴当10n <时，n A 最大；当1012n ≤≤时，n n C A >，-----------------------------11分综上，若你是一名闯关者，当你能冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案． -------------------12分 20.解：（Ⅰ）∵90PAB PAC ∠=∠= ，∴PA AB ⊥，PA AC ⊥．∵AB AC A = ，∴PA ⊥平面ABC ------------------------1分∵BC ⊂平面ABC ，∴BC PA ⊥．------------------------2分 ∵90ACB ∠= ，∴BC CA ⊥．∵PA CA A = ，∴BC ⊥平面PAC ．------------3分∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ．------------4分 （Ⅱ）由已知及（Ⅰ）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥，∴PA 是三棱锥P ABC -的高．∵1PA =，=2AB ，90ACB ∠= ，设ABC θ∠=02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则cos 2cos BC AB θθ==，sin 2sin AC AB θθ==．Ks5u12cos 2sin sin 22ABC S θθθ=⨯⨯=△，∴13P ABC ABC V S PA -=⨯△1sin 23θ=------6分 ∴当4πθ=，P ABC V -有最大值13，此时2cos 4BC π==------------7分以C 为原点，建立如图的空间直角坐标系C xyz -，则CB CP ==，设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0000CB n y CP n z ⎧⋅==⎪⇒⎨⋅=+=⎪⎩， 取1x =，得(1,0,n =，------------9分设线段AC 上的点D 的坐标为(,0,0)D t，则(,BD t t =≤≤，∵||sin30||||n BD n BD ⋅==⋅ ，解得t =， ------------11分∴在线段AC 上不存在点D ，使得直线BD 与平面PBC 所成角为30 。