任意角与弧度制知识梳理:一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。

注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

例1、若 13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。

（0,45） （180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是-960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是3π． 3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

例1、30︒；390︒；-330︒是第象限角 300︒；-60︒是第象限角585︒ ； 1180︒是第象限角 -2000︒是第象限角。

例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=④（填序号）. ①{小于90°的角}②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（B ）A ．B=A∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α 的终边所在位置. 解∵α是第二象限的角，∴k ·360°+90°＜α＜k ·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k ·360°+180°＜2α＜2k ·360°+360°（k ∈Z ），∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.（2）∵k ·180°+45°＜2α＜k ·180°+90°（k ∈Z ）， 当k =2n （n ∈Z ）时，n ·360°+45°＜2α＜n ·360°+90°； 当k =2n +1（n ∈Z ）时，n ·360°+225°＜2α＜n ·360°+270°. ∴2α是第一或第三象限的角. 拓展：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？∵α是第三象限角，∴180°+k ·360°＜α＜270°+k ·360°（k ∈Z ），60°+k ·120°＜3α＜90°+k ·120°. ①当k =3m (m ∈Z )时，可得60°+m ·360°＜3α＜90°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第一象限. ②当k =3m +1 (m ∈Z )时，可得180°+m ·360°＜3α＜210°+m ·360°（m ∈Z ). 故3α的终边在第三象限. ③当k =3m +2 （m ∈Z ）时，可得300°+m ·360°＜3α＜330°+m ·360°（m ∈Z ）. 故3α的终边在第四象限.综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和。

（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ 即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。

终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。

例1、（1）若θ角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4θ的角终边相同的角为。

若θ角的终边与8π/5的终边相同则有：θ=2kπ+8π/5 (k 为整数)所以有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5当：0≤kπ/2+2π/5≤2π有：k=0 时，有2π/5 与θ/4角的终边相同的角k=1 时，有9π/10 与θ/4角的终边相同的角（2）若βα和是终边相同的角。

那么βα-在 X 轴正半轴上 例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1） 210-；（2）731484'- ．例3、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[]1260180，-∈θ． 2、终边在坐标轴上的点：终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ3、终边共线且反向的角：终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ4、终边互相对称的角：若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk例1、若θα+⋅= 360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是（）。

A.重合B.关于原点对称C.关于x 轴对称D.有关于y 轴对称 例2、将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式（1） π319 （2） 315- 例3、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360| ,{}Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360| ,求B A ,B A . 二、弧度与弧度制1、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度定义：长度等于的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

o r C 2rad 1rad r l=2r o AA B如图：∠AOB=1rad ，∠AOC=2rad ， 周角=2πrad注意：1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02、角α的弧度数的绝对值 r l=α（l 为弧长，r 为半径）3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度角度与弧度的互换关系：∵ 360︒=rad 180︒=rad∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫⎝⎛=πrad注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 例1、 把'3067 化成弧度 解：⎪⎭⎫⎝⎛=2167'3067∴rad rad ππ832167180'3067=⨯=例2、 把rad π53化成度 解： 1081805353=⨯=rad π例2、将下列各角从弧度化成角度（1）36π rad （2）2.1 rad （3） rad π53例3、用弧度制表示：1︒终边在x 轴上的角的集合 2︒终边在y 轴上的角的集合3︒终边在坐标轴上的角的集合解：1︒终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ2︒终边在y 轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k S ,2|2ππββ 3︒终边在坐标轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k S ,2|3πββ三、弧长公式和扇形面积公式r l α= ；22121r lR S α== 例1、已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是1或4.例2、若两个角的差为1弧度，它们的和为 1，求这连个角的大小分别为。

例3、 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π⑵ 165 解：cm r 10=⑴： )(3401034cm r l ππα=⨯=⋅= ⑵：rad rad 1211)(165180165ππ=⨯= ∴)(655101211cm l ππ=⨯= 例4、（1）一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？（2）一扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解（1）设扇形的圆心角是θrad ，因为扇形的弧长是r θ,所以扇形的周长是2r +r θ.依题意，得2r +r θ=πr ,∴θ=π-2=(π-2)×︒⎪⎭⎫ ⎝⎛π180 ≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′,∴扇形的面积为S =21r 2θ=21（π-2）r 2. （2）设扇形的半径为r ，弧长为l ，则l +2r =20,即l =20-2r (0＜r ＜10)①扇形的面积S =21lr ，将①代入，得 S =21(20-2r )r =-r 2+10r =-(r -5)2+25, 所以当且仅当r =5时，S 有最大值25.此时l =20-2×5=10,α=rl =2. 所以当α=2 rad 时，扇形的面积取最大值.例5、（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形半径为R ，中心角为θ，所对的弧长为l .（1）依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,102,4212R R R θθ∴2θ2-17θ+8=0,∴θ=8或21. ∵8＞2π,舍去,∴θ=21. (2)扇形的周长为40,∴θR +2R =40，S =21lR =21θR 2=41θR ·2R ≤41100222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+R R θ. 当且仅当θR =2R ,即R =10,θ=2时面积取得最大值，最大值为100.（七）任意角的三角函数（定义）1． 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ），则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r2．比值ry 叫做α的正弦 记作： r y =αsin ；比值r x 叫做α的余弦 记作： r x =αcos 比值xy 叫做α的正切 记作： x y =αtan ；比值y x 叫做α的余切 记作： y x =αcot 比值x r 叫做α的正割 记作： xr =αsec ；比值y r 叫做α的余割 记作： y r =αcsc 注意突出几个问题：①角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。