第十五讲 竞赛真题选讲
1. 明明妈妈在购物时发现一个有趣的现象，她每次付款时钱包内的钱数正好是所
付金额的5倍，她结帐两次后钱包内还剩320元，请问在一开始购物前她钱包内有多少钱？（小机灵杯，第十二届决赛） 【解析】 每次付款时，钱包内的金额是所付金额的5倍，则付完钱后，钱包内的金额是所付金额的5-1=4倍，所以第二次付了320(51)80÷-=（元），付款前有400580=⨯（元），第一次付了400(5-1)100÷=（元），付款前有5005100=⨯（元）。
2. 3根火柴可以摆成一个小三角形。
下图用很多根火柴摆成了一个中空的大三角
形。
已知大三角形外沿上每条边都是20根火柴。
摆成这个图共需要多少根火柴？（走美杯，第六届决赛）
【解析】 不难发现图中的火柴的摆放只有三种不同方向的放法，我们可以一一求出每个方向火柴的数量。
每个方向均有火柴7423-2020191=⨯+++）（(根)。
故一共需要火柴222374=⨯（根）。
3. 有A 、B 、C 、D 四个点从左向右依次排在一条直线上。
以这四个点为端点，
可以组成6条线段。
已知这6条线段的长度分别是14、21、34、35、48、69（单位：毫米），那么线段BC 的长度是多少毫米？（中环杯，第十三届初赛） 【解析】 这4个点组成了3条基本线段，而这三条基本线段的长度和应为6条线段中最长的线段，即长度为69毫米。
由于14213469++=。
所以3条基本线段的长度分别为14毫米、21毫米、34毫米。
那么35毫米和48毫米则为含2条基本线段的线段长度。
由于351421=+,481434=+,其中14用到了2次，所以作为中间的基本线段BC 的长度应为14毫米。
4. 玉米炮有单筒玉米炮、双筒玉米炮、三筒玉米炮三种。
单筒玉米炮每次发射一
根玉米，可以消灭8个僵尸；双筒玉米炮每次发射2根玉米，每根玉米消灭7个僵尸，三筒玉米炮每次发射3根玉米，每根玉米消灭6个僵尸。
玉米炮一共开炮
了5次发射玉米11根，至少消灭了多少个僵尸？（走美杯，第十届初赛B 卷） 【解析】 开炮5次发射11根玉米，有以下几种组合方式： 单筒玉米炮
双筒玉米炮
三筒玉米炮
消灭僵尸（单位：个）
2次 0次 3次 70812633=⨯⨯+⨯⨯ 1次 2次 2次 72811722632=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
0次
4次
1次
74724631=⨯⨯+⨯⨯
所以，至少消灭70个僵尸。
5. 将正整数按顺序无间隔地排成一排Λ0111213141234567891在199和200之间第
一次出现了“1992”四个数字相接。
那么第二次出现“1992”四个数字相接时是在哪两个数之间？（小机灵杯，第十一届初赛） 【解析】 根据“1992”的断处来确定是哪两个数之间，这一次出现在199和2之间断掉，下一次出现应往前移动一个，在19和92之间断掉，此时表示的两个数应为919和920。
6. 有6个数：1,3,9,27,81,243。
从这6个数中每次或者取一个，或者取几个不
同的数求和（每个数只能取一次），可以得到一个新数，这样共可得到63个新数，如果把它们从小到大依次排列起来是1,3,4,9，……那么第58个数是多少？（小机灵杯，第十一届初赛） 【解析】 这6个数的和是3642438127931=+++++，即第63个新数是364，第62个新数是3631-364=，第61个新数是3613-364=，第60个新数是35431-364=+）（，第59个新数是3559-364=；第58个新数是35491-364=+）（。
7. 桌面上有1,3,5,7,9五种数字卡片，每种卡片各30张，我们至少从中取出几
张数字卡片，可以确保取出的卡片上的数之和可以分别为1,2,3，……，200这200种情况?（小机灵杯，第十二届决赛） 【解析】 为使和为1,2，至少要取2张1，要使和为3，此时可取1张1或3，但是为尽可能少的取卡片，取1张3比较好，此时和为4，5的情况也已满足。
考虑和为6，此时可以取1张1或3或5，为尽可能少的取卡片，取1张5比较好，此时和为6,7,8,
9,10的情况已满足。
由于此时1到10均已满足，接下来每取1张9可使接下来的连续9个和满足，即接下来只要取9即可。
所以只要使最后所有卡片之和达到200或以上即可，(20010)9211-÷=L L ，所以接下来至少需要21122+=（张）卡片。
因此总
共至少取42226+=（张）卡片。
8. 小聪和小明在做一道三位数加两位数的思维训练题。
小聪计算出的结果是136，
小明计算出的结果是244。
老师检查时发现小明做错了，错误的原因是小明把三位数百位上的数字和两位数十位上的数字相加了，而三位数十位上的数字与两位数个位上的数字相加了。
请问：这道题的两个加数各是多少？（中环杯，第十二届决赛） 【解析】 小聪的加法是三位数加上二位数的一倍，而小明的加法是三位数加上二位数的10倍，多加了91-10=倍，多出了108136-244=，故两位数的加数为
121-10108=÷）（，三位数的加数为 12412-136=。
9. 甲、乙、丙三数之和是70，甲数除以乙数，与乙数除以丙数都是商3余1，乙
数是多少？（小机灵杯，第十届复赛）
【解析】 依题意可知，乙数比丙数的3倍多1，甲数比乙数的3倍多1。
由此可见，丙数最小，把丙数看成1份数，则乙数比3份数多1，甲数比933=⨯份数多4113=+⨯。
则1份数为 59314-1-70=++÷）（）（，从而乙数为16153=+⨯。
10. 今年甲、乙俩人年龄的和是70岁。
若干年前，当甲的年龄只有乙现在这么大时，
乙的年龄恰好是甲年龄的一半。
问：甲今年多少岁？（华杯赛，第17届小中组决赛） 【解析】 可画如下线段图：
1倍量为143270=+÷
）（（岁），所以甲今年42314=⨯（岁）。
11. 在长120米的直道上，从距离起点4米处开始，依次重复地轮换插上红、黄、蓝
三种彩旗，相邻的两面彩旗间间隔4米。
问距离起点88米的地方插不插旗？如果插，插的是什么颜色的旗？（中环杯，第十一届决赛） 【解析】 这是一端不种的植树问题。
从起点到88米处，共有22488=÷（段），由
于棵数=段数，所以插了22面旗，17322ΛΛ=÷，所以88米处插的是红旗。
12. A 、B 、C 、D 、E 五个盒子中依次有9个、5个、3个、2个、1个小球，第
一个同学找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各拿出1个小球放到这个盒子里，第二个同学找到放球最少的盒子，然后从其他盒子中各拿出1个小球放到这个盒子里……，当第199个同学放完后，A 、B 、C 、D 、E 五个盒子中各有多少个小球？（春蕾杯，第九届决赛） 【解析】 这个题目看似有点复杂，下面我们将前8位同学放过后，A 、B 、C 、D 、
E 五个盒子中球数的变化情况列出来，如下表所示：
盒子 A B C D E
9 5 3 2 1 第1个人放过后 8 4 2 1 5 第2个人放过后 7 3 1 5 4 第3个人放过后 6 2 5 4 3 第4个人放过后 5 6 4 3 2 第5个人放过后 4 5 3 2 6 第6个人放过后 3 4 2 6 5 第7个人放过后 2 3 6 5 4 第8个人放过后
6
2
5
4
3
从上述表格中，我们不难发现，第8个人放过后与第3个人放过后5个盒子中球的情况相同，所以从第3个人放过后，每经过5人，5个盒子中球的情况重复出现1次。
而2395)2991(ΛΛ=÷-，所以第199次放完后的情况与第4次)422(=+放完后的情况相同，A 、B 、C 、D 、E 盒中依次有5、6、4、3、2个球。
13. 如下图是一片刚收割过的麦田，每个小方块的边长是10米。
A 、B 、C 三点周
围的黑圈是一小片圆形水洼，一只小鸟，飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位置，过了一会儿，它越过水洼，飞到关于A 点对称的1号位置；不久它又飞到关于B 点对称的2号位置；接着，它飞到关于C 点对称的3号位置，再飞到关于A 点对称的4号位置，接着飞到关于B 点对称的5号位置，……，如此继续，
一再对称的飞下去。
由此推断，2013号位和0号位之间的距离是多少米？（小数报杯，第五届决赛）
【解析】 从下图可以看出第6号位与第0号位重合。
所以是以周期为6循环运动的。
333562013ΛΛ=÷，则2013号位与3号位重合，所以2013号位和0号位之间的距
离是20210=⨯（米）。
14. 小花猫和小白猫一起吃鱼。
小花猫每分钟吃一条鱼，但每吃1分钟要休息3分钟；
小白猫每分钟吃2条鱼，但每吃1分钟要休息1分钟。
问：它们吃完30条鱼需要多少分钟？（中环杯，第十一届初赛） 【解析】 可画下列图：
观察上图可发现，每4分钟这两只猫共吃鱼 5221=++（条）
，且每4分钟的最后一分钟都是休息，6530=÷，所以吃完30条鱼需要23164=-⨯（分钟）。
2条
2条
2条
1条
2条
1条
2条
1条
2条
2条
1条小白猫小花猫14
131211102
1。