统计与概率
第1讲 统 讲
计
①总体、个体、样本、样本容量等 了 解 概念；②频数、频率的概念． ①中位数、众数的概念；②极差、 方差、标准差的意义；③用扇形 理 解 统计图，条形统计图以及折线统 计图描述数据的异同． ①调查的两种方式：抽样调查和普 查；②平均数、中位数、众数的 掌 握 计算方法，区别联系；③条形统 计图、折线统计图和扇形统计图 的特点及应用．
请你将频数分布表和频数分布直方图(图8－ 1－4所示)补充完整．
思路分析：观察频数分布表知，频数为10 时的频率等于0.2，根据“ ＝频率”
可计算出总数(样本容量)，再由计算出的 ( ) 总数代入公式分别计算出各组的频数或频 率，再填入表格．在频数分布直方图中找 出第二、四组对应的频数，补全直方图．
【例2】物理兴趣小组20位同学在实验操作 中的得分情况如下表： 10 9 8 7 得分(分) 5 8 4 3 人数(人)
问：(1)求这20位同学实验操作得分的众数、 出现次数最多的数，8 人得 9 分，9 分出现次数最多；中 中位数； 位数将这 20 名同学的成绩按大小顺序排列后，第 10、11
1 (2)这20位同学实验操作得分的平均分是多 名同学的平均成绩．(2)代入加权平均数计算公式 x ＝ n 少？ (x1f1＋x2f2＋…＋xkfk)(f1＋f2＋…＋fk＝n)．
【例5】光明中学七年级甲、乙、丙三个班 中，每班的学生人数都为40名，某次数学 考试的成绩统计如下：(每组分数含最小值， 不含最大值)
丙班数学成绩频数统计表 50～ 分数 60 1 人数 60～ 70 4 70～ 80 15 80～ 90 11 90～ 100 9
请根据以上图(如图8－1－6)表提供的信息， 确定80～90分这一组人数最多的是哪个 班．
本部分主要是些综合性解答题，包括统计 中多方面的知识，综合考查对各种统计的 特征量，统计量，统计图的应用，类型有： 根据统计表或统计图计算数据的平均数、 众数或中位数；利用已知图表信息求极差、 方差从而确定数据稳定性；给出一组或几 组数据，对其进行处理，再比较优劣；综 合数据集中趋势，波动情况结合频数或频 率分布直方图或折线图做出决策等问题．
【例4】(2010·潼南)根据市教委提出的学 生每天体育锻炼不少于1小时的要求，为确 保每天体育运动时间得到落实，某校对九 年级学生每天参加体育锻炼的时间作了一 次抽样调查，频数分布表其中部分结果记 时间分组(小时) 频数(人数) 频率 录如下： 10 0.2 0≤t＜0.5 0.4 0.5≤t＜1 10 0.2 1≤t＜1.5 0.1 1.5≤t＜2 5 2≤t＜2.5 1 合计
答案：直方图如图8－1－5所示. 答案
时间分组(小时) 0≤t＜0.5 0.5≤t＜1 1≤t＜1.5 1.5≤t＜2 2≤t＜2.5 合计 频数(人数) 10 20 10 5 5 50 频率 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1 1
常见统计图有扇形图、条形图、折线图， 它们各有优缺点，分别重点反映了数据中 某一部分所占的百分比，各部分具体数目， 数据的变化趋势．考题主要涉及(1)根据实 际问题选择其中的统计图描述数据；(2)统 计图之间的相互转化；(3)综合其中两种统 计图进行计算．要明确各种统计图的构成， 图中各部分所表示的意义．
A．要了解一批节能灯的使用寿命，采用 普查方式 B．调查你所在班级同学的身高，采用抽 样调查方式 C．环保部门调查沱江某段水域的水质情 况，采用抽样调查方式 D．调查全市中学生每天的就寝时间，采 用普查方式
平均数、中位数和众数作为数据的代表， 是历年中考必考内容，重点是计算一组数 据的平均数或加权平均数，找出一组数据 的中位数或众数．难点是根据实际问题判 断这三种数哪一个最能反映一组数据的平 均水平．解答时，一定熟记平均数的计算 公式，平均数、众数、中位数各自的意义， 它们的优缺点．
四、数据的波动
最大 最小
1 ． 极 差 ： 一 组 数 据 中 ________ 数 据 与 ________数据的差叫极差．
数 平均
2．方差：方差是各个数据与平均数之差的 平 方 的 ________ ， 即 s2 算术平方根 ＝
________________________________.( 其 中， 代表x ，x ，…，x 的平均数，s2表
收集数据的方式，即获得数据采取的方法一 般为普查和抽样调查．很多考题结合生活中 的实际问题，依据两种调查方式的特点，判 断采用哪种方式进行调查．此类型问题近年 出现频率较高，解题时一要彻底掌握两种方 式的优缺点，二要考虑实际情况以选择既准 确又快捷的调查方式．
【例1】下列调查方式中适合的是 ( )
友情提示： 极差、方差、标准差是刻 画数据离散程度的三个量．极差反映数据 的波动范围，计算方便；方差、标准差反 映事物的稳定性，方差、标准差越大，说 明其稳定性越差；方差、标准差越小，说 明其数据在平均水平上下波动不大，稳定 性就越强．
五、频数与频率 次数 1．频数表示每个对象出现的________． 总数 2．频率表示每个对象出现的次数与 ________的比值．(或百分比) 友情提示： 所有频数总和等于这组数 据的总数；所有小组的频率之和等于1.
一、数据的收集 1．调查方式： 全面 (1)普查：为了一定目的而对考察对象进行的 ________调查，称为普查． 一部分个体 (2)抽样调查：人们从总体中抽取__________ 进行调查，这种调查称为抽样调查．
2．总体、个体和样本： 全体 (1)总体：所要考察的对象的________叫做 总体，组成总体的每一个________叫做个 对象 体． 对象 (2) 从 总 体 中 抽 取 的 一 部 分 用 于 调 查 的 ________叫做总体的一个样本． 数目 (3) 样 本 容 量 ： 样 本 中 所 包 括 的 个 体 的 ________叫做样本容量．
【例6】一方有难，八方支援.2010年4月14 日青海玉树发生7.1级强烈地震，给玉树人 民造成了巨大的损失．灾难发生后，实验 中学举行了爱心捐款活动，全校同学纷纷 拿出自己的零花钱，踊跃捐款支援灾区人 民，小慧对捐款情况进行了抽样调查，抽 取了40名同学的捐款数据，把数据进行分 组、列频数分布表后，绘制了频数分布直 方图，图中从左到右各长方形高度之比为 3∶4∶5∶7∶1(如图8－1－7所示)．
思路分析：根据三种图表比较三个班80～ 90分的人数，就是利用各图表分别求出三 个班在80～90分的人数．甲班为频数分布 直方图，除80～90分组其它组的频数能直 接读出，用总数减去其它各组频数即80～ 90分组的人数；乙班为扇形统计图，80～ 90分组的比例可由1－35%－10%－5%－ 20%计算得出，丙班直接由表格获得． 解：甲班在80～90分的频数为40－2－5－ 12 － 8 ＝ 13. 乙 班 在 80 ～ 90 分 的 频 数 为 ： 40×(1－35%－10%－5%－20%)＝12. 丙班由表格直接看出在80～90分的人数为 11人，所以80～90分这一组人数最多的是
【例3】(2010·浙江)如图8－1－3所示是甲、 乙两射击运动员的10次射击训练成绩(环数) 的折线统计图，观察图形，甲、乙这10次射 击成绩的方差s，s之间的大小关系是 ________．
1 思路分析：求方差需利用公式 s ＝n[(x1－ x )2 ＋(x2 － x )2＋…＋(xn－ x )2]计算，这样根据图中反映的甲、乙 两运动员的成绩求出平均成绩 x 甲、x 乙，代入公式便算出 s2 和 s2 . 甲 乙
思路分析：(1)由众数的定义知，该组数据的众数是
解：(1)得9分的人数最多，共8人，故该组 数据的众数为9分，将20名同学成绩按大小 排列后第10、11名同学的成绩都是9分，故 中位数为9分．
所以这20名同学实验操作得分的平均分是 8.75分．
本考点主要考查计算一组数据的极差、方差或标准 差，利用极差、方差以及标准差反映数据的波动大小从 而确定哪组数据更稳定；由已知数据的平均数计算数据 的方差，此类问题的解答，一要熟记方差公式，二是明 确公式中各字母表示的意义.
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本部分包括根据频数、频率的概念，由已 知频数、总数计算相应频率，由频率和总 数计算频数，由频数和频率计算总数；根 据频数，频率分布表制作或补全频数分布 直方图以及频率分布直方图；把一组数据 适当分组后作频数(或频率)分布直方 图．该考点是必考内容之一，题型选择、 填空、解答都有，掌握好频数、频率的概 念，明确样本估计总体的方法是解题的基 础．
2．众数和中位数：一组数据中出现 次数最多 ________的那个数据叫做这组数据的众数； n个数据按大小顺序排列，处于________位 中间 平均数 置的一个数据(或最中间两个数据的 ________)叫做这组数据的中位数． 友情提示：平均数的计算用到所有的数据， 在现实生活中较为常用，但它受极端值的 影响；中位数是唯一的，仅与数据的排列 位置有关，它不能充分利用所有数据；众 数可能一个，也可能多个，它一定是这组 数据中的数．
1．(2010·重庆)下列调查中，适宜采用全 面调查(普查)方式的是 ( D) A．对全国中学生心理健康现状的调查 B．对市场上的冰淇淋质量的调查 C．对某市市民实施低碳生活情况的调查 D．对我国首架大型民用直升机各零部件 的检查
2．(2010·益阳)某班体育委员记录了第一 小组七位同学定点投篮(每人投10个)的情 况，投进篮筐的个数为6,10,5,3,4,8,4，这组 数据的中位数和极差分别是 C ( ) A．4,7 B．7,5 C．5,7 D．3,7
变化
三、数据的代表 1．平均数：一组数据的平均值．平均数能够反映一 组数据的平均水平，n 个数据 x1，x2，…，xn 的平均数为： x ＝________________________________；加权平均数： 当所给的 n 个数据中，x1 出现 f1 次，x2 出现 f2 次，…，xk 出现 fk 次， x ＝_____________________________.(其中 则 f1＋f2＋f3＋…＋fk＝n)