一、判断正误20% （每小题2分）1、设A.B. C是任意三个集合。

（1）若A∈B且B⊆C，则A⊆C。

（）（2）若A⊆B且B∈C，则A⊆C。

（）（3）若A⊆B且B∈C，则A∉C。

（）（4）A)()()(CABACB⊕=⊕。

（）（5）(A–B)⨯C=(A⨯C)-(B⨯C)。

（）2、可能有某种关系，既不是自反的，也不是反自反的。

（）３、若两图结点数相同，边数相等，度数相同的结点数目相等，则两图是同构的。

（）４、一个图是平面图，当且仅当它包含与Ｋ3，3或Ｋ5在２度结点内同构的子图。

（）５、代数系统中一个元素的左逆元并一定等于该元素的右逆元。

（）６、群是每个元素都有逆元的半群。

（）二、8%将谓词公式)),()()()(()),()()((zyQzyPyyxQxPx∃∧∃→→∀化为前束析取范式与前束合取范式。

三、8%设集合Ａ＝{a,b,c,d}上的关系Ｒ＝{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}写出它的关系矩阵和关系图，并用矩阵运算方法求出Ｒ的传递闭包。

四、9%１、画一个有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路的图。

２、画一个有一条欧拉回路，但没有一条汉密尔顿回路的图。

３、画一个有一条欧拉回路，但有一条汉密尔顿回路的图。

五、10%证明：若图Ｇ是不连通的，则Ｇ的补图G 是连通的。

六、10%证明：循环群的任何子群必定也是循环群。

七、12%用ＣＰ规则证明：１．F A F E D D C B A →⇒→∨∧→∨,。

２．∃∨∀⇒∨∀(()()())()()((x P x x Q x P x )()x Q x 。

八、10%用推理规则证明下式：前提: ))()()(()),()()(())()()(((y W y M y y W y M y x S x F x ⌝∧∃→∀→∧∃结论：⌝→∀)()((x F x S ))(x九、13%若集合Ｘ＝｛（１，２），（３，４），（５，６），……｝ }|,,,{12212211y x y x y x y x R +=+>><><<=1、证明R 是X 上的等价关系。

2、求出X 关于R 的商集。

一、 填空 20%（每小题2分）二、8%)),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃→→∀⇔ ⌝)),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃∨∨⌝∀ ⇔ )),()()()(()),()()((z y Q z y P y y x Q x P x ∃∧∃∨⌝∧∃ 2分 ⇔)),()()()(()),()()((z y Q z u P u y x Q x P x ∃∧∃∨⌝∧∃ 4分 ⇔ ))),()(()),()()(()()((z y Q u P y x Q x P z u x ∧∨∧∃∃∃ 6分 前束析取范式))),(),(())(),(()),()(())()()(()()((z y Q y x Q u P y x Q z y Q x P u P x P z u x ∨⌝∧∨⌝∧∨∧∨∃∃∃⇔前束合取范式 共8分三、8%RM=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00100001010010 1分 关系图2分传递闭包t(R) =∞=1i U R i==ii R U 41= 4分RRRMMM=2= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000100001010010 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000100001010010 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000010100101 R RRM MM23= =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000010100101 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000100001010010=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡000000001011010R RRM MM34= =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000001011010⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00100001010010=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000010100101 432RRRRMMMM+++ =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00100011111111 6分t(R)={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<b,d>,<c,d>} 共8分 四、9%五、10%因为G=< V ，E>不连通，设其连通分支是)2()(,),(1≥m V G V G m ，由于任两个连通分支)(i V G 和)()(j i V G j ≠之间不连通，故两结点子集j i V V 与之间所有连线都在G 的补图G 中。

V v u ∈∀,，则有两种情况：（1）u , v ，分别属于两个不同结点子集V i 和V j ，由于G(V i ) , G(V j )是两连通分支，故(u , v)在不G 中，故边（u , v ） 在G 中连通。

（2）u ,v ，属于同一个结点子集V i ，可在另一结点子集V j 中任取一点w ，故边(u , w)和边 (w , v )均在G 中，故邻接边( u ,w ) ( w , v ) 组成的路连接结点u 和v ，即u , v 在G 中也是连通。

六、10%设<G ,*>是循环群,G=(a)，设<S,*>是<G ,*>的子群。

且G S e S ≠≠},{，则存在最小正整数m ，使得：S a m ∈，对任意S a l ∈，必有0,0,><≤+=t m r r tm l ，故：S a a a a a a t m l tm l tm l r ∈===---)(** 即：S a a a t m r l ∈=)(*所以S a r ∈，任m 使S a m ∈的最小正整数，且m r <≤0，所以r=0即：t m l a a )(= 这说明S 中任意元素是m a 的乘幂。

所以<G ,*>是以m a 为生成元的循环群。

七、用CP 规则证明12% 1、(6分) ①A P （附加前提） ②B A ∨T ①I ③D C B A ∧→∨ P ④D C ∧ T ②③I ⑤D T ④I ⑥E D ∨ T ⑤I ⑦F E D →∨ P ⑧F T ⑥⑦I ⑨F A →CP2、因为)()()()()(x xQ x P x x xQ x xP ∃→∀⌝⇔∃∨∀ 本题亦即：)()()())()((x xQ x P x x Q x P x ∃→∀⌝⇒∨∀ ①)()(x P x ∀⌝ P （附加前提） ②)()(x P x ⌝∃ T ①E ③)(e P ⌝ES ② ④))()((x Q x P x ∨∀ P ⑤)()(e Q e P ∨ US ④ ⑥)(e Q T ③⑤I ⑦)()(x Q x ∃EG ⑥⑧)()()(x xQ x P x ∃→∀⌝ CP八、10%⑴))()((y W y M y ⌝∧∃ P ⑵)()(e W e M ⌝∧ ES ⑴ ⑶))()((e W e M →⌝ T ⑵E ⑷))()((y W y M y →⌝∃ EG ⑶ ⑸))()()((y W y M y →∀⌝T ⑷E⑹))()()(())()()((y W y M y x S x F x →∀→∧∃ P ⑺))()((x S x F x ∧⌝∃ T ⑸⑹I ⑻))()(()(x S x F x ∧⌝∀ T ⑺E ⑼))()((a S a F ∧⌝ US ⑻ ⑽)()(a S a F ⌝∨⌝ T ⑼E ⑾)()(a S a F ⌝→ T ⑽E ⑿))()()((x S x F x ⌝→∀ UG ⑾九、13%（1）自反性：R y x y x y x y x X y x >∈<+=+∈∀),(),,(,,),(故由于 (2) 对称性：时当R y x y x X y x y x >∈<∈∀),(),,(,),(),,(22112211 R y x y x y x y x y x y x >∈<+=++=+),(),,(112221121221有亦即（3）传递性：,),(),,(),,(332211X y x y x y x ∈∀时当R y x y x R y x y x >∈<>∈<),(),,(,),(),,(33222211R y x y x y x y x y x y x y x y x >∈<+=+⎩⎨⎧+=++=+),(),,(3311133123321221故相加化简得即由等价关系的定义知R 是X 上的等价关系。

2、X/R={[<1,2>]R }。