7 ( 23)
Κ A + Κ B ) , 如图 2 3c 所示。 无论那种情况, 均使原区间 ( Κ A , Κ B )减 半, 并保持为开区间。取新区间的中点值作为 Κ 值再次代入式 ( 16 ) , 重复上述计算直至满足精 间的后半段, 而原区间变为 ( Κ A ,
式中 Κ A n、 B n —— n 次计算后 Κ取值区间的起、 Κ 终点值 1 证 明式 ( 22 ) : 如以 ( Κ A n+ Κ B n ) 为计算结果, 则 2 按精度控制定义有 1 (Κ ( 24) A n+ Κ B n) - Κ D < Ε Κ 2 Κ D 肯定在开区间 ( Κ A n, Κ B n ) 内, 因而 Κ A n+ Κ Bn 1 ( 25) - Κ D < B n- Κ An Κ 2 2 1 必成立。若 Κ , B n- Κ A n < 2Ε Κ即 Κ B n- Κ An < Ε Κ 2 1 (Κ 必有 , 因此用式 ( 22 ) 作 B n+ Κ A n) - Κ D < Ε Κ 2 为精度控制式是正确的。 另一方面, 当某次计算中选取的 Κ值恰好 与Κ D 非常接近, 使得式 ( 16 ) 计算后满足 ( 26) N - N ’< Ε N 则计算也可结束。 式 ( 26) 中的 Ε N 为冷却数的精 度控制参数, 为了和 Κ的精度要求一致, Ε N 可 由Ε Κ 计算出来, 计算公式及推导过程从略。 上述数学模型可圆满解决冷却塔热力计算 的第一类问题, 对于第二类问题 ( 校核计算) 可 在此基础上略作改进即可。 以上述数学模型编 制的计算机软件使用方便, 计算准确可靠, 可在 工程设计及教学科研中予以应用。 4 参考文献

∫
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1996 V o l . 12 N o. 5
中国给水排水 Κ D=
1 (Κ A n+ Κ B n) 2
4
中国给水排水
1996 V o l . 12 N o. 5
论述与研究
冷却塔热力计算的数学模型
王启山
( 天津城市建设学院)
摘 要
以麦克尔焓差理论为基础, 建立了便于使用计算机技术的冷却塔热力计算数学模型, 重点解决了数值积分、 精度控制、 气水比的最大合理取值区间及气水比设计值的求定等。 为冷却塔的设计和校核提供方便而又准确的计算方法。 关键词 冷却塔; 热力计算; 焓差; 数学模型
a b
。 要使数值积分达到一定的精确度, d x 的真值 I 需要在计算程序中设置精度控制语句, 当分点 数达到 n 时的数值积分值与真值 I 的差值小于 精度控制限 Ε , 即可完成积分计算。 当未达到精 度要求时, 则由控制语句使计算进入分点数加 倍后的下一次积分计算。 2. 3 龙贝格 (Rom berg ) 方法的引用 [ 3 ] 为了使积分值具有辛普森积分的较高精确 度又能节省计算工作量, 使每次计算时能利用 上次计算中已经算出分点上的函数值, 引用龙 贝格方法, 即把辛普森积分公式表示为梯形积 分公式分点加倍前后两次积分结果的线性组 合, 这给编制程序带来很大的便利。 在式 ( 5) 中, 令:
1
K ( i" - i)
∫
a
b
f (x ) d x = h [
1 (f 0 + f n ) + 2
n- 1
∑f
i= 1
i
] ( 5)
式中符号同式 ( 4) ( 5) 中, 若函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 区间 在式 ( 4) 、 连续, 则等式右端的值当 n →∞时趋于
f (x ) ∫
∑
∑
为了便于计算机的运算, 需对辛普森积分作一 些改进。
2. 2 梯形积分法
与式 ( 4) 相应的复合梯形积分公式[ 2 ] 为:
倍后的积分值等于分点加倍前的积分值的一半 加上一个量, 这个量等于分点加倍后新增加的 分点上的函数值与新区间长度的乘积。 这样每 次分点数加倍后, 只需计算新增加的分点上的 函数值, 节省了一半的计算量。 这时再引用龙贝 格法则, 用梯形积分公式分点加倍前后两次积 分值的线性组合来表示辛普森积分公式: 1 ( 9) Y 2n = [ 4S 2n - S n ] 3 2. 4 误差分析 使用计算机进行计算时的误差可分为舍入 误 差 和 截 断 误 差 [ 3 ]。 由 于 被 积 函 数 f (x ) =
1996 V o l . 12 N o. 5 2 数值积分的数学模型
[2] 2. 1 辛普森 ( Si m p son ) 数值积分
中国给水排水
n- 1
5
由于式 ( 2) 右端的积分无法求得原函数, 采 用辛普森法用抛物线近似代替被积函数曲线进 行数值积分, 比梯形积分公式有较高的精确 度 。 若把积分区间分为 n 等分, 并在每个子区 间上引用辛普森积分公式, 得到复合辛普森公 式:
作者简介: 环境工程系主任 副教授 通讯处: 300381 天津市西青区津静公路
环境保护是利在当代、 福及子孙的大事。
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其他符号同前 亦即使空气焓值在塔内达到最大的气水比 Κ 值, 实际上空气焓的最大值只能达到与进塔水 温相应的饱和空气焓, 即: t1 - t2 ( 18) i= i" 1 = i1 + KΚ 式中 i" 1 —— 与进塔水温 t 1 相应的饱和空气 焓, kJ kg 由此得出: t1 - t2 ( 19) Κ A = " K ( i1 - i1 ) 式中 Κ A —— Κ最大合理取值区间的起点值 3. 2 Κ最大合理取值区间终点值 理论上, Κ的最大值没有限制, 当 Κ →∞空 气的焓增量 ∃H → 0 时, 冷却塔内各点的焓差 推动力最大, 冷却能力亦最大。 但是, Κ值过大 不仅经济上不允许而且会造成短路风道、 降低 冷却效果, 这已被实践所证实。内田秀雄认为 Κ 值取 0. 8 ～ 1. 5 为宜[ 4 ]; 而 K. K 莫凯洛维 ( 克 (M axy ～ 1. 5 为宜[ 5 ] , 并指出出塔 B rooke ) 认为以 0. 75 空气的焓应相当于与进、 出塔水温平均值相应 的饱和空气焓。因此, Κ的最大值使空气焓在出 塔时达到与出塔水温 t2 相应的饱和空气焓, 即 t1 - t2 ( 20) i" 2 = i1 + KΚ 式中 i" 2 —— 与出塔水温相应的饱和空气焓,
数值不大, 在进行有限次运算中受计
算机字长限制形成的舍入误差可忽略不计。 主 要考虑数学模型本身的截然误差, 而截断误差 是由有限次运算代替无限次运算造成的, 对于 辛普森积分公式截断误差即为其积分公式的余 项[ 3 ] I - Y n =
b- a f
(4)
180
(Ν )(
h
2
)4
( 10)
式 ( 10 ) 表明截断误差和积分步长 h 的4 次方成 正比。 因此, 分点数加倍而积分步长 h 减半后其 1 截断误差将减少到原来的 , 即 16

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1 = h’ { (f 0 + f n ) + 2 + ( 2K - 1 ) h ’ ]}
h
n- 1 n i
( 7)
∫
∑f
i= 1 n
+
∑f
K= 1 n
[a
f i ——被积函数在第 i 个分点上的函数
值 下限 a、 b ——积分上、
n ——分点个数 h ——分点间距
1 = [ (f 0 + f n ) + f i ]+ h ’ f i= 1 K= 1 2 2 ( ) [ a + 2K - 1 h ’ ] 1 ( 8) = S n+ Ρ 2 式 ( 8) 与 ( 7) 表明, 采用梯形积分公式时, 分点加
法分册, 人民教育出版社, 1978 年第二版。
4. 内田秀雄:“湿り空气と冷却塔” , 1963。 5. K ・ K ・M ckelvey and M axey B rooke: “T he Indu strial , 1959。 Coo ling Tow er ”
当上述计算次数达到 n 次后, Κ的取值区 1 间长度变为原区间长度 n , 若满足 2 ( 22) Κ B n- Κ A n < 2Ε Κ 则结束计算并输出计算结果:
1. E ・H am p e 著, 胡贤章译,“冷却塔” , 1980 年第一版。 2. 武汉大学计算数学教研室编 “计算方法” , 人民教育出版
社, 1979 年第一版。
度要求。 3. 4 精度控制
图 3 Κ取值区间变化示意图
3. 华中工学院数学教研室编 “工程数学” , 算法语言, 计算方
d N ’ = cΚ 式中 Κ ——气水比, kg kg c、 d ——淋水填料的实验常数
( 3)
冷却塔热力计算的第一类问题是求得在特 定冷却任务下所需要的气水比, 据此确定塔体 尺寸及风机。 以往是采用作图的方法, 绘出 N
- Κ曲线, 二曲线之交点所对应的 Κ即为设计
值Κ 工作量大, 而 D 。这种计算法不仅计算繁琐、 且也不准确, 因此寻求直接通过计算求得 Κ设 计值的方法是冷却塔热力计算必须解决的问 题。 在计算机技术日益普及的今天, 能直接求解 满足式 ( 2) 的 Κ值。