椭圆及其性质1.方程122=+ny m x 表示椭圆⇔m >0，n >0，且m ≠n ；2a 是m ，n 中之较大者，焦点的位置也取决于m ，n 的大小。

[举例] 椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则m = 解析：方程中4和m 哪个大哪个就是2a ，因此要讨论；（ⅰ）若0<m <4,则,42=a m b =2，∴m c -=4，∴e =24m -=21，得m =3；（ⅱ）m >4,则,42=b m a =2，∴4-=m c ，∴e =m m 4-=21，得m =316；综上：m =3或m =316。

[巩固]若方程：x 2+ay 2=a 2 表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆，则a 的允许值的个数是A 1个B .2个 C.4个 D.无数个2．椭圆12222=+by a x 关于x 轴、y 轴、原点对称；P(x,y)是椭圆上一点，则|x|≤a,|y|≤b ，a-c ≤|PF|≤a+c ，（其中F 是椭圆的一个焦点），椭圆的焦点到短轴端点的距离为a ，椭圆的焦准距为c b 2，椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2ab 2，通经是过焦点最短的弦。

[举例1] 已知椭圆12222=+by a x （a >0,b >0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。

解析：|AB|2=a 2+b 2，|BF|=a ，|FA|=a +c ，在Rt ⊿ABF 中，(a +c )2=a 2+b 2+a 2化简得： c 2+a c -a 2=0，等式两边同除以a 2得：012=-+e e ，解得：e =215-。

注：关于a ,b ，c 的齐次方程是“孕育”离心率的温床。

[举例2] 已知椭圆12222=+by a x （a >0,b >0）的离心率为53，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转2π后，所得的新的椭圆的一条准线的方程为y =316，则原来椭圆的方程是 。

解析：原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点，在x 轴上，直线y =316为新椭圆的上准线，故新椭圆的焦准距为316，∴原来椭圆的焦准距也为316，于是有：c b 2=316 ①，a c =53②，由①②解得：a =5，b =3。

[巩固1]一椭圆的四个顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点，的椭圆的离心率为 。

[巩固2] 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为(A)2 (B)22 (C) 21(D)42 [迁移]椭圆13422=+y x 上有n 个不同的点P 1，P 2，P 3，…，P n ，椭圆的右焦点F ，数列{| P n F|} 是公差大于1001的等差数列，则n 的最大值为 （ ） A ．198 B ．199 C ．200 D ．201 3.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。

[举例1]已知⊙Q ：(x-1)2+y 2=16,动⊙M 过定点P(-1,0)且与⊙Q 相切，则M 点的轨迹方程是： 。

解析：P(-1,0)在⊙Q 内，故⊙M 与⊙Q 内切，记：M(x,y)，⊙M 的半径是为r ，则：|MQ|=4-r ，又⊙M 过点P ，∴|MP|=r ，于是有：|MQ|=4-|MP|，即|MQ|+|MP|=4，可见M 点的轨迹是以P 、Q 为焦点（c=1）的椭圆，a=2。

[举例2] 若动点P （x,y ）满足|x+2y-3|=522)2()1(++-y x ，则P 点的轨迹是： A ．圆 B 、椭圆 C 、双曲线 D 、抛物线解析：等式两边平方，化简方程是最容易想到的，但不可行，一方面运算量很大，另一方面是平方、展开后方程中会出现xy 项，这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。

但是，仔细观察方程后，就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离，而等式右边则是两点间的距离的5倍；为了让等式左边变成点到直线的距离，可以两边同除以5，于是有：5|32|-+y x =522)2()1(++-y x ，这就已经很容易联想到圆锥曲线的第二定义了，只需将方程再变形为：555|32|)2()1(22=-+++-y x y x ，即动点P （x,y ）到定点A （1，2）与到定直线x+2y-3=0的距离之比为55，∴其轨迹为椭圆。

[巩固1] 已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为 .[巩固2]设x 、y ∈R ，在直角坐标平面内，a =(x,y+2),b =(x,y-2),且|a |+|b |=8，则点 M(x,y)的轨迹方程为 。

[提高]已知A （0，7），B （O ，-7），C （12，2），以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，则椭圆的另一焦点的轨迹方程为 。

[迁移] P 为直线x-y+2=0上任一点，一椭圆的两焦点为F 1（-1，0）、F 2（1，0），则椭圆过P 点且长轴最短时的方程为 。

4．研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；会推导并记住椭圆的焦半径公式。

[举例1] 如图把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8分，过 每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,……7P七个点，F 是椭圆的一个焦点，则127......PF P F P F +++=____________．解析：P 1与P 7，P 2与P 6，P 3与P 5关于y 轴对称，P 4在y 轴上， 记椭圆的另一个焦点为F /，则|P 7F|=|P 1F /|，|P 6F|=|P 2F /|，|P 5F|=|P 3F /|，于是127......PF P F P F +++=|P 1F|+|P 1F /|+|P 2F|+|P 2F /|+|P 3F|+|P 3F /|+|P 4F|=7a=35.[举例2] 已知A 、B 是椭圆19252222=+ay a x 上的两点，F 2是椭圆的右焦点，如果,58||||22a BF AF =+ AB 的中点到椭圆左准线距离为23，则椭圆的方程 .解析： a BF AF 58||||22=+⇒||2||211BF a AF a -+-=a 58⇒|||11BF AF +=a 512，记AB 的中点为M ，A 、B 、M 在椭圆左准线上的射影分别为A 1、B 1，M 1，由椭圆第二定义知：|AF 1|=e|AA 1|，|BF 1|=e|BB 1|，于是有：e （|AA 1|+|BB 1|）=a 512，而e=54∴|AA 1|+|BB 1|=3a ⇒2|MM 1|=3a ，又|MM 1|=23，得a=1，故椭圆方程为192522=+y x 。

[巩固1] 椭圆的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分，则椭圆的离心率为 。

[巩固2]已知F 1、F 2是椭圆459522=+y x 的左右焦点，点P 是此椭圆上的一个动点，)1,1(A 为一个定点，则1PF PA +的最大值为 ，223PF PA +的最小值为 。

[提高] 过椭圆左焦点F 且斜率为3的直线交椭圆于A 、B 两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率e=_____5．研究椭圆上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，常用椭圆定义及正、余弦定理。

[举例]已知焦点在x 轴上的椭圆),0(,14222>=+b b y x F 1,F 2是它的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得→→=⋅021PF PF ，则b 的取值范围是 。

解析：思路一：先证一个结论：若B 为椭圆短轴端点，则∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2。

记∠F 1PF 2=θ,|PF 1|=r 1, |PF 2|=r 2,cos θ=212222124r r c r r -+=21221221242)(r r c r r r r --+=12442122--r r c a又21r r ≤(221r r +)2=2a ,∴cos θ≥222224a c a a -+=cos ∠F 1BF 2,当且仅当r 1=r 2时等号成立，即∠F 1PF 2≤∠F 1BF 2。

题中椭圆上存在点P ，使得∠F 1PF 2=900，当且仅当∠F 1BF 2≥900，即 cos ∠F 1BO ≤22⇔b ≤22a=2,∴b ∈(0, 2].思路二：用勾股定理：r 1+r 2=2a ① r 12+r 22=4c 2②,由①②得：2r 1r 2=4b 2,又2r 1r 2≤r 12+r 22∴b 2≤c 2=4-b 2即b ∈(0, 2].思路三：用向量的坐标运算：记P(x 0,y 0),1PF =(-c-x 0,-y 0), 2PF =(c-x 0,-y 0),⋅→1PF 2PF =c 2-x 02+y 02=0⇔(b 2+4)x 02=4(c 2-b 2),注意到：0≤x 02≤4，∴0≤4(c 2-b 2)≤4(b 2+4)即0≤4-2b 2≤b 2+4，得b ∈(0, 2].[巩固1]椭圆14922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P横坐标的取值范围是________。

[巩固2]已知P 是椭圆14522=+y x 上一点，F 1和F 2是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．334 B ．)32(4-C ．)32(4+D ．46．椭圆的参数方程的重要用途是设椭圆上一点的坐标时，可以减少一个变量，或者说坐标本身就已经体现出点在椭圆上的特点了，而无需再借助圆的方程来体现横纵坐标之间的关系；如求椭圆上的点到一条直线的距离的最值。

[举例]若动点（y x ,）在曲线)0(14222>=+b by x 上变化，则y x 22+的最大值为 （ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2),40(442b b b bB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2),20(442b b b bC ．442+bD ．2b解析：本题可以直接借助于椭圆方程把x 2用y 表示，从而得到一个关于y 的二次函数，再配方求最值；这里用椭圆的参数方程求解：记x=2cos θ,y=bsin θ, y x 22+=4cos2θ+2bsin θ=f(θ),f(θ)=-4sin 2θ+2bsin θ+4=-4(sin θ-4b )2+442+b , sin θ∈[-1,1] 若0<4b ≤1⇒0<b ≤4，则当sin θ=4b 时f(θ)取得最大值442+b ；若4b>1⇒b>4,则当sin θ=1时f(θ)取得最大值2b ，故选A[巩固]椭圆14922=+y x 上的点到直线2x-3y+33=0距离的最大值是_____________。