n
2、应力圆的画法 建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺） 在坐标系内画出点A(s x，txy) 和B(sy，tyx) x

sx
txy
A(sx ,txy)
AB与s 轴的交点C便是圆心。 以C为圆心，以AC为半径画 圆——应力圆；
s
B(sy ,tyx)
sy
s t
y
n
3、单元体与应力圆的对应关系 面上的应力(s ，t ) 应力圆上一点(s ，t )
同理：
O
s
sx图2
t
s x s y t sin 2 t xy cos2 2
n
O
t
极值应力
ds 令: s x s y sin2 0 2t xy cos2 0 0 d 0
由此的两个驻点：
01、（ 01 ）和两各极值：
2

二、应力状态和强度理论
应力状态
一点的应力状态：
过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合， 称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。 单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质——a、平行面上，应力均布；
公理5
刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体变成刚 体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
公理5 告诉我们：处于
平衡状态的变形体，可用刚
体静力学的平衡理论去硏究。
约束与约束反力
概念 ⒈ 自由体：位移不受限制的物体叫自由体。 ⒉ 非自由体：位移受限制的物体叫非自由体。 ⒊ 约束：对非自由体的某些位移预先施加的限制 条件称为约束。 （这里，约束是名词，而不是动词的约束） ⒋ 主动力: 促使物体运动或使物体产生运动趋势的力称为 主动力（如重力、风力、切削力、物体压力、牵引力等）。 ⒌ 约束反力：约束给被约束物体的力叫约束反力。（约束 的作用由力来表示，该力称为约束反力。）
⒌ 约束反力特点：
①大小常常是未知的； ②方向总是与约束限制的物体的位移方向相反； ③作用点在物体与约束相接触的那一点。
N1 G G N2
约束类型和确定约束反力方向的方法： 1.由柔软的绳索、链条或皮带构成的柔性体约束 S1 S'1
T P P
S2
S'2
柔性体约束只能承受拉力，所以它们的约束反力是作用在接
触点，方向沿柔性体轴线，背离被约束物体。是离点而去的
力。
2.光滑接触面的约束 (光滑指摩擦不计)
P P N
NB NA
N
约束反力作用在接触点处，方向沿公法线，指向受力 物体是向点而来的力。
FR
滑槽与销钉
3.光滑圆柱铰链约束 ①圆柱铰链
销 钉
A
A
YA A
A
XA
②固定铰支座
③活动铰支座（辊轴支座）
N
N的实际方向也 可以向下
物体的受力分析和受力图
受力分析
解决力学问题时，首先要选定需要进行研究的物体，即选择
研究对象；然后根据已知条件，约束类型并结合基本概念和公理
分析它的受力情况，这个过程称为物体的受力分析。 作用在物体上的力有：一类是:主动力,如重力,风力,气体 压力等。
二类是：被动力，即约束反力。

sx
txy
面的法线
x t n D( s , t C O 2 O x
应力圆的半径
A(sx ,txy)
两面夹角 且转向一致。
两半径夹角2 ；
s
B(sy ,tyx)
4、在应力圆上标出极值应力
t
t max
21 O C B(sy ,tyx) 2 0
x A(sx ,txy)
s 1 OC R半径 s 3
s x s y
2
（
s x s y
2
2 2 ） t xy
s3 s2
s1
s
t min
t max s max s min R半径 2 t min
s x s y 2 2 （ ）t xy 2
三向应力状态研究——应力圆法 1、空间应力状态 y
s1 s2 s3
x
t
s
z
s3
sy sx
y O x
1、应力圆（ Stress Circle）
txy
s
s x s y s x s y s cos2 t xy sin2 2 2 t s x s y sin2 t cos2 xy 2
对上述方程消去参数（2），得：
sx
y O
s2 s1
主面上的正应力。
主应力排列规定：按代数值大小，
s3
s 1s 2 s 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。 单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
sy
y
sx sz
z
txy
x
依叠加原理,得:
x
sx
E E E 1 s x s y s z E

sy

sz

E 1 y s y s z s x E 1 z s z s x s y E


z
0
(t xydydz)dx(t yxdzdx)dy0
sz
z
txy
sx
x
t xy t yx
主单元体、主面、主应力：
y
sy sx
主单元体(Principal bidy)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。 主面(Principal Plane)： x
sz
z
剪应力为零的截面。
主应力(Principal Stress ）：
只用白体字 F 表示力的 F 表示力的 作用线共线， 大小，而不 大小，而不 其上加‘ 作用于同一个物体上。 在 在其上加‘－’ － ’ 或‘→’矢量 或‘→’矢 符号。 量 符 号 。
指向相反 F1 = –F2
公理2
加减平衡力系公理
在已知力系上加上或减去任意一个平衡力系，并不改变原 力系对刚体的作用效应。 推论1：力的可传性原理。 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一 点，而不改变该力对刚体的效应。
F
A
印刷体用黑体 印刷体用黑体 字，手写时用 字，手写时用
或 F 表示。 表示。 F或
F
静力学基本公理
公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被 反复的实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。
公理1
二力平衡公理
作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是：
这两个力大小相等 | F1 | = | F2 | , ( F1 = F2 )
sx
tzx
B
txz
sx
sx
A
sx
平面应力状态分析——解析法 y
sy
等价
sy sx
y x O x
txy
z
sx
txy
sy sx
y
任意斜截面上的应力 规定：s 截面外法线同向为正；
txy
x
图1
t 绕研究对象顺时针转为正；
逆时针为正。 设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：
O
s
sx
y
sy
x
txy
对于受力体所受的每一个力，都应能明确地
指出它是哪一个施力体施加的。
⒊ 不要画错力的方向 约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不 能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析
两物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力
的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反， 不要把箭头方向画错。 ⒋ 受力图上不能再带约束。 即受力图一定要画在分离体上。
图2
t
F 0
n
n
s S s x S cos2 t xy S cos sin
s y Ssin 2 t yx Ssin cos 0
O
t
sy sx
y
考虑剪应力互等和三角变换，得：
txy
x
图1
s x s y s x s y s cos2 t xy sin 2 2 2
且偏向于sx 及sy大的一侧。 y
sy
主 单元体
s2
sx
txy s 1
x
dt 令: d
0
1
s x s y tg21 2t xy
O
sx sy 2 2 tmax ± （ ）tx y 2 tmin
0 1
4 , 即极值剪应力面与主面成450
平面应力状态分析——图解法
对同一个刚体来说，力的该性质称为力的可传性，因此， 对同一个刚体，力是滑动矢量。
公理3
力的平行四边形法则
作用于物体上同一点的两个力可合成 一个合力，此合力也作用于该点，合力的 大小和方向由以原两力矢为邻边所构成的 平行四边形的对角线来表示。
R F1 F2
推论2：三力平衡汇交定理
刚体受三力作用而平衡，若其中两力作 用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交
受力图
画物体受力图主要步骤为：①选研究对象；②取分离体； ③画上主动力；④画出约束反力。 [例1]
画受力图应注意的问题
⒈ 不要漏画力 除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触 才有相互机械作用力，要分清研究对象（受 力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触， 接触处必有力，力的方向由约束类型而定。