2012年考研数学模拟试题（数学三）参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）(1) 设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ，1)0(='y 的解，则2)(limx xx y x -→ （ ） （A ）等于0. （B ）等于1.（C ）等于2. （D ）不存在.解 2000()()1()1l i ml i m l i m (0)222x x x y x x y x y x y x x →→→'''--''===，将0x =代入方程，得2(0)(1)(0)(0)1y x y x y '''+-+=，又0)0(=y ，1)0(='y ，故(0)2y ''=，所以2()lim1x y x xx→-=，选择B. （2）设在全平面上有0),(<∂∂xy x f ，0),(>∂∂y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（ ）（A ）21x x >，21y y <. （B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >.（D ）21x x <，21y y >.解(,)0(,)f x y f x y x∂<⇒∂关于x 单调减少， (,)0(,)f x y f x y y∂>⇒∂关于y 单调增加， 当21x x >，21y y <时，112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y <<，选择A.（3）设)(x f 在),(+∞-∞存在二阶导数，且)()(x f x f --=，当0<x 时有()0f x '<，()0f x ''>，则当0>x 时有（ ）（A ）0)(,0)(>''<'x f x f . （B ）0)(,0)(<''>'x f x f . （C ）0)(,0)(>''>'x f x f . （D ）0)(,0)(<''<'x f x f . 解 【利用数形结合】)(x f 为奇函数，当0<x 时，)(x f 的图形为递减的凹曲线，当0x >时，)(x f 的图形为递减的凸曲线，选择D.(4) 设函数)(x f 连续，且(0)0f '<，则存在0δ>，使得（ ） （A ）在(0,)δ内单调增加（B ）在(,0)δ-内单调减少 （C ）对任意的(0,)x δ∈，有()(0)f x f > （D ）对任意的(,0)x δ∈-，有()(0)f x f >解 【利用导数的定义和极限的保号性】0()(0)(0)lim 0x f x f f x→-'=<，由极限的的保号性，(0,)U δ∃ ，在此邻域内，()(0)0f x f x-<，所以对任意的(,0)x δ∈-，有()(0)f x f >，选择D.（5）二次型222123123121323(,,)44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-的规范型是（ ）. （A ）222123f z z z =++. （B ）222123f z z z =+-. （C ）2212f z z =-. （D ）21f z =. 解 二次型的规范型由它的正负惯性指数确定，二次型的矩阵122244244A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，其特征多项式212292224400(9)2440A E λλλλλλλλλ-----=---=-=----， 故A 的特征值为9,0,0，正惯性指数1p =，负惯性指数0q =，选择 D.（6）设1211121k A k k ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭，B 是三阶非零矩阵，且AB O =，则（ ）.（A ）当1k =时，()1r B = . （B ）当3k =-时，()1r B =. （C ）当1k =时，()2r B = . （D ）当2k =-时，()2r B =.解 ()1B O r B ≠⇒≥，()()3()3()AB O r A r B r B r A =⇒+≤⇒≤-， 1()3()r B r A ≤≤-.当1k =时，()1r A =，1()2r B ≤≤，排除A ，C ，当2k =-时，122033111~111221003A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，()3r A =，1()0r B ≤≤，矛盾，排除D ，选择B.（7）设随机变量X 与Y 分别服从12N -（，）和2N （1，），且X 与Y 不相关，1k X Y +与2X k Y +也不相关，则（ ）.（A ）120k k +=. （B ）120k k ==. （C ）120k k +≠. （D ）120k k +≠. 解 X 与Y 不相关(,)0Cov X Y ⇔=，1k X Y +与2X k Y +不相关121122(,)(,)(,)(,)(,)Cov k X Y X k Y k Cov X X k k Cov X Y Cov Y X k Cov Y Y ⇔++=+++ 1212122200k DX k DY k k k k =+=+=⇔+=，选择A.(8) 设12,,,(2)n X X X n ≥ 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则 （ ）（A ）~(0,1)nX N . （B ）22~()nS n χ.（C ）)1(~)1(--n t SX n . （D ）2122(1)~(1,1)n i i n X F n X =--∑. 解 221()()D nX n D X n n n==⋅=，排除A ， 2222(1)(1)~(1)n S n S n χσ-=--，排除B ，~(1)t n =-，排除C ，选择D.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） （9）设)(1lim)(2212N n xbxax x x f nn n ∈+++=-∞→，若1lim ()x f x → 与1lim ()x f x →-都存在，那么a =________， ________b =.解 当1x <时，21222()lim 1n n n x ax bxf x ax bx x -→∞++==++， 当1x >时，23222111()lim1n n n n a bx x f x xx x--→∞++==+， 1lim ()x f x →存在11lim ()lim ()x x f x f x -+→→⇔=，即1a b +=， 1lim ()x f x →-存在11lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-⇔=，即1a b -=-，解得0,1a b ==. （10）222222021limcos()xy r x y r e x y dxdy r π→+≤-⎰⎰________=.解 由积分中值定理知，存在(,)D ξη∈：2222x y r +≤，使得222222222200211lim cos()lim cos()22xy r r x y r ex y dxdy e r rrξηξηπππ→→+≤-=⋅-⋅=⎰⎰.（11）设(,)z z x y =由方程()()xy xf z yg z =+确定，且()()0xf z yg z ''+≠，则[()][()]________z zx g z y f z x y∂∂---=∂∂. 解 方程为(,,)()()0F x y z xf z yg z xy =+-=，()()()x z F z f z y x F xf z yg z ∂-=-=-''∂+，()()()y z F z g z xy F xf z yg z ∂-=-=-''∂+， [()][()]z z x g z y f z x y∂∂---∂∂ ()()[()][()]0()()()()y f z x g z x g z y f z xf z yg z xf z yg z --=---=''''++.(12) 设)()(x f x F 是的一个原函数，且1)0(=F x x f x F 2cos )()(,=，则dx x f ⎰π|)(|________=.解 ()()F x f x '=，2()()2cos 2F x f x dx xdx =⎰⎰，2()()2cos 2F x f x dx xdx =⎰⎰，2()sin 2F x x C =+，又(0)1F =，故1C =，2()sin 21F x x =+，()sin cos F x x x ==+， 22|cos 2||cos sin ||()|cos sin |()||cos sin |x x x f x x x F x x x -===-+，404|()|cos sin (cos sin )(sin cos )f x dx x x dx x x dx x x dx πππππ=-=-+-⎰⎰⎰⎰1)(1=+=（13）设矩阵2T A E αβ=+，其中,αβ是n 维列向量，且2T αβ=，则1______A -=. 解 22(2)44()T T T T A E E αβαβαβαβ=+=++126()65T E E A E A E αβ=+=+-=-，故256(6)E A A E A A =-=-，所以11(6)5AE A -=-. （14）设129,,,X X X 是来自正态总体X的简单随机样本，1161()6Y X X =++ 27891()3Y X X X =++，922271()2i i S X Y ==-∑，12)Y Y Z S-=，则统计量Z 服从______.解 设正态总体2~(,)X N μσ，12()0E Y Y -=，2221212()632D Y Y DY DY σσσ-=+=+=，212~(0,)2Y Y N σ-~(0,1)N ，2222~(2)S χσ，又12Y Y -，2S 独立，12)~(2)Y Y Z t S -==.三、解答题（15-23题，满分94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （15）（10分）设()f x 在(,0]-∞上连续，且满足222221()ln(1)12xx tf t x dt x x -=-++⎰，求()f x 及其极小值. 解 令22,2u t x du tdt =-=，202201()()2xx tf t x dt f u du --=⎰⎰，故2202211()ln(1)212x x f u du x x -=-++⎰， 再令2t x =-，011()ln(1)212t t f u du t t -=---⎰ 即2()ln(1)1ttf u du t t-=---⎰，对t 求导，得22211()(0)(1)1(1)tf t t t t t +=-=<---， 故21()(0)(1)xf x x x +=<-33()03(1)xf x x x +'==⇒=--， 当3x <-时，()0f x '<，当30x -<<时，()0f x '>，所以3x =-，()f x 取得极小值1(3)8f -=-. （16）（10分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上二阶可导，且()0,()0,()0f a f b f a +'=><.证明：①在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ=； ②在(,)a b 内至少存在一点η，使得()0f η''>. 证 ①()()()()lim lim 0x ax a f x f a f x f a x ax a +++→→-'==<--， 由极限的保号性知，存在0δ>，当(,)x a a δ∈+时，()0f x x a<-，()0f x <，取(,)c a a δ∈+，则()0f c <，()f x 在[,]c b 上连续，又()0f c <，()0f b >，由零点定理知，存在(,)(,)c b a b ξ∈⊂，使得()0f ξ=.②对()f x 在[,],[,]a c c b 上用拉格朗日定理，存在(,)r a c ∈，(,)s c b ∈使得()()()()0f c f a f c f r c a c a -'==<--，()()()0f b f c f s b c-'=>-，再对()f x '在[,]r s 上用拉格朗日定理，存在(,)(,)r s a b η∈⊂，使得()()()0f s f r f s rη''-''=>-.（17）（10分）求微分方程236xy y x '=-的一个解()y y x =，使得曲线()y y x =与直线1,0x y ==所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积最小. 解 方程236xy y x '=-化为36y y x x'-=-， 其通解为333323216e (6e )(6)()6dxdx xx y x dx C x dx C x C x Cx x x---⎰⎰=-+=-+=+=+⎰⎰，旋转体体积21232036(6)(2)75C V x Cx dx C ππ=+=++⎰， 2()(2)077C V C C π'=+=⇒=-，又2()07V C π''=>， 故7C =-，体积V 最小，所以2367y x x =-.（18）（10分）计算1DI d σ=，区域D由曲线y =x 轴围成.解 画出区域D 的图形，单位圆221x y +=将区域D 分成两部分，单位圆221x y +=内的部分记作1D ，单位圆221x y +=外的部分记作2D ，则121(11)DD D I d d d σσσ==+⎰⎰⎰⎰112cos 3203(1(1)(1)D d d r rdr d r rdr ππθπσθθ-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰23238(2cos cos )183d πππθθθ=+-⎰ 233188[sin sin sin ]18239πππθθθθ=++-+2239418π=+-22cos 311)(1)D d d r rdr πθσθ=-⎰⎰⎰⎰233081(2cos cos )36d πθθθ=--⎰33051885[sin 2sin sin ]1823918πθπθθθ=+-+=，故231218DI d πσ==-.（19）（10分）求幂级数21(1)n nn n x n ∞=+-∑的收敛域及和函数.解 收敛半径2211(1)limlim 1(1)(1)1nnn n n n n a n R n a n +→∞→∞++-===++-+， 当1x =时，级数21(1)n n n n ∞=+-∑发散，当1x =-时，级数21(1)(1)n n n n n ∞=+--∑发散，故幂级数21(1)n nn n x n ∞=+-∑的收敛域为(1,1)-.其和函数2111(1)(1)()n n n n nn n n n s x x nx x n n ∞∞∞===+--==+∑∑∑1101111(1)()[(1)]n x n n nn n n n n n x nxx x x x dx n ∞∞∞∞--====-'=+=+-∑∑∑∑⎰201()ln(1)11(1)x x xx dx x x x x -'=+=-+-+-⎰，(1,1)x ∈-.（20）（11分）设33A ⨯是实对称矩阵，12A =-，A 的三个特征值之和为1，且102T α=-（，，）是方程组(4)0A E x *-=的一个解向量. ①求矩阵A ；②求方程组(6)0A E x *+=的通解.解 ①102Tα=-（，，）是方程组(4)0A E x *-=的一个解向量(4)0A E α*⇒-=，即4A αα*=，又**12A A AA A E E ===-，故4123A A A A ααααα*==-⇒=-，所以102Tα=-（，，）是A 的对应特征值33λ=-的特征向量； 设A 的另外两个特征值为12λλ，，则123123112Aλλλλλλ++===-，，解得122λλ==，设122λλ==对应的特征向量为123,,)T x x x x =（，则它与102Tα=-（，，）正交，即1320x x -=，其基础解系为12010201T Tαα==（，，），（，，）， 令12(,)P ααα=，，则1223P AP Λ-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭，所以1102020202A P P Λ-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭②(6)0(6)0(2)0A E x AA A x A E x **+=⇒+=⇒-=，1021022000~000204000A E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，同解方程组为1322332x x x x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩，通解为12010201T Tk k +（，，）（，，），其中12,k k 为任意常数. （21）（11分）设n 阶实对称矩阵A 的秩为r ，且满足2A A =，求 ①二次型Tx Ax 的标准形；②行列式||2n A A A E ++++ 的值，其中E 为单位矩阵.解 设(0)A αλαα=≠，则22A αλα=，又2A A ααλα==， 故22()01λαλαλλαλ=⇒-=⇒=或者0λ=.由n 阶实对称矩阵A 的秩为r 知，1λ=，0λ=分别为A 的r 重和n r -重特征值， 故存在正交矩阵P ，使得1rTE O P AP P AP OO -⎛⎫==⎪⎝⎭. ①经正交变换x Py =，二次型Tx Ax 的标准形为22212r y y y +++ . ②2A A =⇒2nA A A === ，故行列式1111||()(1)r E nA PP nP P P E n P P E n P E n n ΛΛΛΛ----+=++=+=+=+.（22）（11分）已知随机变量X 与Y 的联合概率分布为01011/31/3Y X αβ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭①证明X 与Y 不相关的充分必要条件是事件{1}Y =与{1}X Y +=相互独立； ②若X 与Y 不相关，求X 与Y 的边缘分布. 解 由概率分布的性质知0.5αβ+=①X 与Y 不相关的充分必要条件是(,)0Cov X Y EXY EX EY =-⋅=，X 的概率分布为011133αβ⎛⎫⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭，13EX β=+， Y 的概率分布为011233⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭，23EY =， XY 的概率分布为012133⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭，13EXY =， 121(,)()333Cov X Y β=-+，故X 与Y 不相关的充分必要条件是121()0333β-+=. 事件{1}Y =与{1}X Y +=相互独立的充分必要条件是{}{}{}1,111P Y X Y P Y P X Y =+===+={}{}11,11,03P Y X Y P Y X =+=====， {}{}2111()33P Y P X Y β=+==+， 故事件{1}Y =与{1}X Y +=相互独立的充分必要条件是121()333β=+， 所以X 与Y 不相关的充分必要条件是事件{1}Y =与{1}X Y +=相互独立. ②若X 与Y 不相关，则12111(),33366ββα=+⇒==，故X 的概率分布为011122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， Y 的概率分布为011233⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （23）（11分）设总体),1(~θU X ，参数1>θ未知，n X X ,,1 是来自X 的简单随机样本. ①求θ的矩估计和极大似然估计量；②求上述两个估计量的数学期望.解 总体),1(~θU X ，其分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,01,11),(θθθx x f（1）由12X EX θ+==，解得21X θ=-，故θ的矩估计量为1ˆ21X θ=-； 似然函数1()(1)nL θθ=-，1()0(1)n n L θθ+-'=<- ，()L θ递减， 又1,,(1,)n X X θ∈ ，故θ的极大似然估计量为{}21ˆmax ,,nX X θ= . （2）11ˆ2121212E EX θθμθ+=-=-=⨯-=，而{}21ˆmax ,,nX X θ= 的分布函数 {}{}2ˆ21ˆ()()max ,,n F x P x P X X x θθ=≤=≤ {}{}11,,n n i i P X x X x P X x ==≤≤=≤∏ 0,11(),111,n z x z z θθθ<⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩221ˆˆ(1),1()()(1)0,n n n x x f x F x θθθθ-⎧-≤≤⎪'==-⎨⎪⎩其它 11211(1)(1)ˆ(11)(1)(1)n n n nn x n x E x dx x dx θθθθθ----=⋅=-+--⎰⎰ 111(1)(1)(1)(1)nn n n n x n x dx θθθθ---=+--⎰⎰ 111(1)(1)1(1)11(1)(1)11n nnnn x x n n n n n θθθθθθ+--+=+=-+=+--++.。