z
(vz)dxdydz
vy
v
z
vx (x, y,z)
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
1.笛卡尔坐标系下的连续方程
微元六面体内密度变化引起 的每秒的流体质量的变化量：
tCVdvt dxdydz
故 ： tdx d x (v x y ) dd x z d y (v y y ) d d x z d z (v z y ) dd x z 0 dydz
t
xkuku
——单位体积的流体控制体的质量变化率 ——单位体积的流体控制体的质量净流出量
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
四、其他形式的连续方程
1.定常流动 0
t
xk
uk 0
Duk 0
Dt xk
t xk
uk0
2.不可压缩流体
D 0
Dt
uk 0 xk
注意：不可压流体各点的密度不变，但各点间的密度可能不同，即不要求密度场为均匀场。
左面微元面积流 入的流体质量：
右面微元面积流出 的流体质量：
( xd 2)xv(x vxxd 2)d x ydz ( xd 2)xv (x vxxd 2)d x ydz
vy
v
z
vx (x, y,z)
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
1.笛卡尔坐标系下的连续方程
D D ttuk xk 0 但
0
xk
例： 密度分层流动
均质不可压缩流体： const
在绝大多数情况下，不可压缩流体也是均质的。
2
1
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
四、其他形式的连续方程
3.有源、汇ห้องสมุดไป่ตู้连续方程
t xk
ukQ
4. 积分形式的连续方程
d
cvt
V c vund A0
第二章 流体力学的基本方程
§2.3 能量方程
D D (t)tu d
D u d Dt
一、总能量方程的推导
D D t e t 1 2 u u d A t u p n d t A u f d A t n q dA
由雷诺输运公式的 简化形式得，
系统的能量转换及守恒定理（热力学第一定律）： 在流动过程中，流体系统的能量增加量等于外界对其做功及传入热量
之和。 控制体的能量转换及守恒定理：
控制体能量的净加入量等于控制体内流体能量的变化量
第二章 流体力学的基本方程
§2.3 能量方程
一、总能量方程的推导
任取流动系统，体积τ(t) ，外表面A (t) ，
第二章 流体力学的基本方程
§2.3 能量方程
D D (t)tu d
D u d Dt
一、总能量方程的推导
D D e 1 2 u t u d A u p n d u A f d A n q dA
利用高斯公式得， A u p n d A A u n d A A n u d s u d
注意：在使用输运公式时，已经用初始时刻与系统相重合的固定体
积（控制体）替换了随时间变化的系统的体积τ(t)
利用高斯公式得，
D D u d t d f d
D D u t f d 0
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
一、动量方程的推导
D D u t f d 0
u0 或
t
张量形式：
t xk
uk0
或
Du0
Dt
Duk 0
Dt xk
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
从欧拉系下出发， 控制体的质量净流入量 = 控制体内流体质量的变化量
1.笛卡尔坐标系下的连续方程
控制体的选取: 边长为dx，dy，dz的微元平行六面体。 x轴方向流体质量的流进和流出
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
一、动量方程的推导
系统的动量定理： 系统的动量: 作用在系统上的质量力:
Dk
F
Dt
k u d (t)
fd
(t )
作用在系统上的表面力:
A(t) pndA
由动量定理得积分形式的动量方程:
D D ( t)t u d A ( t)p n d A ( t) f d
t r 1 2 r ( r 2 V r ) r s 1 i ( n V s) ir s n 1 i ( n V ) 0
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
三、连续方程的物理意义
Duk 0
Dt xk
t xk
uk0
1 D
Dt
uk
u
xk
——流体系统的相对密度变化率 ——流体系统的相对体积变化率
x轴方向流体 的净流出量：
y轴方向流体的 净流出量：
( xd 2)x v (x v x xd 2)d x y(d z xd 2)x v (x v x xd 2)d x ydz ( v x xd xvx xd)d xyd x(zvx)dxdydz
y
(vy
)dx
dydz
z轴方向流体的 净流出量：
D D t te 1 2 u u d D D e 1 2 t u u d
注意：在使用输运公式后，随时间变化的系统的体积τ(t)已经被 初始时刻与系统相重合的固定体积（控制体）替换了。
D D e 1 2 u t u d A u p n d u A f d A n q dA
t x (v x ) y (v y ) z(v z) 0
t xk
uk0
vy
v
z
vx (x, y,z)
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
2.正交曲线坐标系下的连续方程
控制体的选取: 边长为ds1，ds2，ds3的微元平行六面体。
d 1 h 1 s d 1d q 2 h s 2 d 2d q 3 h s 3 d 3 q
上 述 积 分 的 积 分 区 域 τ相对于整个流动区域来说是任选的，要使积
分恒等于零，只有被积函 数等于零，
D u f
u D u tu f t
张量形式:
D Dujtxiijfj
或 u tjui u xij xiijfj
守恒形式:
u u u f 或 t
λ和μ在流场中 均匀时：
D D j u t x p j x j u x k k 2 x u i 2 jfj
不可压缩流体：
D Dju t xpj 2 xu i2j fj
理想流体：
Duj
Dt
p xj
fj
第二章 流体力学的基本方程
§2.3 能量方程
方程建立的理论依据：能量转换及守恒定理
§2.1 连续方程
一、连续方程推导方法之一
从拉格朗日系下出发， 流体系统的质量保持不变。
取一个流体系统，其体积为τ(t) ,
流体系统的质量为：M d (t)
故 ： DM D d0
DtDt(t)
由雷诺输运定理， t u d D D tu d 0
注意：在使用输运公式时，已经用初始时刻与系统相重合的固定体
定常流动：
cvundA0
不可压缩流体： cvundA0
第二章 流体力学的基本方程
Duk 0
Dt xk
t xk
uk0
§2.2 动量方程
方程建立的理论依据：牛顿第二定理或动量定理
系统的牛顿第二定理： 在流动过程中，流体系统的合外力等于系统质量乘于其加速度。
系统的动量定理： 系统中流体动量的变化率等于作用在该系统上的合外力。
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
一、动量方程的推导
D pnnD u
D (t)tu d
d Dt
将应力张量代入得：
由雷诺输运公式的 简化形式得，
D D ( t)t u d A n ( t) d A ( t) f d D D u d t A n d A f d
方程右边表示单位体积流体所受的力： 第一项是应力张量的散度，表示作用在单位体积流体上的表面力； 第二项表示作用在单位体积流体上的质量力。
第二章 流体力学的基本方程
§2.2 动量方程
三、N-S方程
本构方程： ij pij is jk k2s ij
故：
代入动量方 程 后 得 N-S 方程： 矢量形式：
ij
xi
xi
pijijsk
kxuij
uj xi
p xj xj
uxkk
xi
xuij
uj xi
D D j u x p tj x j u x k k x i x u i j u x i j fj
D u p u 2 S f Dt
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
二、连续方程推导方法之二
2.正交曲线坐标系下的连续方程
笛卡尔坐标系： (u x) (u y) (u z) 0
t x y z
圆柱坐标系： 球坐标系：
t 1 r r (rr ) V r (V ) z (V z ) 0
积（控制体）替换了随时间变化的系统的体积τ(t)
第二章 流体力学的基本方程
§2.1 连续方程
一、连续方程推导方法之一
t u d D D tu d 0
上 述 积 分 的 积 分 区 域 τ相对于整个流动区域来说是任选的，要使积 分恒等于零，只有被积函 数等于零，
A n q d s A q d
得：
D D e 1 2 u t u u u f q d 0