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例 2 求过点(1,1,1)，且垂直于平面x y z 7和
3x 2 y 12z 5 0的平面方程.
解
n1 {1,1,1},
n2 {3,2,12}
取法向量
n n1 n2 {10,15, 5},
所求平面方程为
10( x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0,
(2)
A 0,
D
0,
平面平行于x 轴；
类似地可讨论 B 0, C 0 情形.
(3) A B 0, 平面平行于xoy 坐标面；
类似地可讨论 A C 0, B C 0 情形.
(4)A B D 0, 有z 0,即xoy面.
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例 3 设平面过原点及点(6,3, 2) ，且与平面
(1) L A B C . mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
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例 1 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
4x y 2z 8垂直，求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过原点知 D 0,
由平面过点(6,3, 2)知 6A 3B 2C 0
n{4,1,2},
4A B 2C 0
A B 2C, 3
所求平面方程为 2x 2 y 3z 0.
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例 4 设平面与x, y, z 三轴分别交于P(a,0,0)、 Q(0,b,0)、R(0,0,c)（其中a 0 ，b 0，c 0 ），
求此平面方程.
解 设平面为 Ax By Cz D 0,
aA D 0, 将三点坐标代入得 bB D 0,
cC D 0,
AD, BD, C D.
Pr jn P1P0 P1P0 en
A( x0 x1 ) B( y0 y1 ) C(z0 z1 ) A2 B2 C 2 A2 B2 C 2 A2 B2 C 2
Ax0 By0 Cz0 ( Ax1 By1 Cz1 ) , A2 B2 C 2
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Ax1 By1 Cz1 D 0 ( P1 )
Pr jnP1P0
Ax0 By0 Cz0 D , A2 B2 C 2
d | Ax0 By0 Cz0 D | . A2 B2 C 2 点到平面距离公式
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例 1 求两平面 z x 2y 1, 3x 6y 3z 4间的距离.
n2 {4,2,2}
2 1 1 , 两平面平行 4 2 2
M(1,1,0) 1 M(1,1,0) 2
两平面平行但不重合．
(3) 2 1 1 , 两平面平行 4 2 2
M(1,1,0) 1 M(1,1,0) 2
两平面重合.
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§3.4 空间直线的方程
一、空间直线的一般方程
方向向量的定义：
如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
z
s
L
M
M0
M0 ( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z), o
y
M L,
M0M// s
x
s (m, n, p), M0M {x x0, y y0, z z0}
x x0 m
y y0 n
解析几何课件(第四版)
吕林根 许子道等编
第一章 向量与坐标
第二章 轨迹与方程 第三章 平面与空间直线
第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面
第五章 二次曲线的一般理论
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程 §3.3 两平面的相关位置
§3.2 平面与点的相关位置 §3.4 空间直线的方程
§3.5 直线与平面的相关位置
2
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三、空间直线的参数式方程
由直线的对称式方程 x x0 y y0 z z0
m
n
p
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
y
y0
nt
z
z0
pt
直线的参数方程
直线的一组方向数
方向向量的余弦称为直 线的方向余弦.
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例2 用对称式方程及参数方程表示直线
y 3z 1 0 4x 2y 2z 1 0 4x 2y 2z 2 0
解 (1) cos | 1 0 2 1 1 3 |
(1)2 22 (1)2 12 32
cos
1 60
两平面相交，夹角 arccos
1. 60
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(2) n1 {2,1,1},
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例 1 求过三点A(2,1,4)、B(1,3,2)和 C (0,2,3)的平面方程. 解 AB {3, 4,6}
AC {2, 3,1} 取 n AB AC {14, 9,1}, 所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0,
化简得 14x 9 y z 15 0.
夹角.（通常取锐角）
n2
n1
1 : A1 x B1 y C1z D1 0,
2
2 : A2 x B2 y C2z D2 0,
n1 { A1, B1,C1},
1
n2 { A2 , B2 ,C2 },
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按照两向量夹角余弦公式有
cos
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
外一点，求P0 到平面的距离.
解 P1( x1, y1, z1 ) d | Pr jnP1P0 |
n
P0
Pr jn P1P0 P1P0 en
P1
N
P1P0 { x0 x1, y0 y1, z0 z1}
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en
A
,
A2 B2 C 2
B
,
A2 B2 C 2
C
A2 B2 C 2
(4,1,3),
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
令 x 1 y 0 z 2 t, 4 1 3
x 1 4t
得参数方程
y
t
.
z 2 3t
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例 3 一直线过点A(2,3,4)，且和y 轴垂直相
交，求其方程.
解 因为直线和 y轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
: Ax By Cz D 0, n ( A, B,C),
(s , n)
,
2
(s , n)
2
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sin cos cos .
2
2
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
不妨设 A 0，则
A x
D A
By 0 Cz 0
0
，为一平面.
Ax By Cz D 0 平面的一般方程
法向量 n {A, B,C}.
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Ax By Cz D 0 平面的一般方程
平面一般式方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, 平面通过 x轴；
A12 B12 C12 A22 B22 C22
两平面夹角余弦公式
两平面位置特征：
(1) 1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0;
(2)
1
//
2
A1 A2
B1 B2
C1 C2
.
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例1 研究以下各组里两平面的位置关系：
(1) x 2 y z 1 0, (2) 2x y z 1 0, (3) 2x y z 1 0,
x y z 1 0 2x y 3z 4
. 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
取
x0 1
y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2
点坐标(1,0,2),
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因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s
n1
n2
z z0 p
直线的对称式方程 （点向式方程）
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注: 当 方 向向 量 的 某 个坐 标为 零 时， 比 如
m 0,n 0,p 0时 ， 方 程 仍然 写 为
x x0 y y0 z z0 ,
0 此时
理解
n 为二
p x 平面的交线 y
x0 y0 n
0 z
z0 p
化简得 2x 3 y z 6 0.
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二、平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
表示
D
即 任一平面
？
Ax By Cz D 0
（A,B,C不同时为零）
§3.6 空间两直线的相关位置
§3.7 空间直线与点的相关位置
§3.1 平面的方程
一、平面的点法式方程
z
n
如果一非零向量垂直
M0
M
于一平面，这向量就叫做
该平面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
已知
n
{
A,
B,
C },
M0( x0 , y0 , z0 ),
设平面上的任一点为 M( x, y, z)
6t
t
6t 代入体积式
1 1 1 1 1 t 1 ,