专题四 三角函数与解三角形第九讲 三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换2019年1.(2019北京9)函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是 ________. 2.(2019全国Ⅲ理12)设函数()f x =sin(5x ωπ+)(ω>0),已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点,下述四个结论:①()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2π)有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,10π)单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④3.(2019天津理7)已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数,将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π,且π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭则3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B.D.2 4.(2019全国Ⅱ理10)已知α∈(0,2π),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=A.155C.3D.55.(2019江苏13)已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_________.6.(2019浙江18)设函数()sin ,f x x x =∈R .(1)已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数,求θ的值; (2)求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 的值域. 2010-2018年一､选择题1.(2018全国卷Ⅲ)若1sin 3α=,则cos2α= A.89 B.79 C.79- D.89- 2.(2016年全国III)若3tan 4α= ,则2cos 2sin 2αα+=A.6425 B.4825 C.1 D.16253.(2016年全国II)若3cos()45πα-=,则sin 2α=( ) A.725B.15C.15-D.725-4.(2015新课标Ⅰ)sin 20cos10cos160sin10-=A.-C.12-D.125.(2015重庆)若tan 2tan5πα=,则3cos()10sin()5παπα--=A.1B.2C.3D.4 6.(2014新课标Ⅰ)若0tan >α,则A.0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α 7.(2014新课标Ⅰ)设(0,)2πα∈,(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=,则A.32παβ-=B.22παβ-=C.32παβ+=D.22παβ+=8.(2014江西)在ABC ∆中,内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ,若32a b =,则2222sin sin sin B AA-的值为( )A.19- B.13 C.1 D.729.(2013新课标Ⅱ)已知2sin 23α=,则2cos ()4πα+=( )A.16B.13C.12D.2310.(2013浙江)已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B.43C.43-D.34-11.(2012山东)若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππθ,8732sin =θ,则=θsin A.53 B.54 C.47 D.4312.(2012江西)若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan2α=A.−34B.34C.−43D.4313.(2011新课标)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x=上,则cos2θ= A.45-B.35-C.35D.4514.(2011浙江)若02πα＜＜,02πβ-＜＜,1cos()43πα+=,cos()423πβ-=,则cos()2βα+=A.3B.3-C.9D.9- 15.(2010新课标)若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则1tan21tan 2αα+=- A.12-B.12C.2D.-2二､填空题16.(2018全国卷Ⅰ)已知函数()2sin sin 2=+f x x x ,则()f x 的最小值是_____. 17.(2018全国卷Ⅱ)已知sin cos 1+=αβ,cos sin 0+=αβ,则sin()+=αβ___.18.(2017新课标Ⅱ)函数23()sin 4f x x x =+-([0,])2x π∈的最大值是 . 19.(2017北京)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=,则cos()αβ-=___________. 20.(2017江苏)若1tan()46πα-=,则tan α= .21.(2015四川)=+75sin 15sin . 22.(2015江苏)已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______. 23.(2014新课标Ⅱ)函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为____. 24.(2013新课标Ⅱ)设θ为第二象限角,若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin cos θθ+=___. 25.(2013四川)设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_____.26.(2012江苏)设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 .三､解答题27.(2018江苏)已知,αβ为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=.(1)求cos2α的值; (2)求tan()αβ-的值.28.(2018浙江)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点34(,)55P --.(1)求sin()απ+的值; (2)若角β满足5sin()13αβ+=,求cos β的值.29.(2017浙江)已知函数22()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R .(Ⅰ)求2()3f π的值; (Ⅱ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 30.(2014江苏)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值;(2)求)265cos(απ-的值. 31.(2014江西)已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数,且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ,其中()πθ，，0∈∈R a .(1)求θ，a 的值; (2)若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛ππαα，，2524f ,求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值.32.(2013广东)已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值; (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.33.(2013北京)已知函数21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+(1)求()f x 的最小正周期及最大值;(2)若(,)2παπ∈,且()2f α=,求α的值. 34.(2012广东)已知函数()2cos()6f x x πω=+,(其中0ω>,x R ∈)的最小正周期为10π.(1)求ω的值; (2)设,[0,]2παβ∈,56(5)35f απ+=-,516(5)617f βπ-=,求cos()αβ+的值. 专题四 三角函数与解三角形第九讲 三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换答案部分 2019年1.解析:因为21cos 411sin 2cos 422x f x x x -===-（）（）, 所以f x （）的最小正周期2π4T ==2.解析 当[0,2]x ∈π时,,2555x ωωπππ⎡⎤+∈π+⎢⎥⎣⎦, 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点,所以5265ωπππ+<π, 所以1229510ω<,故④正确, 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案, 下面判断③是否正确, 当(0,)10x π∈时,(2),5510x ωωππ+π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,若()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增, 则(2)102ω+ππ<,即3ω<,因为1229510ω<,故③正确. 故选D.3.解析 因为()f x 是奇函数,所以0ϕ=,()sin f x A x ω=.将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为()g x ,即()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭, 因为()g x 的最小正周期为2π,所以2212ωπ=π,得2ω=, 所以()sin g x A x =,()sin2f x A x =.若4g π⎛⎫=⎪⎝⎭sin 442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭2A =,所以()2sin 2f x x =,332sin 22sin 2884f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C.4.解析:由2sin 2cos21αα=+,得24sin cos 2cos ααα=. 因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 2sin αα=. 由22cos 2sin sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩,得sin α=.故选B. 5.解析 由tan 23tan()4αα=-π+,得tan 23tan tan 41tan tan4ααα=-π+π-, 所以tan (1tan )21tan 3ααα-=-+,解得tan 2α=或1tan 3α=-.当tan 2α=时,22tan 4sin21tan 5ααα==+,221tan 3cos21tan 5ααα-==-+, 43sin(2)sin2cos cos2sin 44455αααπππ+=+=-=当1tan 3α=-时,22tan 3sin21tan 5ααα==-+,221tan 4cos21tan 5ααα-==+,所以34sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=-⨯+⨯=. 综上,sin(2)4απ+的值是10.6.解析(1)因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+,即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+, 故2sin cos 0x θ=, 所以cos 0θ=. 又[0,2π)θ∈,因此π2θ=或3π2.(2)2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因此,函数的值域是[1. 2010-2018年1.B 【解析】2217cos 212cos 12()39αα=-=-⨯=.故选B. 2.A 【解析】由sin 3tan cos 4ααα==,22cos sin 1αα+=,得3sin 5α=,4cos 5α=或 3sin 5α=-,4cos 5α=-,所以24sin 22sin cos 25ααα==, 则2164864cos 2sin 2252525αα+=+=,故选A. 3.D【解析】因为3cos cos )45πααα⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭,所以sin cos αα+=, 所以181sin 225α+=,所以7sin 225α=-,故选D. 4.D 【解析】原式=1sin 20cos10cos 20sin10sin(2010)sin 302+=+==. 5.C 【解析】3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin1010tan cos sin55ππαππα+=- 33cos 2tan sin 105102tancossin555ππππππ+=-33cos cos 2sin sin510510sincos55ππππππ+==155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==,选C. 6.C 【解析】 tan 0α>知α的终边在第一象限或第三象限,此时sin α与cos α同号,故sin 22sin cos 0ααα=>,选C. 7.B 【解析】由条件得sin 1sin cos cos αβαβ+=,即sin cos cos (1sin )αβαβ=+, 得sin()cos sin()2παβαα-==-,又因为22ππαβ-<-<,022ππα<-<,所以2παβα-=-,所以22παβ-=.8.D 【解析】2222sin sin sin B A A -=22sin 2()12()1sin B b A a -=-,∵32a b=,∴上式=72. 9.A 【解析】因为21cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===, 所以2211sin 213cos ()4226παα--+===,选A. 10.C 【解析】由22(sin 2cos ))2αα+=可得2222sin 4cos 4sin cos 10sin cos 4αααααα++=+,进一步整理可得23tan 8tan 30αα--=,解得tan 3α=或1tan 3α=-,于是22tan 3tan 21tan 4ααα==--. 11.D 【解析】由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得],2[2ππθ∈,812sin 12cos 2-=--=θθ,4322cos 1sin =-=θθ,答案应选D. 另解:由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，及sin 2θ,可得sin cos θθ+==344===+,而当42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时 θθcos sin >,结合选项即可得47cos ,43sin ==θθ.12.B 【解析】分子分母同除cos α得:sin cos tan 11,sin cos tan 12αααααα++==--∴tan 3α=-,∴22tan 3tan 21tan 4ααα==- 13.B 【解析】由角θ的终边在直线2y x =上可得,tan 2θ=,22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--=-===-++. 14.C 【解析】cos()cos[()()]2442βππβαα+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα++-,而3(,)444πππα+∈,(,)4242πβππ-∈,因此sin()43πα+=,sin()423πβ-=,则1cos()233339βα+=⨯+=. 15.A 【解析】 ∵4cos 5α=-,且α是第三象限,∴3sin 5α=-, ∴1tan21tan2αα+=-2cossin(cossin )2222cos sin (cos sin )(cos sin )222222αααααααααα++=--+221sin 1sin 1cos 2cos sin 22ααααα++===--.16.2-【解析】解法一 因为()2sin sin 2=+f x x x , 所以21()2cos 2cos 24cos 2cos 24(cos )(cos 1)2'=+=+-=-+f x x x x x x x ,由()0'≥f x 得1cos 12≤≤x ,即2233ππππ-+≤≤k x k ,, 由()0'≤f x 得11cos 2-≤≤x ,即223ππππ++≤≤k x k或223ππππ--≤≤k x k ,∈Z k ,所以当23ππ=-x k (∈Z k )时,()f x 取得最小值,且min ()(2)2sin(2)sin 2(2)3332ππππππ=-=-+-=-f x f k k k .解法二 因为()2sin sin 22sin (1cos )=+=+f x x x x x , 所以2223[()]4sin (1cos )4(1cos )(1cos )=+=-+f x x x x x443(1cos )(1cos )(1cos )(1cos )27[]344-++++++⋅=≤x x x x , 当且仅当3(1cos )1cos -=+x x ,即1cos 2=x 时取等号,所以2270[()]4≤≤f x ,所以()f x的最小值为2-. 17.12-【解析】∵sin cos 1+=αβ,cos sin 0+=αβ, ∴22sin cos 2sin cos 1αβαβ++= ①,22cos sin 2cos sin 0αβαβ++= ②,①②两式相加可得2222sin cos sin cos 2(sin cos cos sin )1ααββαβαβ+++++=,∴1sin()2αβ+=-. 18.1【解析】化简三角函数的解析式,则()22311cos cos 44f x x x x x =-+-=-++=2(cos 1x -+, 由[0,]2x π∈可得cos [0,1]x ∈,当cos x =时,函数()f x 取得最大值1. 19.79-【解析】∵角α与角β的终边关于y 轴对称,所以2k αβππ+=+, 所以1sin sin(2)sin 3k βππαα=+-==,cos cos βα=-;222cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 1αβαβαβααα-=+=-+=-2172()139=⨯-=-.20.75【解析】tan()tan744tan tan[()]4451tan()tan 44ππαππααππα-+=-+==--⨯.6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=.22.3【解析】12tan()tan 7tan tan()321tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++-. 23.1【解析】()sin[()]2sin cos()f x x x ϕϕϕϕ=++-+sin()cos cos()sin x x ϕϕϕϕ=+-+sin()sin x x ϕϕ=+-=.∵x R ∈,所以()f x 的最大值为1.24.【解析】∵1tan 42πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭,可得1tan 3θ=-,∴sin θθ==,sincos θθ+=5-. 【解析】 sin 22sin cos sin αααα==-,则1cos 2α=-,又(,)2παπ∈,则tan α=22tan tan 21tan 13ααα-===--26.50217【解析】 因为α为锐角,cos()6πα+=45,∴sin()6πα+=35, ∴sin2(,2524)6=+παcos2(7)625πα+=, 所以sin(50217251722]4)6(2sin[)122=⨯=-+=+ππαπα. 27.【解析】(1)因为4tan 3α=,sin tan cos ααα=,所以4sin cos 3αα=. 因为22sin cos 1αα+=,所以29cos 25α=, 因此,27cos22cos 125αα=-=-. (2)因为,αβ为锐角,所以(0,π)αβ+∈.又因为cos()αβ+=,所以sin()αβ+=因此tan()2αβ+=-.因为4tan 3α=,所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--, 因此,tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+.28.【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-, 所以4sin()sin 5απα+=-=. (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-,由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±.由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++, 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-.29.【解析】(Ⅰ)由2sin32π=,21cos 32π=-,2()3f π2211()()22=---- 得2()23f π=. (Ⅱ)由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 222sin(2)6f x x x x π=-=-+所以()f x 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得3222262k x k πππππ+++≤≤,k ∈Z 解得263k x k ππππ++≤≤,k ∈Z 所以()f x 的单调递增区间是2[,]63k k ππππ++(k ∈Z ).30.【解析】(1)∵()sin 2ααπ∈π=，，,∴cos α==()sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=+=+=;(2)∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，∴()()314cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π-=+=+⨯-=.31.【解析】(1)因为()()()22cos cos 2f x a x x θ=++是奇函数,而212cos y a x =+为偶函数,所以2cos(2)y x θ=+为奇函数,又()0,θπ∈，得2πθ=.所以()f x =2sin 22cos x a x -⋅+（）由04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ,得(1)0a -+=,即 1.a =- (2)由(1)得:()1sin 4,2f x x =-因为12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,得4sin ,5α=又2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,所以3cos ,5α=- 因此sin sin cos sin cos 333πππααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭32.【解析】(1)() 1.3124f πππ-==(2)33cos ,52πθ=由于<θ<2π,所以4sin 5θ===-,因此())6612f πππθθ-=--=)cos sin )444341()52525πππθθθ=-==⨯-⨯=-33.【解析】:(1)21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+1cos 2sin 2cos 42x x x =+11sin 4cos 422x x =+)24x π=+ 所以,最小正周期242T ππ== 当4242x k πππ+=+(k Z ∈),即216k x ππ=+(k Z ∈)时,max ()2f x =. (2)因为()sin(4)242f παα=+=,所以sin(4)14πα+=,因为2παπ<<,所以9174444πππα<+<, 所以5442ππα+=,即916πα=.34.【解析】(1)21105T ππωω==⇔=.(2)56334(5)cos()sin ,cos 352555f ππαααα+=-⇔+=-⇔==516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔==.4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-.。