G( j) Re[G( j)] j Im[G( j)] u() jv()
矢量式表示式
G( j) G( j) G( j) A()e j() A()[cos() j sin()]
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第四章 系统的频域特性分析
当频率从∞→0 及从0→+∞时， G(j)正负频率的曲线是关 于实轴对称的。
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1
1
j
e2
j
奈氏图特点：为负虚轴，具有恒 定的相位滞后。
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第四章 系统的频域特性分析
❖ （3）微分环节的奈氏图
传递函数： G(s) s 频率特性：G( j) j 90
奈氏图特点：为正虚轴，具有恒 定的相位超前。
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第四章 系统的频域特性分析
❖ （4）惯性环节的奈氏图 传递函数： G(s) 1 1 Ts
G( j) G( j) e jG(j) G(s) s j ——频率特性和传递函数的关系
几点说明： 1）频率特性适合线性系统和元件 2）幅频特性和相频特性是频率的函数，随输入频率变化而变 化，与输入幅值和相角无关。 3）微分方程、传递函数、频率特性间具有内在联系，可相互 转化。（见图示）
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第四章 系统的频域特性分析
第四章 系统的频域特性分析
4.1 频域特性概述
❖ 一、频率响应与频域率特性 ❖ 1、频率响应
是指线性定常系统对正弦输入的稳态响应。 例：一阶RC网络的频率特性
传递函数：G(s) U0 (s) 1 1
R
Ui (s) RCs 1 Ts 1
设 ui (t) Ui sin t
ui i
Ui
(s)
Ui s2 2
s j
2 j
= G(j) e jG( j) X i
2 j
B* G(j) e jG( j) X i
2j
xo (t) t
Xi
G( j)
e e j[tG( j )]
j[tG ( j )]
2j
Xi
G( j) sin[t G( j)]
幅频特性：A() G( j)
相频特性：（）=G（j）
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第四章 系统的频域特性分析
8
第四章 系统的频域特性分析
4.2 频率特性的图示方法
❖ 一、频率特性极坐标图（又称Nyquist图）
当频率从∞变到+∞时，向量G(j)的幅值和相位也随之作 相应的变化，其端点在复平面上移动的轨迹称为极坐标图。 相角的符号规定：从正实轴开始，顺时针为负，逆时针为正。 据G(j)的定义，用实频特性和虚频特性表示
第四章 系统的频域特性分析
1、典型环节的Nyquist图
❖ （1）比例环节
传递函数： G(s) K 频率特性： G( j) K Ke j0 奈氏图特点：实轴上的一 个点（k,j0)。
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第四章 系统的频域特性分析
❖ （2）积分环节的奈氏图
传递函数： G(s) 1 s
频率特性：
G( j)
各种模型之间的关系：
sp
微分
j p
方程
传递
系统
频率
函数
特性
p d dt
s j
频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递 函数
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第四章 系统的频域特性分析
1
例：已知系统传递函数为：G(s) Ts 1 ，求系统的频率特性 和频率响应，输入为 xi (t) Xi sin(t) 。 4）频率特性可用实验方法求取。
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第四章 系统的频域特性分析
❖ （5）一阶微分环节的奈氏图
传递函数： G( j) Ts 1
频率特性： G( j) 1 jT
A() 1 2T 2 () arctan T
奈氏图特点：一条平行虚轴 的线。
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第四章 系统的频域特性分析
❖ （6）振荡环节的奈氏图
传递函数：G(s)
s2
n2 2n s n2
G(s) Xo(s) B(s)
B(s)
Xi (s) A(s) (s p1)(s p2 )...(s pn )
xi (t) Xi sin t
Xi (s)
X i s2 2
(s
X i j)(s
j)
X
o (s)
(s
B(s) p1)(s p2 )...(s
pn )
(s
X i j)(s
令 （）=-arctanT-0=-arctanT 相频特性
稳态输出信号与输入信号的相位差称为相频特性。用ψ （ω）表示。
幅频特性和相频特性总称为系统的频率特性。记作
A( )e j ( )或A( ) ( )
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第四章 系统的频域特性分析
二、频率特性与传递函数的关系
推导过程如下：为讨论方便，不考虑重极点。
Ui sin(t arctan T) 1+T2 2
幅值 =Uo ()sin(t+())
相 位
1)系统稳态响应频率与输入频率相同； 2）幅值与相位均与ω有关，与系统参数T也有关。
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第四章 系统的频域特性分析
2、频率特性
令
A(
)=
Uo(
Ui
)
1 幅频特性
1 T 22
线性系统在正弦输入下，其稳态输出与输入的幅值比， 为系统的幅频特性。用A(ω)表示。
j)
=
n i =1
Ai s+pi

s
B
j
s
B
*
j
（B*为B的共轭复数）
n
xo(t)= Aie-pit Be jt B * e jt i=1
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第四章 系统的频域特性分析
当系统稳定时
xo (t) t Be jt B * e jt
B G(s)
X i
(s j)
G( j) Xi
(s j)(s j)
1
n2
s2
1
2 n
s 1
T
2s2
1
2Ts
1
频率特性：
G(
j)
T2(
j)2
1
j2T
1
1
1 T 22
j2T
1 T 2 2
2T
(1 T 22 )2 (2T)2 j (1 T 22 )2 (2T)2
1
2T
(1 T 22 )2 (2T)2 arctan 1 T 22
C u0
1
第四章 系统的频域特性分析
则
Uo(s)=
1 Ts+1
Ui
(s)
1 Ts+1
Ui s2 2
=
U i
T
1+T2
2
s
1
1
+ Ui
1+T2 2
-Ts s2 +2
T
uo(t)=
UiT 1+T2
2
e-
1 T
t
+
Ui sin(t arctan T) 1+T2 2
当 t ,有，
lim
t
uo
(t)
频率特性： G( j) 1 1 jT
G(
j )
1
1 2T 2
T j 1 2T 2
1
arctan T
1 2T 2
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第四章 系统的频域特性分析
A( )
1
1 2T 2
() arctanT
K=1
奈氏图特点：半径为1/2，圆 心为（1/2,j0)的半圆，幅值 随ω增大而减小，具有低通 滤波特性。存在相位滞后， 最大相位滞后90°.